不確定網絡控制系統保成本觀測器設計

孫連坤，萬振凱，張桂玲

(天津工業大學 計算機科學與軟件學院，天津300160)

0 引言

1999年Walsh 教授綜合前人的研究成果，正式提出了目前被大家廣為接受的網絡控制系統(Networked Control Systems，NCSs)概念［1］。與傳統的點對點結構的系統相比，NCSs 具有資源共享、遠程操作和控制，提高系統的診斷能力、方便安裝與維護，增加系統的靈活性和可靠性的特點。

目前對NCSs 的研究，大多是針對線性時不變對象的。文獻［2］考慮了網絡時延因素的影響，并基于此來自適應調節PI 控制器的增益參數。文獻［3］研究了信息傳輸前進行預處理的問題，通過智能傳感器計算一個本地的最優估計值，再運用Kalman 濾波器對該值進行處理。文獻［4］研究了具有隨機時變延時的NCSs 的H∞控制問題，設計了基于觀測器的輸出反饋控制律。文獻［5］分別運用擴展Kalman 濾波與變尺度估計的方法對非線性被控對象的NCSs 進行狀態估計，得到保證估計誤差協方差有界的充分條件。文獻［6］運用最優估計的方法分析了具有隨機時延與丟包的NCSs，得到不依賴于時延與丟包的估計器。上述研究通常只針對單一的網絡因素影響，并且假設網絡能夠提供足夠的帶寬。但在實際應用中，單一考慮時延或丟包并不能全面反映網絡影響;此外，由于時變的網絡流量和未知擾動，網絡并不總是能提供系統設計時所需帶寬。

為此本文將網絡當前的綜合服務質量作為參考量，在不確定NCSs 的框架下設計一種SOD 調度策略，傳感器端將根據輸出信息的重要程度對數據進行處理，從而減少非重要信息對網絡資源的占用，以達到降低網絡需求的目的。在此基礎上，考慮輸出反饋情況，設計保成本觀測器，使得觀測誤差不超過一個上界。

1 系統描述

本文研究的網絡控制系統結構如圖1所示，通過添加一個QoS 估計器可以實時獲取網絡性能，并以此作為SOD 調度策略的依據。例如:假設SOD調度策略所確定的閾值為Δ(t)，它將與網絡QoS 存在如下函數關系

其中:QoS1為網絡的丟包率;QoS2為網絡的時延;QoS3為網絡的吞吐量，這也是網絡QoS 中最主要的3 個性能指標。Δ(t)隨著網絡的QoS 實時變化，但其上、下界是可以確定的，上述描述在分布式NCSs中是可以實現的［7］。在SOD 調度策略的作用下，傳感器只傳輸重要數據，即當新的數據變化大于一定值的時候才作處理。

圖1 線性時變不確定對象的NCSs 結構圖Fig.1 Structure of NCSs with linear time-varyinguncertain plant

考慮如下線性不確定系統

其中:x(k)∈n為系統的狀態向量;u(k)∈m為系統的控制輸入;y(k)∈p為系統的觀測輸出。A，B，C 是具有相應維數的定常矩陣。ΔA(t)是具有適當維數的，表示系統不確定性的時變矩陣，滿足以下形式

其中:D1∈n×r;E∈l×n是已知的定常矩陣;F(t)∈r×l為不確定函數矩陣，并屬于如下集合{F(t)|F(t)TF(t)≤I，?t}.

1.1 SOD 調度策略基本思想

由于網絡通信約束的限制，傳感器不可能將每次采集的信息均成功傳輸，尤其在無人飛行器、無線傳感網絡中，由于裝置的能量限制，使得傳感器盡可能只傳輸重要信息以減少能量損耗。傳統的基于時間的周期采樣調度策略，不能很好地解決上述問題，主要原因在于周期采樣只關注信息處理的快慢，其周期選取是基于系統最壞情況的，一經選定就不能根據信號變化動態調整。

SOD 調度策略屬于基于事件的采樣，相比等時間間隔采樣，其只對超過一定閾值的信息進行處理，發送原則如圖2所示，閾值可以提前設定或實時在線調整，其體現了當前傳輸信息的重要程度。它最大的特點是可以減少傳感器節點的平均數據產生率，這對于突發信號尤其有效。

圖2 SOD 發送原則Fig.2 Send principles of SOD

本文采用的SOD 調度策略是一種復合采樣架構，即首先在本地對連續信號進行周期采樣，這樣能保證對初始信號進行有效的跟蹤;隨后再根據SOD采樣調度策略進行數據處理與發送，這里我們假定閾值Δ(t)隨著網絡QOS 的變化而變化，但其上、下界Δmax、Δmin已知，在其作用下傳感器節點的平均數據產生率也將動態變化，以此達到減少數據發送、節約帶寬的目的。

實際應用中系統可基于特定的QoS，依據公式(1)計算出閾值Δ(t)的變化范圍，建立閾值表。QOS 估計器按一定周期向網絡發送探測包，在線獲取網絡服務質量，即網絡時延、網絡丟包率、網絡吞吐量，并通過查表或查值技術得到一定網絡服務質量下的具體的SOD 采樣調度策略。

1.2 基于SOD 調度策略的系統模型建立

當采樣周期遠小于被控對象的主導時間常數時，系統可視為連續系統［8］。此外，由于NCSs 中任何網絡介質都有其固有的網絡服務質量，即網絡時延上限、網絡丟包上限、網絡吞吐量上限等，從這個意義上說，網絡的影響是有界的。基于上述考慮，本文假設網絡的影響可視為有界連續函數φ(t).在這種情況下，進行網絡觀測器設計的關鍵是要將網絡環節轉化為系統的不確定塊。

在［ti，ti+1)內，由QOS 確定的閾值為Δ(ti)，系統最后一次的輸出值為y(ti)，實際用于觀測計算的系統輸出為yct(t)，如圖3所示。則在下一次數據更新之前，有如下關系式

圖3 基于SOD 的被控對象Fig.3 The controlled plant based on SOD

由式(3)可得

假設‖Δ(t)‖≤α，其中α 為確定常數，‖φ(t)‖≤β，其中β 為確定常數。為了將調度策略的影響建模到系統中，定義Ξ(t)=φ(t)±Δ(t)，假設ΔC(t)·x(t)=Ξ(t)，滿足ΔC(t)=D2F(t)E，這里D2∈是已知的定常矩陣，F(t)∈r×l為不確定函數矩陣，并屬于如下集合:

Ω={F(t)|F(t)TF(t)≤I，?t}.

則考慮SOD 調度策略后的線性不確定NCSs 有如下形式

由上述分析可知，在考慮SOD 調度策略后，系統由式(2)轉化為式(5)，SOD 調度策略以及網絡的影響主要體現在系統的輸出添加了額外的時變不確定項。

2 不確定NCSs 的保成本觀測器設計

在許多實際問題中，系統的狀態往往不能直接測量，需要進行觀測器的設計。本文中由于不確定參數的變化及Δ 值的調整，要求觀測器具有良好的魯棒穩定性，此外，還應保證其它適當的性能指標，如估計誤差的界限等。利用保成本觀測器是解決這一問題的有效方法之一［9］。

考慮SOD 調度策略后的線性不確定NCSs(令u(t)=0)

x0為初始條件，且假設為零均值高斯隨機向量。

假設1:系統(6)為二次穩定的，即存在一個對稱正定矩陣P，滿足(A+ΔA)TP+P(A+ΔA)＜0.

考慮如下形式的觀測器:

表示觀測誤差輸出，其中L 為已知定值矩陣，則由式(6)、式(7)可得增廣系統為

對系統(8)，定義二次型性能指標:

對于保成本觀測器，引入如下定義:

定義1［10］:考慮不確定系統(6)和性能指標(9)，若存在觀測器(7)和一個正數J*e，使得對于所有不確定函數矩陣F(t)，增廣系統(8)是二次穩定的，且滿足Je≤J*e，則J*e稱為保成本，觀測器(7)為保成本觀測器。

根據上述定義，接下來要確定觀測器參數G，H，并且證明觀測器(7)為不確定系統(6)的保成本觀測器。

2.1 保成本觀測器的存在條件

定理1:對不確定系統(6)和性能指標(9)，如果對稱正定矩陣使得對于所有不確定函數矩陣F(t)，滿足:

則觀測器(7)為不確定系統(6)的一個保成本觀測器，且此時觀測誤差成本上界=L* Trace(P22)*LT，P22為成本矩陣。

證明 選取Lyapunov 函數V(t)=zT(t)Pz(t)，由矩陣P 的正定性可知Lyapunov 函數V(t)是正定的。則沿系統(8)的任意軌線，V(t)關于時間的導數根據條件(10)，對于所有不確定函數矩陣F(t)，

由Lyapunov 穩定性理論，增廣系統(8)二次穩定。

進一步，式(11)兩邊對時間t 從0 到∞積分，可得

由于增廣系統(8)二次穩定，所以V(∞)→0，因此有

J=E［J］＜E［zT(0)Pz(0)］=Trace(P).

進而有:

根據定義1 可得，J*e=L* Trace(P22)* LT是相應的增廣系統(8)的觀測誤差成本上界。定理得證。

定理1 給出了不確定系統(6)保成本觀測器存在的充分條件，但其驗證條件包含了不確定矩陣F(t)，因此要驗證對于所有允許的不確定F(t)，不等式(10)都成立仍然是一件困難的工作。接下來將運用LMI 給出這一條件的等價刻畫。

2.2 保成本觀測器設計

引理1［11］(Schur 補定理):設Y，D，E，F(t)為具有適當維數的實矩陣，其中Y=YT，FT(t)F(t)≤I，則Y+DF(t)E+ETFT(t)DT＜0 當且僅當存在標量ε ＞0，使得Y+εDDT+ε-1ETE ＜0 成立

引理2［12］(正交補定理):給定矩陣Γ，Λ，Θ，則ΓXΛ+(ΓXΛ)T+Θ ＜0 關于X 有解的充分必要條件是:Γ⊥ΘΓ⊥T＜0，ΛT⊥ΘΛT⊥T＜0 式中Γ⊥，Λ⊥分別表示Γ，Λ 的正交補，即Γ⊥Γ=0，Λ⊥Λ=0.

定理2:考慮具有SOD 調度策略的NCSs(6)和觀測器Ψ，使得對于所有不確定函數矩陣F(t)，滿足條件(10)的充分條件是存在標量ε ＞0，矩陣Q12∈n×n，對稱正定陣X1，Q2，Ω，L∈n×n，使得下列不等式同時成立:

根據引理1，上述矩陣不等式對于所有不確定函數矩陣F(t)成立，當且僅當存在標量ε ＞0，使得

進一步將式(8)中的系數矩陣代入上式可得

式中:

令G1=A-G，由Schur 補定理將矩陣Φ 展開，并將其分為兩部分:一部分不含G1，H 的矩陣A#;另一部分為含有G1，H 的矩陣A*，即

式中:M=［0 I 0］T;G0=［G1-H］;

此時式(20)轉化為

由引理2 可知，式(21)關于G0有解的充分必要條件是:

為明細式(22)、式(23)，接下來分3 步證明它等價于式(14)-式(16).

進一步由Schur 補定理可得

上式分別左乘、右乘diag(Q-111I I)，且令X1=由Schur 補定理可得

即為式(14).

所以將Σ-1，N⊥代入(23)，同時令A1=A+D1W1，Ω=P11+P12+PT12+P22，并運用Schur 補定理可得

即為式(15).

步驟3 為求出P22的值，首先需要求Q22，將Ω展開為

上式成立的充分必要條件是存在正定對稱矩陣L∈n×n使得:

由Schur 補定理可得

即為式(16).

利用現有的Matlab 仿真環境中LMI 工具箱可求解出式(21)中的G1，H，進而由G1=A-G 求出G，從而確定了保成本觀測器的參數。通過求解矩陣不等式(14)-式(16)，可求得Q，進而由P-1=Q，可以確定P.

定理2 表明系統(6)的保成本觀測器存在，且保成本矩陣為P22.顯然，若保成本觀測器存在，如何進一步優化保成本矩陣P22是很有意義的。因為P22正定，如果極小化Trace(P22)，那么在一定程度上就優化了P22，所以我們給出Trace(P22)的優化方法。

定理3 若以下優化問題

有解X1，Q2，Ω，L，Q12及ε ＞0，則Ψ 為最優狀態保成本觀測器，且可保證系統(6)的成本最小。

證明:由定理2 可知Ψ 是由X1，Q2，Ω，L，Q12及ε ＞0，確定的保成本觀測器，不難發現只有P22的對角線才有估計誤差的真正信息。因此對P22的跡進行優化，也就是使估計誤差達到最小，從而獲得最優保成本觀測器。結論得證。

3 仿真

考慮如下線性不確定系統

性能函數

其中:R1=R2=I，給定初始性能上界J*=3.

使用Matlab 仿真環境中Truetime 工具箱建立相應網絡環境，針對加入SOD 調度策略后的線性不確定NCSs，根據1.1 小節的描述可以確定，‖φ(t)‖≤

保成本觀測器方程:

由定理2 通過Matlab 的LMI 工具箱求解觀測器矩陣可得:

性能指標上界J*=2.347 5 ＜3.

圖4 具有SOD 調度策略的NSCs 狀態Fig.4 The states of NCSs with SOD scheduling strategy

圖5 具有SOD 調度策略的NSCs 觀測器狀態Fig.5 The observer states of NCSs with SOD scheduling strategy

圖4、圖5中:x11 為狀態x1 的觀測值;x22 為狀態x2 的觀測值。仿真結果表明，本文設計的保成本觀測器在保證給定性能的前提下，能較好的跟隨系統狀態。

4 結束語

本文研究了具有通信約束的網絡控制系統保成本觀測器設計問題。介紹了SOD 調度策略的基本思想，進一步將調度策略和網絡影響建立到系統模型中。在此基礎上，給出了系統保成本觀測器存在的充分條件，利用LMI 和正交補的方法給出了這一條件的等價刻畫，并求解了觀測器參數，優化了成本矩陣。仿真結果表明本方法的有效性。

References)

［1］ Walsh G C，Ye H，Bushnell L.Stability analysis of networked control systems［C］∥Proceedings of the American Control Conference，San Diego，1999:2876-2880.

［2］ Tipsuwan Y，Chow M Y.On the gain scheduling for networked PI control over IP network［J］.IEEE Transactions on Mechatronics，2004，9(3):491-498.

［3］ Xu Y，Hespanha J P.Estimation under uncontrolled and controlled communications in networked control systems［C］∥Proceeding of the 44th Conference on Decision and Control，Seville，2005:842-847.

［4］ 姚秀明，李清華，等.基于狀態觀測器的網絡化控制系統的h∞控制分析［J］.兵工學報，2008，29(7):870-876.YAO Xiu-ming，LI Qing-hua，et al.Robust observer based h∞control for a class of networked control systems［J］.Acta Armamentarii，2008，29(7):870-876.

［5］ Zhipu J，Chih-Kai K.Estimation for nonlinear dynamical systems over packet-dropping networks［C］∥Proceeding of American Control Conference，New York，2007:5037-5042.

［6］ Schenato L.Optimal estimation in networked control systems subject to random delay and packet drop［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2008，53(5):1311-1317.

［7］ Chow M Y，Tipsuwan Y.Gain adaptation of networked DC motor controller based on QOS variation［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2003，50:936-943.

［8］ 于之訓，陳輝堂，王月娟.基于H∞和μ 綜合的閉環網絡控制系統的設計［J］.同濟大學學報，2001，29(3):307-311.YU Zhi-xun，CHEN Hui-tang，WANGYue-juan.Design of closed loop network control system based on H∞and μ［J］.Journal of Tongji University，2001，29(3):307-311.(in Chinese)

［9］ Fang X，Wang J.Stochastic observer-based guaranteed cost control for networked control systems with packet dropouts［J］.IET Control Theory and Applications，2008，2(11):980-989.

［10］ Peng C.Networked，guaranteed cost control for a class of industrial processes with statedelay［J］.Asia-Pacific Journal of Chemical Engineering，2007，2(6):650-658.

［11］ Huang D，Nguang S K.Robust disturbance attenuation for uncertain networked control systems with random time delays［J］.IET Control Theory and Applications，2008，2(11):1008-1023.

［12］ Heng W，Guang-hong Y.Fault detection observer design for linear discrete-time systems in finite frequency domain［C］∥IEEE Conference on Decision and Control，New Orleans，2007:378-383.