基于極大似然估計法參數空間上的區間估計

楊志忠

（青海師范大學 數學系，西寧 810008）

0 引言

經典的頻率方法廣泛應用于參數的區間估計，但當參數受約束時，一般情形下得到的參數估計不能保證仍然在限制參數空間上。李新民、李國英利用Fiducial推斷法，求出了限制參數空間上的參數區間估計[5]，并且結合實例說明了其合理性。

Fiducial推斷具體為：已知隨機變量X對應分布函數為F（x|θ），其中θ為未知參數，樣本空間為x，參數空間為Ω。假如ξ在上可以找到一個隨機變量E，其分布Q已知，且存在ξ×Ω的函數h(e,θ)使得Xd=h(E,θ)，其中表示同分布，并且對X的任意觀測值x∈x和E的任意觀察測值e∈ξ，方程x=h (e,θ)在Ω上有唯一解，其解記為：Θ=(E)，(E)在Q下的分布為Θ的Fiducial分布為：F(θ)=Q((e)≤θ(e)∈Ω*)。再給定置信水平1-α的條件下Θ的1-α區間估計為：（θ1，θ2），其中θ1，θ2由（1）、（2）式決定：

其中0＜α1＜α,0＜α2＜α且α1+α2=α。

在利用Fiducial推斷時，其關鍵為可以找到E～Q且有Xh(E,θ)，并且方程x=h(e,θ)在Ω上存在唯一解，但理論分析表明應該是方程X=h(e,θ)在Ω上存在唯一解，在實際操作中這些條件不易達到，故其操作性是有局限的。在此我們不再去尋找變量E～Q而是首先利用極大似然估計法求出參數θ∈Ω*的點估計θ＾再用樣本去代替E，求出了參數θ的條件分布，進而求出了參數θ的區間估計。

1 主要結果

由于X的分布函數為F（X|θ），θ=（θ1，θ2，…，θk）∈Ω*為未知參數，其中Ω*?Ω,Ω為參數空間，Ω*為限制參數空間，從總體中抽取X1,X2,…，Xn樣本，由極大似然估計法有[3]：

則同似然方程

在給定α1,α2其中0＜α1＜α,0＜α2＜α,(0＜α＜1)且α1+α2=α的條件θ下的1-α區間估計為（θ1，θ2），其中θ1、θ2由（4）、（5）式決定

2 實例分析

Seidenfeld[1]-Mayo[2]問題，已知X～Uniform（0，θ）假設未知參數θ≤θ*，不妨設θ*=15，當觀測值為X時，求θi的1-α區間估計。

利用Fiducial方法可知θ的1-α區間估計為：(θ1,θ2)其中θ1θ2由下式決定

當x=10，α1=α2=0.025時θ的1-α區間估計為：

現利用本文方法求θ的1-α區間估計。

從總體中抽取一組樣本X1,X2,…，Xn，由于X～U(0,θ)，則Xi～U(0,θ)由極大似然估計法，似然函數L為：

因此θ的條件分布函數為

在給定α1,α2其中0＜α1＜α，0＜α2＜α(0＜α＜1)且α1+α2=α的條件下θ的1-α區間估計為（θ1,θ2）其中θ1,θ2由（6）、（7）式決定

當α1=α2=0.025，n=10,=8,(θ1,θ2)=(10.373,14.962)∈Ω*

我們發現，|θ2-θ1|=4.589其中μ，σ2為未知參數，若μ≥μ0，不妨設μ0=15,當觀測值為X1，X2，…，Xn時，求μ的1-α區間估計，

當n=6,S2=4/5,=14，由Fiducial方法可知μ的1-α區間最短估計為

現利用本文方法求μ的1-α區間估計。

有似然函數

則有對數似然函數1nL為

有對數似然方程

在給定α1,α2其中0＜α1＜α,0＜α2＜α,(0＜α＜1)且α1的條件下μ的1-α區間估計為（μ1，μ2)，（μ1，μ2由（8）、（9）式決定

當n=6,S2=4/5,=14,α1=α2=0.025時

以實例表明，在同等置信水平下用本文的計算結果更為精確，說明本方法時可行的。

[1]Seidenfeld F.Philosophical Problems of Statistical Inference[M]. Dordrecht:Reidel,1979.

[2]Mayo DG.Indefense of the Neyman-Pearson Theory of Confidence Intervals[J].Philosophy of Science,1981,48(2).

[3]魏宗舒.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社,2004.

[4]陳希孺.概率論與數理統計[M].北京：中國科技大學出版社,2005.

[5]李新民,李國英.限制參數空間上的Fiducial推斷[J].系統科學與數學，2005，(12).

[6]茆詩松，王靜龍.高等數理統計[M].北京：高等教育出版社，2002.