面積問題的解法探究和思考

226364 江蘇南通通州區趙甸初中 金建華

面積問題的解法探究和思考

226364 江蘇南通通州區趙甸初中 金建華

1 問題的提出

原題 (2010年四川綿陽)如圖1，拋物線 y=ax2+bx+4與x軸的兩個交點分別為 A(－4，0)，B(2，0)，與 y軸交于點 C，頂點為 D.E(1，2)為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸，y軸分別交于F，G.(1)求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標;(2)若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，△EFK的面積最大?并求出最大面積.

圖1

答案的質疑與思考 本題條件是“點K在x軸上方的拋物線上”，但參考答案只對“xF＜t＜xE”作了解答，那么“xA＜t≤xF”，“xE≤t＜ xB”會怎么樣呢?筆者認為這是一個名副其實的“參考答案”，不夠嚴謹.如果要完整地解答此題就必須分類討論，分類表示S△EFK又是一個復雜的問題.

像這樣的面積問題是近幾年中考的熱點之一，常結合一次函數、二次函數、四邊形、相似形等知識而命題，具有一定的綜合性.筆者研讀了2009年和2010年部分中考試題及解答，一般都通過分割，建立面積函數，用函數知識解決問題.這些分割方法通常比較麻煩，有時還回避不了分類討論.

2 解法探究

2.1 尋源

書本習題 人教版教科書91頁習題19.1第8題:如圖 2，直線 l1∥l2，△ABC和△DBC面積相等嗎?你還能畫出一些與△ABC面積相等的三角形嗎?

解 顯然，△ABC和△DBC面積相等，原因是這兩個三角形同底等高.直線l1上任意一點P與B，C兩點構成的△PBC與△ABC面積總相等.

啟示 此題可以通過平行線，把三角形等積變形為其他更有利于解決問題的三角形.

2.2 探究

筆者進一步研究發現，這些問題通常可以分為兩類，都可以用簡單的平移法來解決.

2.2.1 動點在直線上，利用平行線，通過等積變形建立函數模型

圖2

例1 (2009年濟南)已知:如圖3，拋物線 y=ax2+bx+c( a≠0)的對稱軸為x=－1，與 x軸交于 A，B兩點，與 y軸交于點 C，其中A(－3，0)，C(0，－2).

(1)求這條拋物線的函數表達式;

圖3

(2)若點D是線段OC上的一個動點.過點D作DE∥PC交x軸于點E.設CD的長為m，△PDE的面積為S.求S與m之間的函數關系式.試探討S是否存在最大值，說明理由.

點評 本題的動點D在直線上運動，沒有采用分割的方法也沒有分類討論，而是利用題目原有的DE∥PC條件，把△PDE等積變形為一邊在坐標軸上的△ADE，便于表示△PDE的面積，建立函數模型解決問題.

例2 (2010年三明)如圖4，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過點 B(2，0)和點C(0，8)，且它的對稱軸是直線x= －2.

(1)求拋物線與x軸的另一交點A的坐標;

(2)求此拋物線的解析式;

(3)連接AC，BC，若點E是線段AB上的一個動點(與點A，點B)不重合，過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式;

(4)在(3)的基礎上探討S是否存在最大值，說明理由.

解 (1)A點的坐標為(－6，0);

圖4

(3)過點F作FG⊥AB，垂足為G，

解題策略 以上兩例都是動點在直線上運動，利用天然的平行條件，通過等積變形，把三角形轉化為有一邊在坐標軸上的三角形，從而比較簡潔地建立函數模型，應用函數知識解決問題.不必分割，不必分類.

2.2.2 動點在拋物線上動，構建平行線，通過等積變形建立方程模型

例3 (2010年恩施)如圖5，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于 A，B(3，0)兩點，與y軸交于C(0，－3)點，點 P是直線BC下方的拋物線上一動點.

(1)求這個二次函數的表達式;

(2)當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大并求出最大面積.

解 (1)函數表達式為y=x2－2x－3.

(2)∵S△ABC=6，∴當△BPC的面積最大時，

四邊形ABPC的面積最大.

作 PQ∥BC 交 y軸于點 Q，則 S△BPC=S△BQC，△BQC的高OB為定值，所以當PQ平移到使得CQ取得最大值時，△BQC的面積最大，此時直線PQ和拋物線恰好一個公共點.設直線PQ:y=x+m，得方程

圖5

點評 本例是動點在拋物線上運動，沒有天然的平行條件，采用構造平行線的方法，等積變形為有一邊在坐標軸上的圖形，建立方程模型解決問題.

例4 (2010年宜賓)如圖6，將直角邊長為6的等腰Rt△AOC放在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點C，A分別在x，y軸的正半軸上，一條拋物線經過點A，C 及點B(–3，0).

(1)求該拋物線的解析式;

(2)若點P是線段BC上一動點，過點P作AB的平行線交 AC于點 E，連接 AP，當△APE的面積最大時，求點P的坐標;

圖6

2.3 原題的解答

(2010年四川綿陽)

(3)在第一象限內的該拋物線上是否存在點G，使△AGC的面積與(2)中△APE的最大面積相等?請說明理由.

簡析 本題的第(2)問是動點P在直線上運動類型，利用天然的PE∥AB條件，把S△APE轉化為一邊在x軸上的S△BPE，建立函數模型解決問題.第(3)問是動點在拋物線上運動類型，直接求出直線HG的解析式，更顯此法的優越性.

解 如圖7，探求得F點坐標為(－3，0)，直線EF為y=x+.過K點作EF的平行線，交y軸于M點，設直線KM的解析式為y=x+b，△EFK的邊EF為定值，又CE=EB，平移直線KM可知，當KM與拋物線有且只有一個公共點時，△EFK的高取得最大值，從而面積最大.

點評 動點K在拋物線上運動，構建平行線后，雖然不能轉化為有一邊在坐標軸上的三角形，但是依然可以通過平移直線的方法建立方程模型解決問題.K點和M點雖然都是動點，但卻有本質的區別，M點只能在y軸上上下移動，但一定在E，F之間，所以不必分類，但K點卻是上下左右都移動，完全有可能不在E，F之間，那就必須分類討論.

圖7

以上解法簡單地說就是利用平行線或構造平行線，實際是平移思想的具體運用.用平移的觀點看待問題，會使問題顯得簡單、易理解，許多問題可以通過平移直線來解決.

3 思考

3.1 命題啟示

為什么學生采用分割法建立面積函數解決問題?筆者研究發現，一些中考試題要求學生建立面積函數再求最值，這些試題試圖給學生思考的臺階，實際卻束縛了學生的思維.作為一道好的中考題，應該給學生充分發揮個人才智、展現獨特個性、彰顯創新成果的空間，中考題是教學的指揮棒，是學生學和教師教的參照標準，中考怎么考，教師就怎么教，學生就怎么學，因此作為命題者一定要慎重!

不嚴謹的教學、不嚴謹的答案，都會影響學生的思維，形成學生思維的不嚴謹性，教師在教學中一定要培養學生嚴謹的思維習慣，否則會影響學生的后續學習，甚至造成學生為人的不嚴謹、工作的不嚴謹，中考題是教師教學的風向標，更應做出“嚴謹”的標桿.

3.2 教學啟示

為什么命題者也給出分割法建立函數求最值?難道這些教育專家不知道這種解法嗎?筆者研究發現，課改后，教材新增了平移章節，這是新教材的一大亮點，實際上是提前滲透了平移的思想，培養學生平移的思想觀念，才能讓學生領悟教材，探索到更好的解題方法.

平移直線的解法來源于對書本簡單習題的思考，書本習題是經過教育專家的研究而設立的，其內涵豐富，對強化基礎知識和基本技能，開發智力、培養能力以及對后續學習有著不同尋常的作用，研究各地每年的中考試題都會發現書本習題的影子，這啟發我們在日常的教學活動中，要加強對課程的研究，重視書本習題的作用，對教材里的習題作適當的補充挖掘，把課本習題用足、用好、用到位，這樣才能從教材簡單的例、習題中獲得解決問題的新思想、新方法，才能引導學生重視教材，同時培養學生探索的能力和創新的意識，達到事半功倍的效果.

20110329)