分形學在建筑設計的應用

顧紅男，詹巨聰

(重慶大學建筑城規學院，重慶400045)

1 分形學產生的背景和定義

分形被稱為非線性科學(nonlinear science)中最重要的三個概念(分形、混沌、孤粒子)之一。“分形”一詞譯于英文fractal，系分形理論的創始人曼德爾布羅特(B．B．Mandelbrot)于1975年由拉丁語frangere一詞創造而成，詞本身具有“破碎”和“不規則”兩個含義。分形理論是現代數學的一個新的分支，但其本質卻是一種新的世界觀和方法論。

2 分形幾何的特點

2.1 分形幾何體在自然界中普遍存在

圖1 KOCH曲線

KOCH曲線(圖1)，從一直線段開始，將線段中間二分之一部分用等邊三角形的兩條邊代替，在新的圖形中，又將圖形中每個直線段中間的三分之一部分都用等邊三角形的兩條邊代替，如此繼續迭代下去。

2.2 分形幾何體是自相似

分形幾何學是研究具有無限精細的結構并在一定意義下自相似圖形的幾何學，把自然形態看作是具有無限嵌套層次的邏輯結構，并且在不同尺度之下保持某種相似的屬性，于是在變換與迭代的過程，得到描述自然形態的有效方法。

2.3 分形幾何體是反復迭代

自相似性可以通過迭代來生成，也就是說，一些公式或幾何規則在計算和繪制過程中得到的預先結果上重復運行。利用計算機程序可以模仿復雜的生物形態，有的幾何規律可以用以模擬蔗類植物繪制Koch曲線，有的基于數學公式的分形迭代函數可以生成曼德爾布羅特集。

2.4 分形幾何體取決于初始條件

初始條件的微小差異都會導致結果有很大的不同，原因在于分形結構中總有重復運用相同的規律。分形除了自相似性外，另一個特征是對初始值和初始條件的敏感依賴性，在混沌系統中初始值即便是微小的變化在最后都可能會以指數速度產生非常巨大的改變，這種現象被稱作“蝴蝶效應”。也就是我們平常所說的“失之毫厘，謬以千里”。

2.5 分形幾何體具有標度不變性

所謂標度不變性，是指在分形上任選一局部區域，對它進行放大，這時得到的放大圖又會顯示出原圖的形態特性。因此對于分形，不論將其放大或縮小，它的形態、復雜程度、不規則性等各種特性均不會發生變化，表征自相似系統或結構的定量性質如分形維數也不會因為放大或縮小等操作而變化，所以標度不變性又稱為伸縮對稱性(Dilation Symmetry)。例如無論用什么倍數的放大鏡來觀察Sierpinski墊片，所看到的圖案都是相似的，它具有任意小的細節。

3 分形學在建筑設計中的應用

3.1 建筑的表皮分形

北京的水立方以它簡潔大方的形象給人留下了深刻的印象(圖2)。基本的幾何形體基于Wearie Phelan給出的“無限等體積肥皂泡陣列幾何圖形學”問題的解答。首先生成一個比我們的建筑大的Weaire Phelan泡沫結構陣，再把這個陣圍繞某個矢量軸旋轉，最后把建筑以外和內部空間的泡沫結構割除從而形成建筑的屋面和墻體結構。泡沫構成的基本結構沿3個正交坐標軸有規律地重復。

分形在水立方的墻體和屋面的應用中得以體現。基本形體通過旋轉、切割來達到整體觀極強又微妙變化的效果，這是分形學在建筑表皮上的一次重大成果。

圖2 水立方

3.2 建筑的“體”分形

3.2.1 建筑的三維分形

建筑的三維分形我們在這里稱之為“體”分形，即建筑的“體”通過旋轉、縮放和線性轉譯的分形操作把一個粒子單元轉換成很多組合在一起的元素，這些元素被組織在一起生成第二級粒子單元，然后根據同樣的方法繼續被轉譯。這個過程可以不斷發展生成無限多層級的單元組。歷史上的印度神廟建筑正是這類分形的典型代表，當觀察者接近一個最初級的立方體時，模塊開始分裂，然后生成的新的體塊繼續這樣分裂，直至觀察者進入到空間內時產生了越來越精細的細部。這套幾何法則就是分形或迭代:同一模塊為其本身越來越精細的細部層級所嵌套，通過尺度縮放、旋轉，最終形成無窮豐富的形體。

圖3 L住宅

3.2.2 彼得·埃森曼的尺度縮放

如圖3彼得·艾森曼的住宅(11a C House 11 a:Project for Forester House，Palo Alto，California，1978)是建筑對復雜性科學的第一次正式運用，他借用了分形幾何的比例縮放的概念，以立體‘L’形的復雜旋轉構成了建筑的體量，是建筑師第一次有意識的運用分形幾何來表現建筑的復雜與多元。

在Cannaregio城的廣場上，埃森曼又布置了一系列不同尺度的住宅lla的相似形，最小的一個與人同高，明顯不是一棟房子;最大的一個對于一棟房子來說太大了;而房子大小的物體里卻充滿了無限多的自己的相似形，使其根本不能作為房子使用。“在這個方案中建筑成為自己的衡量標準。”不同尺度的物體相互嵌套，記載了物體的原始形狀。此時，物體位置的作用已經超過了它的形式，它成為一個元素，一個自我相似、自我參照的建筑“生成元”。埃森曼認為沒有任何東西是穩定的，沒有任何東西是可以預知的;生成過程的痕跡被標示出來。

3.3 綜合體分形

圖4 螺旋大廈

禎文彥的螺旋大廈(Sprial Building，1985)以一系列不同尺度的正方形的“生成元”嘗試了建筑的分形構成，而且采用了分形維度之余，更采用了多種異質元素的拼貼和混合，體現了建筑與城市、整體與片段、混沌與秩序的同構(如圖4)。禎文彥解釋說:“我的螺旋大廈隱喻城市意象:一種主動將自身獻出，供人切成碎片的環境，然而，正是從這種肢解中，它獲得了生命。”禎文彥顯然想以建筑自身的復雜性和多元性來構擬社會形態的復雜性和多元性。禎文彥雖然似乎把建筑師的業務拓展到哲學家或文學家的范圍，然而這絲毫沒有損害建筑本身的形式意義和功能意義。混亂與秩序并存，片斷性與整體性同在，在一種雅化的秩序原則(a refined principle of order)的統帥下，混沌賦予建筑一種深奧的美，一種有張力的美，甚至還有一種隱嘲的美。

3.4 分形圖解的建筑轉譯

MIT(麻省理工學院)學生公寓建筑師斯蒂文·霍爾設計部分來自于自然界的海綿—具有呈分形狀分布的孔的物體。建筑表皮孔洞的分布與海綿墊有些相似，如圖5。

圖5 MIT學生公寓

海綿與MIT宿舍有相似的孔洞分布，一些大的，較多中等大小的，更多的小尺寸的等等。孔洞的數量以及大小之間的精確關系是冪律縮放的關系。

此外，建筑的內部的異質空間還存在著另一種自相似體系。公寓表面大大小小的孔隙像液體里浮游的氣泡，蘊含著異質的養分。為了突破宿舍的程式化空間，在建筑規整的骨架下，霍爾構建了可用來訴說的被稱為“漏斗”狀的不規則空間，用作集會和公共活動。在建筑內的分布情況以及紋理、折皺、光影、不確定性、功能等又各自相似，為視覺提供了微妙的觸感與光澤。兩種自相似體系共同作用，增加了建筑的復雜性。

4 分形建筑發展的前景展望

從20世紀20年代以來，建筑師一直致力于尋找建立在原有建筑語言基礎上的新突破口，以期改造和創造一些新的建筑語匯，探尋建筑所能達到的新境界，分形理論的“自相似性”、“無尺度性”、“尺度層次”、“尺度變換”思想對于建筑設計具有廣泛的運用前景，使建筑與環境更易取得協調，更加貼近自然和人性。

現代分形建筑的探索之路尚處于“摸著石頭過河”的階段，獲得成績的同時，也必須認清國內的社會意識與經濟條件是否為此類建筑提供了可操作并發揮其最大優勢的溫床。時值新形式、新思維產生初期，當今中國建筑市場又異常活躍，在建筑理論與建筑創作根基卻不牢固的情況下，盲目地熱衷可能帶來混亂與歪曲。

［1］張濟忠．分形［M］．清華大學出版社，1995

［2］劉華杰．分形藝術(電子版)［M］．湖南電子音像出版社，1997

［3］林小松，吳越．分形幾何與建筑形式美［J］．中外建筑，2003(6)

［4］穆清．非線性建筑空間解析［D］．大連理工大學，2006