自由度的認識與應用

程志明，韓兆洲

（暨南大學 經濟學院，廣州 510632）

在推斷統計學中，許多統計檢驗都會涉及到自由度的概念。然而大多數統計學教材介紹自由度時，往往一筆帶過，沒有給出明確的定義或足夠的解釋。正如一位學者所說的那樣：自由度，統計學中一個難以捉摸的概念。對于初學者來說，自由度就像是一個黑箱子，很難知道里面究竟是什么。本文將對自由度的定義作一個較全面的綜述，在此基礎上，給出自由度的科學定義。通過列舉自由度在統計學中的應用，旨在全面認識自由度。

1 自由度的綜述和科學定義

關于自由度的定義，大多數統計學教材中解釋很少，僅有的文獻對自由度的定義也顯得晦澀難懂。

（1）從獨立性方面出發的定義

James和Glenn(1976)定義自由度為：確定一個幾何體或系統所必需的獨立的坐標或參數的個數。這個定義是從幾何和物理的角度出發的。Mill、Harlow和Essex(1990)指出自由度在統計中有幾種不同的意思，自由度被Fisher引入統計學中，Fisher將它看作類似于動態系統中的自由度的概念，在這種情況下一組樣本的自由度就是系統結構中可以任意指定數值的變量的個數。Gravetter和Wallnau(2008)認為：自由度是指樣本中有多少個數是獨立的，并可以自由變換的。謝啟南、韓兆洲（1991）認為自由度是指在一組數據中可以自由取值的個數。賈俊平(2007)指出，自由度可以解釋為獨立變量的個數，還可以解釋為二次型的秩。顯然，上述五種定義都強調了自由度的“獨立性”。

（2）從樣本量方面出發的定義

Mayhew(2004)則從樣本量和顯著性方面說明自由度，他認為在統計檢驗中自由度有時直接等于樣本容量，有時卻要根據樣本容量來計算；對不同的顯著性檢驗，自由度的計算是不一樣的，正確地計算自由度是進行顯著性檢驗的基礎。Everett(2002)解釋說，當樣本被用來估計總體參數或計算統計量時，實質上自由度是指樣本中獨立信息的數量。例如，給出一個2×2列聯表的行和與列和，這時四個頻數只有一個是可以自由變化的，所以該列聯表只有一個自由度。Glenn和Littler(1984)給出了更好的定義，因為他們同時考慮到了獨立性和樣本大小。他們定義：在統計量中，自由度就是所提供的數據中獨立的信息的數量，自由度等于總樣本容量減去相關總體參數或約束的個數。例如，獨立地從總體中抽取n個個體作為樣本，這些樣本的自由度為n；如果樣本均值x已知，樣本的自由度就為n-1了，因為一個觀察值可以由其他的觀察值來確定。如果總體均值μ已知，這時樣本的自由度仍是n,因為一個xi無法由其他觀察值確定。自由度是一個很重要的概念，它確定了樣本的有效容量。

（3）關于自由度的一般定義

Joseph(2008)認為：自由度是在不違背約束條件前提下可以隨意變化信息的數量。

（4）關于自由度取值的不同觀點

Kotz和Johnson(1982)認為，自由度一般是正整數，但有時它會被近似為一個小數，還有一個偏卡方分布的自由度為零。但是，Spiegel和Stephens(1999)將統計量的自由度V定義為樣本中獨立觀察值的個數N減去要用樣本來估計的總體參數的個數K，V=N-K，要求V一定是正整數，不能取非正整數。

（5）關于自由度計算方法

張宏廣和郝慧瑋(2006)總結了自由度計算的四個方法：①利用自由度的定義求自由度的個數；②自由度的個數等于樣本容量減去限制因子的個數；③看總體參數估計量中運用了幾個樣本統計量，其自由度就等于樣本容量減去幾；④自由度等于統計量二次型的秩。

上述從不同角度對自由度的概念與定義進行了闡述，我們認為，在推斷統計學中，自由度是建立在統計量之上的概念，它是統計量的數學特征。至此，我們可以給出推斷統計學中自由度的科學定義：自由度是指在一組樣本數據中，能夠自由取值且不違反給定約束條件的樣本數值的個數。這樣，我們就較科學地將實際樣本容量和自由度區別開來。下面將進一步舉例說明自由度在不同方面的應用。

2 自由度的應用

(1)幾何中的自由度

我們從熟悉的幾何知識入手，可以對自由度的概念有一個直覺上的認識。平面上的點(x,y)，其中x和y的取值是可以隨意變化的，要在平面坐標上找到一個點，我們需要知道兩個信息：橫坐標x和縱坐標y的值。所以平面上的點的自由度為2。曲線y=3x+1上的點(x,y),此時x和y的取值是不能同時隨意變化的，只要給定了其中一個值，另一個值也就確定下來。也就是說，要確定曲線y=3x+1上的一個點，我們只要知道一個信息就已足夠：x的值或y的值。于是曲線y=3x+1上的點的自由度為1。類似地，平面x+2y+3z=9上點的自由度為2。

(2)樣本方差的自由度

許多教科書在列出樣本方差的計算公式時都沒有說明分子n-1(n為樣本容量)就是自由度，也很少解釋清楚為什么是除以n-1而不是n。

假設一個容量為10的樣本，如果沒有其他關于該樣本的信息或約束的話，任意從總體中抽取的10個觀察值都可以形成這樣的樣本。也就是說，這10個觀察值可以任意地被從總體中抽取的其他觀察值所取代。當我們想要計算樣本方差時，必須先算出樣本均值，設=35。此時，這10個觀察值就不能任意地被總體中抽取的其他觀察值所取代了。因為n=350，10個觀察值的總和必須等于350。這樣一來，樣本中只有9個觀察值可以隨意改變，因為如果任意9個觀察值確定了，第10個觀察值也被這9個值確定了。因此在計算樣本方差時自由度等于9。有效樣本容量被減少為n-1，在此基礎上，我們可以很好地理解為什么作為均方差的樣本方差計算時，要用自由度來平均而非用n平均。這也說明了如果從樣本數據中估計了一個總體參數，自由度就會減少一個。

因為樣本方差的自由度為n-1,所以在比較兩個獨立總體的均值大小的t檢驗中，合并方差的自由度等于n1+n2-2= (n1-1)+(n2-1)；在比較兩個獨立總體的方差大小的F檢驗中，F統計量的自由度為(n1-1，n2-1)，其中n1，n2分別為兩個樣本的容量。

(3)方差分析和回歸中的自由度

因為殘差平方和SSE等于K個處理的組內離差平方和，所以殘差的均方差有(n1-1)+(n2-1)+…+（nk-1）=n-k個自由度，這里運用了自由度的可加性。值得注意的是，總自由度n-1=(k-1)+(n-k),它被分解成組間均方差的自由度與殘差均方差的自由度的和。

類似地，自由度也出現在多元回歸分析的相關內容中。假設k為解釋變量(包括常數項)的個數，調整R2=1-(SSE/nk)/(SST/n-1),SSE和SST分別用各自的有效樣就可以確定整張表的信息內容。也就是說列聯表有(r-1)(c-1)=(2-1)(3-1)=2個自由度。可以想象，一張r行c列的列聯表，在各行和與列和給定的情況下，我們只要填上任意(r-1)行(c-1)列的頻數，表中其他的頻數也會隨之確定下來，樣本容量來平均。

(4)獨立性檢驗中的自由度

在獨立性的卡方檢驗中，列聯表是必不可少的。我們運用列聯表來說明其中自由度的思想。見表1，一張2×3的列聯表，它的行和與列和已經給定了。如果不能給出更多的頻數，這張表是有空缺的。如果填入一個頻數，如(n2,m2)=45,另一個頻數(n1,m2)就可以被確定(n1,m2)=45。倘若再給出一個頻數，那么整個列聯表就填列完整了。如令(n1,m1)=15，則(n2,m1)= 5，(n2,m3)=20，(n1,m3)=20。對于2行3列的列聯表，只要給出2個獨立的必要的信息，我們就可以確定整張表的信息內容。也就是說列聯表有(r-1)(c-1)=(2-1)(3-1)=2個自由度。可以想象，一張r行c列的列聯表，在各行和與列和給定的情況下，我們只要填上任意(r-1)行(c-1)列的頻數，表中其他的頻數也會隨之確定下來，所以列聯表有(r-1)(c-1)個自由度。

表1：

(5)擬合優度檢驗中的自由度

最后，我們來考慮一個卡方擬合優度檢驗。假設從一個服從二項分布B(n,p)的總體中抽取50個獨立個體作為樣本，已知n=6,p=0.7,于是總體均值μ=np=4.2。因為n=6,所以樣本數據可以分為7類，xi=0,1,2,3,4,5,6。每一類子樣本的頻數代表著卡方檢驗中的一個信息。但是，因為這7個頻數的總和必須等于50，所以其中只有6個頻數可以自由變化，而第7個頻數取決與其他6個頻數的值。因此，卡方統計量的自由度為k-1=7-1=6。

現在假設事件成功概率p是未知的，總體均值μ也就不知道了。這種情況下我們就需要根據樣本數據來估計μ，總體參數的估計會損耗一個自由度。假設樣本的均值計算得x=4.4。于是這7類的頻數不僅其總和要等于50即f1+f2+…+ f7=50，而且還要使得0f1+1f2+2f3+…+6f7=4.4*50=220。7個頻數必須滿足這兩個等式，因此自由度就減少為7-2=5。這個例子有助于我們理解一個原則：每從樣本中估計一個總體參數，自由度就會減少一個。

3 結論

本文給出了自由度的科學定義：自由度是指在一組樣本數據中，能夠自由取值且不違反給定約束條件的樣本數值的個數。同時指出自由度就是有效樣本容量，強調實際樣本容量與有效樣本容量的區別。最后列舉出自由度在不同方面的應用。本文在認識自由度方面，希望對讀者有所裨益。

[1]黃學梁.淺談“數理統計”中的自由度[J].咸寧學院學報.1982(S1).

[2]謝啟南,韓兆洲.統計學原理[M].廣州:暨南大學出版社，1991.

[3]張宏廣,郝慧瑋.自由度的求法[J].承德民族師專學報.2006(2).

[4]賈俊平,統計學(第三版)[M].北京:中國人民大學出版社,2007.

[5]Gravetter and Wallnau.行為科學統計(第七版)[M].北京:中國輕工業出版社,2008.

[6]Everett.The Cambridge Dictionary of Statistics(2ndEdition)[M]. Cambridge,UK:Cambridge University Press,2002.

[7]Glenn，Littler.A Dictionary ofMathematics[M].Totowa,NJ:Barnes and Noble Books，1984.

[8]James，Glenn.Mathematics Dictionary(4thEdition).New York:Van Nostrand Reinhold,1976.

[9]Joseph.Degrees of Freedom[J].Teaching Statistics，2008,30(3).

[10]Mayhew.A Dictionary of Geography(3rdEdition)[M].Oxford,UK: Oxford University Press,2004.

[11]Mill、Harlow,Essex.A Dictionary of Statistical Terms(5thEdition) [M].New York:Wiley.

[12]Kotz,Johnson.Encyclopedia of Statistical Sciences[M].New York: John Wiley and Sons,1982.

[13]Spiegel,Stephens.Schaum’s Outline of Theory and Problems of Statistics(3rdEdition)[M].USA：McGraw-hill,1999.