不重復抽樣下總體比例的估計

管宇

（浙江農林大學 統計系，浙江 臨安 311300）

0 引言

其中，z為標準正態分布的分位點Φ(z)=1－α/2，1－α是置信概率或稱置信水平。由于超幾何分布是離散分布，而正態分布是連續分布，因此考慮對其進行連續性修正[1,2]：

正態近似產生的誤差主要與P和n相關，P接近于0和1時誤差相當大，文獻[1]列出了正態近似的最小np值與n值。

除正態近似外，Burstein[4]提出由二項分布近似超幾何分布而借用二項參數的置信區間略作修正近似成為p的置信區間，當然此時二項參數的置信區間要盡可能準確。本文研究比較區間CI1、CI2、CI3的統計性質，以決定它們的取舍。

1 范圍概率

設總體比例P未知，經不重復抽樣得樣本比例p，約定置信水平1－α。設[L(p),U(p)]為P的一置信區間，在常規意義下區間估計應該滿足

但是，超幾何分布是有限離散隨機變量，除極個別點P值外，對于（0,1）區間中的幾乎所有P值來說，等式（4）精確成立是不可能的。為此，我們稱P{L(p)≤P≤U(p)}為置信區間[L(p),U(p)]的范圍概率，簡記CP{L(p),U(p)}或CP。如果要求對所有P∈(0,1)，都有CP≥1－α，這樣的區間稱為精確置信區間（Exact confidence level）；特別地，人們希望這些區間的長度都是最短的，此時稱為短的精確置信區間[5]。不難想象精確置信區間是沒有簡單的顯式表達形式的，必須借助計算機進行編程運算才能獲得。因此，統計家們作出了各種短的精確置信限表以方便人們需要時查閱。我國國家標準庫“數據的統計處理和解釋”中就有一些置信限表，如GB/T 10094-2009正態分布分位數與變異系數的置信限、GB/T4087-2009二項分布可靠度單側置信下限等。

另外，精確置信區間要求范圍概率不得低于置信水平，必然造成在某些時候估計過于保守。假若對于某P值，有兩個置信區間I1和I2（表達式復雜程度一樣），它們的范圍概率分別等于0.956和0.948，那么恐怕大多數人會選擇I2而不要I1，雖然前者的范圍概率低于要示的置信水平0.95，但其與0.95的絕對誤差明顯小于后者。因此，尋找與置信水平誤差較小而表達式簡單的近似置信區間具有非常現實的實用價值。

定理1置信區間CI1、CI2、CI3對應的范圍概率分別為

吳喜之[6]指出置信區間CI1的下限可能會出現負值，其實我們只需要將負值下限修改為0，同樣地凡遇到大于1的上限修改為1。由于這不是問題的關鍵，通常文獻中（如[5]）都不特別強調，只要在使用（本文區間CI1、CI2、CI3和它們的范圍概率）時略加注意就行。

置信區間CI1和CI2因為表達式簡單而廣泛地出現在統計手冊[7]和“抽樣技術”教材[1,2]，CI3則表達形式略顯復雜。表1和圖1列出了這三個區間的范圍概率的一些數據，其中表1中N=10000、M分別取遍1至9999所有整數，minCP表示P= M/N中范圍概率的最小值即最壞的范圍概率，n2-、n1-、n1+、n2+分別為范圍概率與置信水平的差落入區間 [kα/5,(k+1)α/5)(k =-2,-1,0,1)的比例。顯然n1+越大越好，其次是n1-+n1+越大越好。如水平1－α=0.90、0.95、0.99時，n1-和n1+分別代表落入區間[0.88,0.90)和[0.90,0.92)、[0.94,0.95)和[0.95,0.96)、[0.988,0.99)和[0.99,0.992)。

圖1顯示了H(10000,M,100)對應的區間CI1、CI2、CI3的范圍概率曲線，M取遍1至5000的所有整數，P=M/N。因超幾何分布關于M對稱的，故只需顯示一半即可。CI1的范圍概率明顯偏小，特別是水平0.99時只有2%多點達到0.99。CI2在水平0.90和0.95時偏保守，但在水平0.99時則只有約1/ 3達到目的0.99，不同水平下范圍概率分布不平衡。而且CI1和CI2的最壞情形時范圍概率都只有0.1，當M/N＜0.05時它們的范圍概率都明顯小于置信水平。區間CI3的范圍概率絕大部分都在置信水平附近，對于水平0.90、0.95、0.99相應的n1-+n1+分別是達到88%、85%、73%；只有M/N＜0.02時范圍概率才有些大的波動，但最壞時與置信水平差距最多約0.1。表1中的后六行列出H(10000,M,20)和H(10000,M,2000)相應區間CI3范圍概率數據，顯然抽樣樣本容量n越大，范圍概率分布越集中于置信水平附近，區間CI3估計效果越好；樣本容量n越小，范圍概率分布越分散，估計效果略差些。但是，即使樣本容量n只有20（抽樣比f=0.002），最壞情形與置信水平相差至多約0.11。

圖1 H(10000,M,100)的置信區間CI1、CI2、CI3(行：自下往上)對應于置信水平0.90、0.95、0.99(列：從左往右)的范圍概率曲線

表1 區間CI1、CI2、CI3的最小范圍概率和落入置信水平附近區域的比率

2 結論

[1]Cochran W G.抽樣技術[M].張堯庭,吳輝譯.北京:中國統計出版社,1984.

[2]李金昌主編.應用抽樣技術[M].北京:科學出版社,2007.

[3]雷欽禮.總體比例置信區間的確定[J].山西財經學院學報,1996,(2).

[4]Burstein H.Finite Population Correction for Binomial Confidence Limits[J].Journal of the American Statistical Association,1975,70 (349).

[5]Kabaila P,Byrne J.Comparion of Poisson Confidence Intervals [J].Communications in Statistics-Theory and Methods,2005,34.

[6]吳喜之.不同總體量和樣本量時如何計算比例的置信區間[J].統計與信息論壇,2005,20(3).

[7]茆詩松主編.統計手冊[M].北京:科學出版社,2003.