參數不等式的求解策略芻議

●仲濟齋 (連云港高等師范專科學校數學系 江蘇連云港 222026)

參數不等式的求解策略芻議

●仲濟齋 (連云港高等師范專科學校數學系 江蘇連云港 222026)

含參數的不等式是高中數學中比較重要的內容．由于它的解法較多，技巧性也比較強，因此學生很難掌握，是學習的難點之一．因此掌握一些解題策略就顯得尤其重要，下面通過舉例來說明幾種解題策略．

1 化繁為簡

當面臨一道結構比較復雜、難以入手的題目時，要設法把它轉化為比較簡單、熟悉的且易于解決的問題．它遵循的原則就是將超越式化為代數式、無理式化為有理式、分式化為整式，同時高次向低次進行轉化，從而達到以簡馭繁的目的．

例1若p∈R且|p|＜2，不等式(log2x)2+plog2x+1＞2log2x+p恒成立，求實數x的取值范圍．

分析 若把不等式看成是關于log2x的一元二次不等式，則問題很難處理．如將問題轉化為關于p的一次不等式，問題反而容易解決．

2 整體與局部

有些問題從局部分析難以入手，若跳出“局部”著眼“整體”，通過尋找局部之間的內在聯系，則常常可使問題“柳暗花明”．

例2已知1+3x+(a－a2)9x＞0在x∈(－∞，－1)上恒成立，求實數a的取值范圍．

分析若直接把a分離出來，則有點棘手．但

若把a－a2看作一個整體，則可迅速獲解．

3 分合并用

分與合是一種辨證關系，在解題中以分求合，以合制分，分合并用．分類是分合并用解題策略的一種具體體現，就是把問題轉化為一系列彼此互斥的目標，然后逐一地解決這些問題，從而實現原問題的解決．例如，一些不等式含有參數問題的解與參數的變化有關，此時可根據參數的不同取值情況進行分類討論．

4 等價轉換

等價轉換就是利用不等式的同解變形進行解題，譬如利用命題

5 數形結合

華羅庚教授曾經說過:“數缺形時少直觀，形缺數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休”．美國數學家斯蒂恩說:“如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創造地思索問題的解法”．

6 正難則反

解題一般總是從正面入手，但有些數學問題如果從正面入手求解繁瑣、難度較大，那么不妨打破常規實行正難則反策略，轉化為考慮問題的相反方面．這樣往往能絕處逢生，順利解題．

要比解原不等式簡潔得多．為此可用反證法求解．

掌握以上幾種思維轉化的策略，有利于增強學生洞察問題、處理問題的能力．應當注意的是它們之間并不是孤立的，往往需要相互滲透、共同作用，這樣才能解決問題．