用奇異函數建立變參數連續梁撓度統一方程的新方法

曾紀鵬

(華信郵電咨詢設計研究院有限公司，浙江杭州310014)

我們通常把δ函數及其各階導數和各階積分的函數族稱為“奇異函數”，在式子中采用麥考利(W．H．Macauley)＜＞括號來表示［1］，奇異函數的最大優越性是在處理不連續問題(例如荷載、構件截面參數等)。以往的方法在處理不連續問題時，需要在間斷處分段，在每一段分別處理，然后在交接處通過邊界條件來求解，這樣求解的方法導致變量很多，計算過程復雜。而利用奇異函數來求解，不需要分段分別處理，可以列一個計算式子來統一表達，從而使問題能夠完整地、簡單地表述，在求解上也能夠得到很大的簡化，并且利于編制程序實現電算化。

奇異函數于20世紀60年代開始在力學、振動問題中得到應用，而在我國，奇異函數于20世紀70年代末80年代初才得到廣泛地介紹，在力學領域的更廣泛的介紹和研究則是最近十多年來的探討的課題。我國在進入20世紀90年代后，一些學者把奇異函數用于力學問題的求解，發表了一些學術論文，但論文數量仍然極少，把奇異函數更加深入地用于力學和結構分析中還有待于進一步研究。

在結構的分析計算中，必須求解連續梁的內力，以往的方法是要在不同荷載、截面變參數處分段，在不同段分別建立撓度方程，再聯立相鄰段的位移邊界條件來求解，整個過程煩瑣，邊界條件多。本文利用奇異函數，不再進行分段求解，而是在全長范圍內統一建立撓度微分方程，從而使計算大為簡化。

1 奇異函數的定義

奇異函數是指δ函數及其各階導數和各階積分的函數族，可以用以下式子表達［1］:

當n=0時稱為單位階躍函數，n=－1時稱為δ函數，它的基本微分、積分公式為:

微分公式:

2 用奇異函數表示集中量和分布量

(1)作用于x=xi的集中力Fi(見圖1a):

我們可以把集中力Fi視為當h=(x－xi)→0時的分布力:

(2)作用于x=xi的集中力偶Mi(見圖1b):

(3)作用于區間(xi，xi+1)的分布集度為qi+1的分段橫向均布線荷載(見圖1c):

(4)階形變化量(見圖1d):

設在x=xi處構件的截面尺寸或材料性質發生變化(例如梁的抗彎剛度EI)，其改變量為C，利用單位階躍函數，可以寫出連續函數的形式［2］，表示為:

對受彎構件，假設它的抗彎剛度EI沿整個構件長度方向發生階形變化，截面抗彎剛度EI變化k次，令第t次的抗彎剛度的倒數(即柔度)的改變量為βt，稱為變柔度系數［2、3］，則有:

圖1 荷載的線分布集度函數

其中，當t=1時，有βt=，再令=0。

由式(8)可以寫出受彎構件的變參數(抗彎剛度表現為EI發生改變)對構件的影響:

3 用奇異函數表示結構中連續梁、板的受力

圖2 計算簡圖

設有一根連續梁、板，計算簡圖如圖2。假設其上每跨受到均布線荷載，并且每跨上無集中力和集中力偶作用，截面有變參數表示為EI。再考慮到結構中連續梁還要對活荷載進行不利布置，在進行活荷載不利內力組合時，可在本文計算式中取相應情況下的跨的線荷載集度為零或不為零即可。

由微分關系式:

對式(11)利用式(4)積分可得彎矩方程:

由梁的撓曲線方程:EIy″(x)=－M(x)，這里EI不再是常數，引入式(10)，可得:

4 兩個奇異函數連乘的簡化公式的推導

由式(14)可看出，方程是由兩個奇異函數乘積之后再求和的函數。為了簡化便于積分，我們由奇異函數的定義式(1)和單位階躍函數的基本運算規則，可以通過運算把分別具有下標t和i的兩個奇異函數進一步簡化，表示為只具有一個下標s的奇異函數［2］，即:

其中:

其中:

現在我們可以把式(15)～式(17)代入式(14)，得:

其中:

從式(18)可以看出，對變參數構件，變參數的影響通過系數βt和構件上變參數的位置來體現，當EI為常數時，只需取k=1即可。

當利用式(18)求解時，假設式中的作用荷載qi(i=1，2，…i，…n)和截面參數EI的變化為已知，而支座反力Ri(i=0，1，2，…i，…n)為未知，可以參照文獻［4］的方法進行求解，具體求解過程，讀者可參見文獻［4］。當求解出所有的支座反力之后，我們可以對式(18)進行積分，再利用式(12)即可求解出各處截面的剪力Q(xi)和彎矩M(xi)，畫出相應的剪力圖和彎矩圖。

5 結論

本文利用奇異函數的理論，對變參數連續梁的撓曲線方程進行了推導，建立了連續梁撓曲線的統一方程，它克服了原來對變參數問題要進行分段求解的不足，并且它的求解過程規整，有利于編制程序實現電算化，為這類問題提供了新的思路和方法。奇異函數在力學領域中具有廣泛的應用前景，把奇異函數更加深入地用于力學和結構分析還有待于做進一步的研究。

［1］王燮山．奇異函數在力學中的應用［M］．科學出版社，1993

［2］徐彬．高層建筑結構分析的奇異函數方法［D］．華南理工大學，2000

［3］徐彬．奇異函數建立高層結構分析模型的方法及應用［J］．昆明理工大學學報，2000，25(6):106－109

［4］劉念超．奇異函數解幾種超靜定結構［J］．長沙交通學院學報，1998，14(2):20－25

［5］荊振華．奇異函數在材料力學中的應用［J］．遼寧省交通高等?？茖W校學報，1997，5(1):52－58