一種滯后供給與銷售價(jià)和等待時(shí)間均相關(guān)的EOQ模型

羅 兵，常旭華，王晶晶，張瑞娟

（重慶大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院，重慶 400030）

0 引言

庫(kù)存控制是運(yùn)籌學(xué)和運(yùn)營(yíng)管理中的一個(gè)重要分支，庫(kù)存不足或占用量過多都會(huì)對(duì)企業(yè)造成巨大經(jīng)濟(jì)損失。當(dāng)銷售商缺貨時(shí)，一些顧客會(huì)轉(zhuǎn)向購(gòu)買其它商家的產(chǎn)品，給銷售商帶來丟單損失；如存儲(chǔ)過多產(chǎn)品，又會(huì)占用大量流動(dòng)資金，增加保管成本。因此，制定合理的訂貨和銷售策略，是企業(yè)管理的一項(xiàng)重要工作。經(jīng)典EOQ（Economic ordering quantity）模型假定短缺量完全拖后或丟失，但在實(shí)際經(jīng)濟(jì)生活中，短缺量經(jīng)常是部分拖后的。Wee[1]建立了一個(gè)短缺量滯后供給分?jǐn)?shù)為常數(shù)的EOQ模型；Padmanabhan等[2]研究了短缺量水平對(duì)滯后供給的影響，發(fā)現(xiàn)企業(yè)缺貨數(shù)量較大時(shí)，顧客會(huì)對(duì)銷售商供貨能力產(chǎn)生懷疑，從而放棄等待供貨；H.J.Chang等[3]研究了瞬時(shí)補(bǔ)貨條件下顧客等待時(shí)間對(duì)滯后供給分?jǐn)?shù)的影響，認(rèn)為等待時(shí)間越長(zhǎng)，短缺量滯后供給分?jǐn)?shù)越小，建立了相應(yīng)的EOQ模型，根據(jù)不同需求形式對(duì)訂貨次數(shù)和總成本進(jìn)行了數(shù)值仿真分析；L.A.San-Jose等[4]研究了滯后供給分?jǐn)?shù)與顧客等待時(shí)間和訂貨周期均相關(guān)的庫(kù)存問題；羅兵等[5]認(rèn)為倉(cāng)庫(kù)出空期間供應(yīng)商是否開始供貨對(duì)滯后供給分?jǐn)?shù)有較大影響，并用某電子公司的實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證；Abad[6]假定顧客等待時(shí)間與銷售商開始補(bǔ)貨時(shí)刻點(diǎn)、缺貨水平以及補(bǔ)貨速度相關(guān)，以價(jià)格、現(xiàn)貨（缺貨）期長(zhǎng)度作為決策變量，研究了價(jià)格影響市場(chǎng)需求下的經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量問題；Abad[7]建立了變質(zhì)率是時(shí)變函數(shù)且考慮丟單成本的EOQ模型，但上述研究中，要么沒有考慮價(jià)格因素，或者考慮了價(jià)格對(duì)理論市場(chǎng)需求率的影響，卻未考慮倉(cāng)庫(kù)缺貨期間價(jià)格對(duì)短缺量滯后供給分?jǐn)?shù)的影響，而實(shí)際中消費(fèi)者在決策是否等待補(bǔ)貨時(shí)一般會(huì)考慮銷售價(jià)格的高低。一些學(xué)者如Pan等[8]研究了價(jià)格折扣對(duì)滯后供給的影響，但僅局限在提前期庫(kù)存模型方面。筆者認(rèn)為，倉(cāng)庫(kù)缺貨期間銷售價(jià)一方面通過理論需求率影響滯后供給量，即銷售價(jià)越高，理論需求率越低，滯后供給量越小；另一方面，銷售價(jià)與顧客等待時(shí)間共同影響短缺量滯后供給分?jǐn)?shù)，即銷售價(jià)越高，顧客等待時(shí)間越長(zhǎng)，滯后供給分?jǐn)?shù)越小，導(dǎo)致滯后供給量越小。

本文將在Abad[7]基礎(chǔ)上，綜合考慮銷售價(jià)和顧客等待時(shí)間對(duì)短缺量滯后供給分?jǐn)?shù)的影響，建立一種短缺量滯后供給與銷售價(jià)和顧客等待時(shí)間均相關(guān)的EOQ模型，采用仿真方法研究庫(kù)存系統(tǒng)主要參數(shù)對(duì)銷售商訂貨、銷售以及平均利潤(rùn)的影響，以期為企業(yè)定價(jià)和訂購(gòu)工作提供決策依據(jù)。

1 假設(shè)和符號(hào)定義

（1）庫(kù)存系統(tǒng)計(jì)劃期沒有限制，單周期問題，一個(gè)周期長(zhǎng)度為T；

（2）一個(gè)周期t內(nèi)時(shí)刻庫(kù)存水平為I(t)；

（3）市場(chǎng)需求連續(xù)，產(chǎn)品理論需求率D(ps)是銷售價(jià)ps的函數(shù)，且滿足dD(ps)/dps＜0；

（4）t1時(shí)刻點(diǎn)開始缺貨，短缺量部分滯后供給，滯后供給分?jǐn)?shù)ρ與銷售價(jià)ps和顧客等待時(shí)間△t負(fù)相關(guān)，即銷售價(jià)越高，等待時(shí)間越長(zhǎng)，顧客越不愿意等待，ρ(ps,△t)=e-k1ps-k2△t，k1為價(jià)格滯后供給因子（與決策變量有關(guān)），k2為顧客等待時(shí)間滯后供給因子（與決策變量無(wú)關(guān)），t∈[t1,T]時(shí)刻的滯后供給量B= D(ps)ρ(ps,△t)=D(ps)e-k1ps-k2△t；

（5）存貨水平影響需求或銷售，存貨影響銷售率為β；

（6）產(chǎn)品會(huì)發(fā)生變質(zhì)，變質(zhì)率為θ；

（7）產(chǎn)品采購(gòu)價(jià)為pb，一次訂購(gòu)成本為A，單位保管、缺貨、丟單成本分別為h、cs、cl。

2 建立數(shù)學(xué)模型

一個(gè)周期內(nèi)存貨水平變化規(guī)律如圖1所示。

圖1 一個(gè)周期存貨水平變化情況

t時(shí)刻點(diǎn)存貨水平I(t)需滿足以下等式：

由邊界條件I(t1)=0，可得：

由此可計(jì)算一個(gè)周期的銷售收入和各項(xiàng)成本如下：

銷售收入R

采購(gòu)成本Cb

訂購(gòu)成本A

保管成本Ch

缺貨成本Cs

丟單成本：Cl

一個(gè)周期內(nèi)庫(kù)存系統(tǒng)總利潤(rùn)為

一個(gè)周期內(nèi)庫(kù)存系統(tǒng)平均利潤(rùn)π為

3 算例和主要參數(shù)靈敏度分析

3.1 算例

參考Abad[7]中的數(shù)據(jù)，假定理論需求率為D(ps)=a-bps，初始需求a=45，價(jià)格影響需求因子b=1.75，A=250，h=0.5，cs=2，cl=2，pb=16，β=0.1，θ=0.05，k1=0.2，k2=0.2。運(yùn)用Mathmatic5.0版數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行仿真尋優(yōu)，計(jì)算結(jié)果為：ps=23.0，t1=7.5，T= 9.9；最大平均利潤(rùn)π=-15.54。

3.2 主要參數(shù)靈敏度分析

以下對(duì)系統(tǒng)主要參數(shù)k1、pb、a、b進(jìn)行靈敏度分析，系統(tǒng)其余參數(shù)仍采用數(shù)值算例的數(shù)據(jù)。表1～4分別是價(jià)格滯后供給因子、采購(gòu)價(jià)、初始需求和價(jià)格影響需求因子對(duì)訂貨與銷售策略以及平均利潤(rùn)的影響情況。

表2 采購(gòu)價(jià)pb的靈敏度分析

表3 初始需求a的靈敏度分析

由表1可知，隨著價(jià)格滯后供給因子增大，銷售商服務(wù)水平增大，銷售價(jià)變高，平均利潤(rùn)逐漸減少。這意味著，在一定價(jià)格水平下，價(jià)格滯后供給因子越大，滯后供給分?jǐn)?shù)越小，即愿意繼續(xù)等待供貨的顧客越少，對(duì)銷售商而言，滯后供給量的減少會(huì)導(dǎo)致丟單成本增大，從而使周期內(nèi)平均利潤(rùn)減少。因此，銷售商在制定采購(gòu)和銷售策略時(shí)，應(yīng)當(dāng)提高顧客服務(wù)水平，盡量降低缺貨數(shù)量，適當(dāng)提高銷售價(jià)，以彌補(bǔ)部分丟單損失；另外，銷售商應(yīng)當(dāng)注意提升自己的品牌形象，不斷提高服務(wù)質(zhì)量，大力培養(yǎng)忠誠(chéng)顧客，以降低顧客對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的敏感性。

由表2可知，隨著采購(gòu)價(jià)提高，銷售商服務(wù)水平和平均利潤(rùn)逐漸減小，銷售價(jià)則逐漸提高。適當(dāng)降低服務(wù)水平可以使平均利潤(rùn)趨于最大化。這是因?yàn)槿必浧诤陀嗀浧谠黾樱沟萌必浐蛠G單成本增加，但保管和變質(zhì)成本卻下降了，同時(shí)銷售收入有所增加，后兩者對(duì)利潤(rùn)的影響程度小于前面兩者。因此，銷售商應(yīng)當(dāng)做好系統(tǒng)深入的調(diào)查工作，使得服務(wù)水平與采購(gòu)價(jià)相匹配，并適當(dāng)提高銷售價(jià)格，以保持平均利潤(rùn)最大化。

由表3可知，隨著產(chǎn)品初始需求的提高，銷售商服務(wù)水平、銷售價(jià)格和平均利潤(rùn)均逐步提高。這說明初始需求越大，理論需求率也越大，在采購(gòu)價(jià)一定的條件下，平均利潤(rùn)增加。因此，當(dāng)產(chǎn)品銷路較好（暢銷）時(shí)，銷售商應(yīng)當(dāng)提高顧客服務(wù)水平，減少缺貨時(shí)間和缺貨數(shù)量，縮短訂貨周期，分階段提高銷售價(jià)格，以保持平均利潤(rùn)取得最大值。

由表4可知，隨著價(jià)格影響需求因子的提高，服務(wù)水平和銷售價(jià)逐漸降低，平均利潤(rùn)減少。價(jià)格影響需求因子較高的產(chǎn)品一般屬于高檔或奢侈品，顧客對(duì)此類產(chǎn)品的價(jià)格比較敏感，價(jià)格影響需求因子越大，需求遞減速度越快，這是造成平均利潤(rùn)減少的主要因素。因此，對(duì)于價(jià)格影響需求因子較高的產(chǎn)品，銷售商應(yīng)適當(dāng)降低服務(wù)水平，提高資金使用率；也可適當(dāng)降低銷售價(jià)格，以增加理論需求，保持平均利潤(rùn)最高。

表4 價(jià)格影響需求因子b的靈敏度分析

4 結(jié)論

本文考慮銷售價(jià)格通過理論需求率和滯后供給分?jǐn)?shù)共同影響短缺滯后供給量，建立了一種需求率和滯后供給分?jǐn)?shù)均與銷售價(jià)相關(guān)的EOQ模型。研究結(jié)果表明，價(jià)格滯后供給因子、采購(gòu)價(jià)對(duì)銷售商訂貨策略有較大影響，產(chǎn)品初始需求和價(jià)格影響需求因子對(duì)銷售策略有較大影響；當(dāng)銷售價(jià)對(duì)滯后供給分?jǐn)?shù)影響較大時(shí)，銷售商應(yīng)當(dāng)提高顧客服務(wù)水平，減少缺貨時(shí)間和缺貨數(shù)量；當(dāng)采購(gòu)價(jià)較高時(shí)，銷售商應(yīng)適當(dāng)降低服務(wù)水平，采取缺貨策略；當(dāng)初始需求增加或價(jià)格影響需求因子減小時(shí)，銷售商應(yīng)適當(dāng)提高銷售價(jià)格。

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