用統計試驗法計算連續型隨機變量分布函數及計算機程序

遼寧衛生職業技術學院數理計算機教研室(110101) 張樂成 景 宇

在統計學中常見的均勻分布函數、指數分布函數、正態分布函數等都是連續型隨機變量分布函數，對于統計工作者來說，連續型隨機變量分布函數計算是經常遇到且必須解決的問題。由分布函數F(x)定義及數學分析可知〔1〕，F(x)計算是一個積分計算，從根本說就是關于密度函數f(x)定積分計算。在數學中對定積分近似計算方法有很多，但對于廣大醫學衛生工作者來說，要掌握這些計算方法還需了解相關數學知識，因此，他們使用這些計算方法很不方便。本文給出了一個用概率方法計算定積分的方法，即用統計試驗法計算定積分，同時給出了該方法計算機程序。這種方法理論上非常簡單，極易掌握，借助計算機可輕松完成。

原理與方法

統計試驗方法又稱蒙特卡羅方法〔2〕，是一種采用統計抽樣理論近似地求解數學問題或物理問題的方法，既可用來研究概率問題，也可用來求解非概率問題。利用蒙特卡羅方法去解決數學分析問題時，基本的思想是首先建立與描述該問題有相似性的概率模型，利用這種相似性把這概率模型的某些特征(如隨機事件的概率或隨機變量的平均值等)與數學分析問題的解答(如積分值、微分方程的解等)聯系起來，然后對模型進行隨機模似或統計抽樣，再利用所得結果求出這些特征的統計估計值作為原來的分析問題的近似解。蒙特卡羅方法的理論基礎是概率論中最一般的定理——大數定律。

下面我們用蒙特卡羅方法來求解定積分問題，進而解決連續型隨機變量分布函數計算問題。采用的方法是隨機擲點計數統計法，實例如下:

程序與應用

依據上述算法用Visual Basic語言編寫程序如下:首先建立一個窗體，在窗體上建五個文本框和一個命令按鈕。編寫代碼如下:

Private Sub Command1_Click()

Dim x()，y()

a=Text1'積分區間下限

b=Text2'積分區間上限

c=Text3'被積函數一個上界

n=Text4'試驗次數

ReDim x(n)，y(n)

Randomize

m=0

For i=1 To n

x(i)=(b－a)*Rnd+a

y(i)=c*Rnd

If f(x(i))＞=y(i)Then m=m+1

Next i

Text5=m/n*(b－a)*c

例 計算標準正態分布函數

End Sub

Function f(x)

100 f=Sqr(x)

End Function

2．改寫程序

將語句標號為100語句改換為

f=1/Sqr(2*3.1415926)*Exp(－x^2/2)

3．運行程序

將a賦值0，將b賦值2，將c賦值0．5(是積分函數一個上界)，將n賦值100000。

我們計算 5次的值分別是:0.47570，0.47679，0.47851，0.47615，0.47802，平均值是 0.47703

所以φ(2)≈0.5+0.47703=0.97703

求φ(－1)可以將φ(－1)整理成:

討 論

1．計算時對c值選擇很重要，c越小越好(擲點試驗靈敏度越高)，但c必需是積分函數在積分區域上的上界。

2．依據大數定律，對n值選擇是越大越好。但要注意對程序運行時間影響不要太大，還有考慮計算機能否可以接受。

3．計算連續型隨機變量分布函數時，需要把它整理成求定積分形式。

4．本文給出程序代碼是本方法核心代碼，人們可根據需要進行擴充，如加入求多個結果的平均數計算等。

5．本文雖沒有給出算法結果的誤差估計，但是這個誤差估計是可以計算出的。這是因為本文中n次擲點試驗，可以看做是進行n次成功概率為Q的貝努里試驗，m是其中成功次數，故m服從二項分布b(n，Q)。

1．盛驟，謝式千，潘承毅．概率論與數理統計．第4版．北京:高等教育出版社，2008．

2．陳東彥，李東梅，王樹忠．數學建模．北京:科技出版社，2007．