Hilbert空間中的算子框架恒等式

李春艷

(重慶科技學院數理學院,重慶401331)

1946年,Gabor[1]在進行信號處理時,引入了信號關于基本信號的分解,這種方法很快成為了與時間-頻率方法相伴的譜分析的范例。1952年,Duffin和Schaeffer[2]在研究非調和Fourier級數時進一步提煉了Gabor進行信號處理的思想,引入了Hilbert空間中框架的概念。1986年,Daubechies,Grossman和Mayer發現了框架理論在小波分析和Gabor變換中的應用[3],從而開創了框架理論的新時代。此后,框架理論被廣泛的應用于信號處理,圖象處理,數據壓縮和采樣理論等領域。

C.Y.Li和H.X.Cao在文獻 [4]中引入了Hilbert空間中的算子框架的概念,說明了Hilbert空間中的框架,子空間框架等框架是算子框架的特例,并且對算子框架、算子Riesz基和算子框架的對偶框架等的性質進行了深入的討論。下面,筆者將利用算子理論的方法,進一步討論算子框架的的性質,并得到與算子框架相關的幾個重要恒等式。

1 基本概念

用H表示Hilbert空間,用 Λ表示正整數集合,用l2(H)表示集合:

則稱 T={Ti}i∈Λ為Hilbert空間 H中的算子框架,A,B稱為框架界。若A=B,則稱{Ti}i∈Λ為緊算子框架。若A=B=1,則稱{Ti}i∈Λ為Parseval算子框架。不等式(1)如果只有右邊成立,則稱{Ti}i∈Λ為H 中的算子Bessel列,B稱為{Ti}i∈Λ的界。

設 T={Ti}i∈Λ是H 中的算子Bessel列,定義算子:

定義1[4]設T={Ti}i∈Λ?B(H)是定義在Hilbert空間H上的一列算子,若滿足以下條件:

(i)?x ∈ H,有{Tix}i∈Λ ∈ l2(H);

(ii)存在正數A,B,使得:

如果T={Ti}i∈Λ是H 中的算子框架,令ST=RT*RT,則ST是一個可逆正算子。稱ST為T={Ti}i∈Λ的框架算子。顯然有:

若J?Λ定義如下算子:

2 主要結果

設T={Ti}i∈Λ是H 中的一個算子框架,如果H中的另一算子序列 ~T={~Ti}i∈Λ滿足如下條件:

則稱 ~T={~Ti}i∈Λ為T={Ti}i∈Λ的對偶框架。在文獻[4]中,已經知道 H 中的算子框架T={Ti}i∈Λ必定存在一個對偶框架 ~T=}i∈Λ。通常稱 ~T={}i∈Λ為T={Ti}i∈Λ的經典對偶框架。下面給出關于算子框架的一些重要恒等式。

定理1 設T={Ti}i∈Λ是H 中的算子框架,ST是其框架算子,且 ~T={~Ti}i∈Λ是其經典對偶框架,則對任意的J?Λ,有:

因此:

對任意的x∈H,有:

類似地,對任意的x∈ H,由于 Λ-J∈ Λ,可得:

故:

如果 T={Ti}i∈Λ是H 中的Parseval算子框架,則可以得到如下結論。

定理2 設 T={Ti}i∈Λ是H 中的Parseval算子框架,則對任意的J?Λ和 x∈ H,有:

證明 由 T={Ti}i∈Λ是H 中的Parseval算子框架可得:

所以ST-IH是自共軛有界線性算子,且ST-IH=0。故ST=IH。令~Ti=TiS-1T,顯然,有~Ti=TiS-1T=Ti。對任意的J?Λ和x∈H,有:

由定理1可得:

即:

推論1 設 T={Ti}i∈Λ是H中的緊算子框架,其框架界為A,則對任意的J?Λ和x∈H,有:

證明 因為T={Ti}i∈Λ是H中的以A為界的緊算子框架,所以容易證明是 Parseval算子框架。由定理2即可得:

定理3 設 T={Ti}i∈Λ是H 中的Parseval算子框架,則對任意的J?Λ和 x∈ H,有:

所以:

[1]Gabor D.Theory of communications[J].J Inst Engrg,1946,93:429-457.

[2]Duffin R J,Schaeffer A C.A class of Nonhaarmonic Fou rier serier[J].T rans Amer Math Soc,1952,72:341-366.

[3]Daubechies I,Grossmann A,M eyer Y.Painless nonorthogonal ex pansion[J].J Math Phy s,1986,27:1271-1283.

[4]Li C Y,Cao H X.Operator Frames for B(H)[A].Wavelet Analysis and Applications[C].Sw itzerland:Birkh¨auser Verlag Basel,2006:67-82.