中短途公路與鐵路競爭下動態(tài)火車票價制定問題＊

孫春麗 陳森發(fā)

（東南大學(xué)系統(tǒng)工程研究所 南京 211189）

0 引 言

從中國近幾年交通運輸?shù)陌l(fā)展來看，各運輸方式之間采取動態(tài)優(yōu)惠預(yù)售票價方式吸引更多的旅客，使客票期望收益最大化成為一種有效的競爭手段，因此如何根據(jù)市場需求的變化及時調(diào)整或選擇恰當?shù)膭討B(tài)票價策略，將成為鐵路企業(yè)增效的一種重要手段.票價的制定問題已有論文討論過，文獻［1－3］通過運用雙層規(guī)劃模型建立了合理的模型，兼顧了交通部門和乘客的利益，并通過靈敏度分析方法求出解，但該方法確定的僅僅是單一的票價.文獻［4］通過建立的馬氏純滅過程模型求的最優(yōu)動態(tài)票價，但是在該論文中動態(tài)票價集是給定的，而如何確定動態(tài)票價集仍是個問題.本文重點討論中短途公路與鐵路之間的競爭，即在前人所提出的雙層規(guī)劃模型和靈敏度分析方法的基礎(chǔ)上，建立了一個非線性規(guī)劃模型，并對此進行了分析并求得了最優(yōu)動態(tài)票價.

1 城市間的多模式均衡配流模型

對于交通方式選擇問題來說，市場份額分為2個部分：即強迫購買部分和自由購買部分，將分別對應(yīng)鐵路、高速公路和航空旅客運輸中的穩(wěn)定客戶群與自由選擇客戶群.某種旅客運輸方式的穩(wěn)定客戶群是由旅客的經(jīng)濟狀況、旅客的個人偏好等原因形成的穩(wěn)定的乘客群，這種穩(wěn)定的乘客群一般不考慮改變旅行的交通方式.自由選擇客戶群將根據(jù)各種旅行方式的旅行時間、旅行價格、旅行的準時性、旅行的安全性和舒適性等因素形成對各種交通方式的效能函數(shù)值，并以此來確定將要選擇的交通方式.綜合考慮到這些因素，能夠得到公路和鐵路的運輸方式的效能函數(shù)

式中：ζ為影響旅客運輸分擔比例的因素集合；i為兩種旅客運輸方式，i＝1為鐵路，i＝2為公路；Vi為第i種運輸方式的效用值；xir為第i種運輸方式的第r個因素的值；βi為xir在效能函數(shù)中的權(quán)重值.

下面，定義變量如下：W 為運輸網(wǎng)絡(luò)中所有OD對（從某起點至終點的運輸通道成為一個OD對）序號的集合.w為OD對排列序號，w∈W；Qw為OD對w總的客流量；qnw為OD對w第n種運輸方式的客流量，n＝1，2，…，N，N為運輸方式總數(shù).

在本文中，假定在多種運輸方式的均衡狀態(tài)下，在OD對w中不同運輸方式的客流量滿足Logit分離模型，即

構(gòu)造如下最優(yōu)化模型（M），并且證明這個模型的解滿足式（2）

本文采用指數(shù)型需求函數(shù)

2 靈敏度分析方法

靈敏度分析方法主要應(yīng)用在變分不等式中.通過這種方法，可以求出變分不等式的解對其擾動參數(shù)的導(dǎo)數(shù).本文假定這個擾動參數(shù)為旅客票價，并且假定影響客流變化的其他因素如時間、舒適性和安全性等均保持不變.

首先，多模式均衡配流模型（M）可表示為

式中：所有的qw∈｛qw（ε）｜Qw＝∧qw（ε）｝.

式中：uw為求解模型時，對應(yīng)于約束條件（4）的拉格朗日乘子.詳見參考文獻［6］.

設(shè) y（ε）＝［qw（ε），uw（ε）］T，用Jy（ε）表示式（10）和式（11）對［qw（ε），uw（ε）］的雅可比矩陣，用Jε（ε）表示式（10）和式（11）對于ε的雅可比矩陣，那么有如下結(jié)果［6］：

并且有如下結(jié)論

這樣就得到不同運輸方式在均衡條件下客流量與擾動參數(shù)之間的關(guān)系，也就是客流量與旅客票價之間的關(guān)系.由此可以建立非線性規(guī)劃模型如下.

式中：f為某種運輸方式下的經(jīng)營收入.y（ε）與ε的關(guān)系如式（13）.ε為擾動參數(shù)旅客票價，y（ε）為相應(yīng)的客流量.

下面在一個實例的基礎(chǔ)上具體應(yīng)用該非線性規(guī)劃模型，并求得動態(tài)票價.實驗表明這個模型是可行的.

3 算 例

本算例對于效能函數(shù)來說分別考慮快速性、準時性、方便性、舒適性、以及經(jīng)濟性，各自對應(yīng)的權(quán)重及數(shù)據(jù)見參考文獻［7］.本文以石家莊到天津之間的運輸方式之間，制定合理的動態(tài)火車票價，假設(shè)10天的總客流量為3 000人·次，需求函數(shù)中的β＝1.

表1 各因素的權(quán)重

表2 各因素所對應(yīng)的屬性值

式中：p1為乘坐汽車的票價且取p1＝100.

鐵路的效用函數(shù)為

式中：p1，p2，p3分別為不同時間段提前購票所對應(yīng)的票價，本文假定各個時間段里所對應(yīng)的權(quán)重比為5∶3∶2.當擾動參數(shù)為0時，求的模型（M）的均衡解為

在這個算例中

所以，公路的效用函數(shù)為

根據(jù)式（15）、（16）、（17）得到Jy（p）和Jp（p）

將q1＊＝1 885，q2＊＝1 015代入Jy（p）得

最后得到

因此得出不同運輸方式在市場均衡條件下客流量與旅客票價之間的關(guān)系

由此可以得出票價與乘客人數(shù)之間的關(guān)系，本文假定公路票價是一定值，即p1＝100，下面求火車的動態(tài)票價.建立數(shù)學(xué)模型為

式中：y為鐵路部門的總收益，（－75.211 5×p1＋1 015＋84.777 9p21＋50.866 7×p22＋33.911 ×p23）為乘坐火車的客流量，1／2×p21＋3／10× p22＋2／10×p23分別為各個時間段內(nèi)的票價，前面的系數(shù)為各個時間段內(nèi)所占客流量的百分比.此系數(shù)是假定的.

這是一個非線性規(guī)劃問題，由于目標函數(shù)的hessian矩陣是正定的，所以目標函數(shù)是凸函數(shù).又因為其約束條件也為凸函數(shù)，所以該問題的最優(yōu)解即為其K－T點.

利用Matlab程序求的最終的結(jié)果為：p21＝51，p22＝56，p23＝64.對應(yīng)的目標函數(shù)值y＝－160 460，即火車在這種票價制度下的最佳收益值為160 460元.而目前火車的票價為50元，按照票價與客流量之間的關(guān)系可求的，此時鐵路部門的收益為：99 750元.

4 結(jié)束語

本文采用規(guī)劃方法和靈敏度分析方法求出票價和客流量之間的關(guān)系，并由此建立了一個非線性規(guī)劃模型，并求出動態(tài)票價的解，數(shù)據(jù)證明實施動態(tài)票價要比單一票價鐵路部門的經(jīng)濟收益高，而且證明此模型具有可行性，具有一定的現(xiàn)實意義.但是本文仍存在欠缺的地方，本文假定總客流量是一定的，而且各個時間段內(nèi)的客流量比例也是假定的，沒有考慮到客流量是隨價格的變動而變動的，有待進一步研究.

［1］高自友，四兵鋒.市場競爭條件下鐵路旅客票價制定的模型與算法［J］.交通運輸系統(tǒng)工程與信息，2001，1（1）：50－55.

［2］四兵鋒，高自友.合理制定鐵路客票價格的優(yōu)化模型及算法［J］.管理科學(xué)學(xué)報，2001，9（1）：45－51.

［3］朱玲玲，徐 慶.彈性需求下鐵路票價和提速策略的優(yōu)化模型［J］.系統(tǒng)工程，2005（4）：69－74.

［4］史 峰，鄭國華，谷 強.鐵路客票最優(yōu)動態(tài)票價理論研究［J］.鐵道學(xué)報，2002，24（1）：1－4.

［5］四兵鋒，高自友.鐵路旅客票價與客流量之間的靈敏度分析［J］.鐵道學(xué)報，1999，21（4）：13－16.

［6］Tobin R L，F(xiàn)iacco A V.Sensitivity analysis for variational inequalities［J］.Journal of Optimization Theory and Application，1986，48（1）：45－50.

［7］生 璇，佟 瓊.客運專線票價制定及其實證研究［D］.北京：北京交通大學(xué)產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟學(xué)院，2007.