基于改進背景值算法的優化GM(1,1)模型及其應用

毛文晉，冉 璐

（1.西南石油大學 經濟管理學院，成都 610500；2.重慶三峽學院，重慶 萬州 404000）

0 引言

由于GM(1,1)模型能用較少的數據序列建立模型去反映系統的主要動態特性，在顯著不確定性和缺乏數據信息的領域得到了成功的應用,但同時也存在一些預測偏差過大的情況,反映了GM(1,1)模型的實用性有待提高[1][2]。在研究和應用灰色系統模型過程中，GM(1,1)模型的缺陷不斷被發現，模型的不足之處不改進[3～10]。文獻[3]提出預測公式中的以x(0)(1)為已知條件不合理；文獻[4]指出灰微分方程參數方程組病態的問題；文獻[5～10]指出導致GM(1,1)模型誤差偏大的原因是該模型中背景值的構造方法不當所致，并給出了各自的改進方法。

而其中背景值的構造方法成為影響GM(1,1)模型精度和適應性的關鍵因素。實驗結果顯示，文獻[9]的背景值構造方法具有更高的精度，同時既適用于低增長指數的數據列進行GM(1,1)預測，也適用于高增長指數的數據列進行GM(1,1)預測。但該文獻中推導背景值計算公式時，假定，此與GM(1,1)預測公式相比少了常數項，導致在增長指數較小時反而不如傳統GM(1,1)的擬合精度高。本文擬在文獻[9]的基礎上，重新推導背景值的計算公式；同時，考慮到最優的擬合曲線不一定經過歷史數據中的某一點，利用誤差最小的方法求解得到預測公式中最優C值。

1 改進背景值計算的GM(1,1)模型

x(1)序列滿足下述一階線性微分方程模型：

其中a為發展系數（增長指數），反映了數據序列x(1)及原始數據序列x(0)的發展趨勢；u為灰作用量。其解為：

并稱（1）式為（3）式的白化方程。

其中z(1)(k)為背景值，一般z(1)(k)=0.5x(1)(k-1)+0.5x(1)(k)(k= 2,3,…,n)。采用最小二乘算法求解估計a和u，可得：

其中

在區間[k-1,k]上對（1）式兩邊同時求積分可得：

已知x(1)(u)-x(1)(u-1)=x(0)(u)，比較（3）式和（7）式可知應滿足：

不妨假定x(1)(t)=CeAt+B，而x(0)(t)=ceait，離散化有：

比較可得：

把x(1)(t)=CeAt+B帶入（8）式，可得：

可見關鍵是確定A和B，由前定義可得：

又因x(0)(1)=CeA(1-1)+B=C+B

則可求得：

故可得新的背景值計算公式為：

基于新的背景值計算公式并由（4）式求解得到a和u，并代入（2）式并離散化，假定(k)代表原始累加數據x(1)(k)的預測值，則有：

在傳統GM(1,1)預測公式中：

累減生成還原得到原始數據序列的灰色預測模型為：

2 優化初始值G

考慮到最優的擬合曲線不一定經過歷史數據中的某一點，基于（16）式選擇的初始值G不一定是最優的，即G的選取是影響GM(1,1)模型建模精度的又一個重要因素.為了獲得最優的擬合曲線,提高模型的建模精度,需要對G進行優化。

定義：

把（17）式代入（18）式可得：

求滿足擬合值和原始值平方和誤差最小的得：

簡化后可得最有的G值為：

3 預測步驟和實例應用

3.1 預測步驟

由上面分析可總結預測步驟如下：

（1）由原始數據生成x(1)(k)，基于(13)式計算z(1)(k)，并基于(5)(6)式生成Yn和Bn；

（2）基于(4)式計算發展系數a和灰作用量u；

3.2 實例及應用

3.2.1 實例

為使結果有可比性，采用與文獻[9]中相似的數據x(0)(k)-ea(k-1)(k=0,1,2,3,4,5)來建模預測，其中-a=0.05,1.5,2.5。把文獻[9]中所提出模型稱為模型[9]，本文模型稱為新模型。由于在文獻[9]中已經證明了模型[9]比其它改進背景值方法的模型有效，所以不在選用其它模型分析。但是，在-a=0.05時，model[9]的擬合和預測誤差比傳統的GM(1,1)模型（稱為原模型）大，也采用了傳統模型進行了分析和比較。定義殘差ξ(k)為：

擬合和預測結果見表1～4。表1的結果表明傳統GM (1,1)模型的結果比文獻[9]模型的結果精度高，其原因在于模型[9]中忽略的常量在發展系數小時較大，不考慮就帶來了較大誤差。但是從表1～4可見，不關發展系數小（-a=0.05）還是大（-a=2.5），新模型的預測和擬合結果的精度都遠高于另外兩種模型，顯示了其有效性。

3.2.2 應用

為進一步驗證本文的算法，選用了文獻[8]中的英國市場研究機構Analysys Ltd的一份研究報告預計的2004～2008年歐洲手機游戲市場規模進行了仿真建模分析。

定義相對誤差為：

擬合結果見表5，從表中可見，當采用平均殘差作為模型精度判斷依據時，原模型、模型[9]、新模型的平均殘差分別為0.4674、0.0993和0.0826，即新模型最好。

表1 -a=0.05時三種模型的擬合結果

表2 -a=1.5時模型[9]和新模型的擬合結果

表3 -a=2.5時模型[9]和新模型的擬合結果

表4 -a=0.05,1.5,2.5和k=6,7時模型 [9]和新模型的預測結果

當采用平均相對誤差作為模型精度判斷依據時，原模型、模型 [9]、新模型的平均相對誤差分別為 2.3743%、1.2113%和0.8697%，新模型最好。

當采用相對誤差最大值作為模型精度判斷依據時，原模型、模型 [9]、新模型的相對誤差最大值分別為3.9801%、3.9909% 和1.8983%，也是新模型最好。本實例應用同樣顯示出了新模型的有效性。

表5 三種模型的擬合結果(億歐元)

4 結論

本文分析了GM(1,1)模型背景值的構造方法，并基于文獻[9]提出了一種改進的構造計算方法。并對GM(1,1)模型的初始條件進行了優化，利用誤差平方和最小的方法求解得到了其最優值，從而擺脫了原有模型的初始值經過了歷史數據中的某一點的束縛。同時，相較傳統GM(1,1)模型建模方法，本文提出的優化模型并沒有變復雜，同時也繼承了灰色模型所需歷史數據少的優點，實現和計算簡單。從實例模擬及分析可見，本文提出的優化GM(1,1)模型使得擬合、預測精度更高，適合范圍寬。本文的研究具有一定的理論意義和應用價值。

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