殘差自回歸模型在中國人口出生率預測中的應用

山東大學公共衛生學院(250012) 劉曉冬 姜寶法

時間序列是將某一指標在不同時間上的數值按時間先后順序排列而成的數列〔1〕。時序分析中對非平穩時間序列的處理有兩種方法:(1)確定性分析方法，假定序列的變化不是變化莫測的，而是可以用一條趨勢線來加以刻畫的，即序列的趨勢是時間t的確定函數，常用的方法有線性模型、指數模型等〔2〕。該方法只能提取確定性信息，沒有利用隨機性信息。(2)隨機性分析方法，ARIMA模型是典型代表，通過差分方法提取確定性信息，能提高非平穩序列的擬合精度，但難以對模型進行直觀解釋。殘差自回歸(error auto-regressive Model)模型〔3〕綜合了上述兩種方法的優點，成為非平穩時間序列分析的重要方法。本文利用該模型對中國人口出生率進行擬合并預測，旨在探討該模型在衛生領域中的適用性。

資料與方法

1．資料來源

本研究所利用的數據是中國1975～2008年的人口出生率數據，來源于中國衛生部《2009中國衛生統計年鑒》〔4〕，數據真實可靠。

2．殘差自回歸模型介紹

一般回歸分析要求殘差之間相互獨立，而時間序列經一般回歸分析后的殘差通常具有自相關性，這違背了一般回歸分析殘差獨立的前提，且大大降低了擬合精度〔3〕。而殘差自回歸模型的構造思想是:首先通過確定性因素分解方法提取序列中的確定性信息，然后再檢驗殘差序列的的自相關性。構建的確定性回歸模型如下:

其中，a是常數項，b為線性回歸系數，{εt}為殘差序列。

由于受模型本身的精度和隨機因素的影響，因素分解方法對確定性信息的提取可能不充分，需對殘差序列{εt}進行自相關性檢驗。如果檢驗結果顯示殘差序列自相關性不顯著，說明模型(1)對信息的提取比較充分，分析可以結束;如果檢驗結果顯示殘差序列自相關性顯著，說明模型(1)對信息的提取不充分，需要繼續對殘差序列擬合自回歸模型。本研究所采用的殘差自相關性檢驗方法是Durbin-Waston檢驗(簡稱DW檢驗)。下面以殘差1階自相關性檢驗為例介紹DW檢驗的原理。

即 DW≌2(1-ρ)，因為 －1≤ρ≤1，所以 0≤DW≤4。當0＜ρ≤1時，序列正相關;當－1＜ρ≤0時，序列負相關。

若檢驗結果顯示殘差序列無自相關性，提示確定性回歸模型對信息的提取較充分，分析可到此為止;若檢驗結果顯示殘差序列存在自相關性，須進一步提取相關信息，可用自回歸模型對殘差序列進一步擬合，構造的模型{vt}如下:

將(1)式和(5)式結合，就構成了殘差自回歸模型:

其中，φp是殘差自回歸模型系數，{at}是均數為0、方差為σ2的正態獨立白噪聲序列。

3．本研究使用 SAS9．1．3 軟件包中的 SAS/ETS〔5〕模塊進行分析。平穩性檢驗采用時序圖法，純隨機性檢驗采用LB統計量。

若LB統計量的P值＜0.05，則可以認為該序列是一非純隨機序列或非白噪聲序列。

模型應用

首先對該時間序列進行平穩性檢驗和純隨機性檢驗，若該時間序列為非平穩和非純隨機序列，然后使用Error Auto-regressive模型對該數據進行擬合。平穩性檢驗結果見圖1。

圖1 中國1975～2008年人口出生率時序圖

時序圖顯示，該序列有一個明顯的下降趨勢，并伴有一定的波動，是一個非平穩時間序列。

純隨機性檢驗結果:

延遲6階的LB統計量為107.73(P＜0.0001)，說明該序列是一非白噪聲序列。

經以上檢驗，該序列是一非平穩非白噪聲序列，可以用error auto-regressive模型進行擬合。

確定性模型為:

對殘差序列{εt}進行自相關性檢驗，得DW=0.293 0(P＜0.000 1)，表明該殘差序列具有自相關性，下面對該殘差序列用自回歸模型進行擬合。用逐步回歸法篩選顯著的自相關因子，并使用ML法進行參數估計。3-5階的自相關項無統計學意義，故從模型中消除，只保留顯著的1階和2階自相關項。結果見表1。

表1 殘差序列自回歸模型擬合結果

擬合的殘差序列自回歸模型為:

下面將確定性模型擬合過程和殘差序列自回歸模型擬合過程同時進行，將所有參數聯合求解，得擬合的最終模型參數估計結果見表2。

擬合的最終模型為:

最終模型擬合的R2=0．9322，高于確定性模型;MSE=1.0231，AIC=102.75，SBC=108.85，明顯小于確定性模型，說明最終模型的擬合效果優于確定性模型。對殘差序列{at}進行自相關性檢驗，DW=1.8767，P=0.2909，不能拒絕H0，可以認為殘差序列{at}自相關性無意義，不需要繼續進行分析。

表2 最終擬合模型輸出結果

圖2 最終模型擬合效果圖

圖2為模型擬合效果圖。圖2中，黑點表示的是原始序列值，虛線為確定性模型擬合線，實線為最終模型擬合曲線。可以看出，最終模型的擬合效果明顯好于確定性模型。應用該模型預測中國2009～2011年人口出生率分別為12.05‰、11.86‰、11.60‰。

討 論

隨著社會的發展和計算機技術的進步，時間序列分析技術的應用越來越廣泛，在衛生領域中的應用日益深入〔5，6〕。國內外醫學界也正在尋求借助時序分析技術解決醫學問題的途徑。殘差自回歸模型是一種擬合非平穩時間序列的方法，它既能提取序列的確定性信息，又能提取其隨機性信息，不僅提高了模型的擬合精度，還使結果符合實際，變得更易解釋，兼具了時間序列確定性分析和隨機性分析的優點。當一個時間序列具有明顯的確定性趨勢或季節效應時，可考慮應用此模型。在醫學、農業、工業、氣象、經濟等領域中的諸多現象都具有時間序列的特征，殘差自回歸模型的應用也日趨廣泛。尤其在生物醫學領域，如我國婦幼衛生監測網監測的出生缺陷率、孕產婦死亡率以及多種傳染病的發病率等都具有非平穩時間序列的特征，可利用殘差自回歸模型對其進行擬合和預測。

本文采用的是中國1975～2008年人口出生率時間序列數據，經平穩性和純隨機性檢驗，該數據為非平穩非白噪聲序列，呈明顯的下降趨勢，并伴有一定的波動。若僅用一般線性回歸進行擬合，殘差序列會存在自相關性，對序列信息的提取不充分。本研究在對數據擬合了確定性模型后，對殘差序列進行自相關性檢驗，發現殘差序列有自相關性，遂繼續擬合殘差自回歸模型，得到最終模型。由結果部分可知，該模型的擬合效果明顯好于確定性模型。需要說明的是，表1估計的參數值數值不一致，這是因為確定性模型和殘差自回歸模型是分開求解的，忽略了殘差序列{εt}和序列

最終模型其實是一個組合模型，由確定性模型和殘差自回歸模型組成，但通常把該組合模型稱為殘差自回歸模型。需要注意的是，殘差自回歸模型同時對時間序列的確定信息和隨機信息進行擬合，所以時間序列樣本點不能過少，一般不能少于30個。當序列較短時，只能進行確定性時間序列分析〔7〕。殘差自回歸模型的計算雖然復雜，但借助計算機技術可方便快捷地實現這一過程，如應用 SAS/ETS模塊中的 AUTOREG過程，通過自行編程可以靈活實現不同領域時間序列的殘差自回歸模型擬合。因此，殘差自回歸模型的應用有著良好的發展前景。

1．王振龍主編．時間序列分析．北京:中國統計出版社，2000:2．

2．王春平，王志峰，單杰，等．隨機時間序列分析法在傳染病預測中的應用．中國醫院統計，2006，13(3):229-232．

3．王燕．應用時間序列分析．北京:中國人民大學出版社，2005:167-178．

4．中華人民共和國衛生部《2009中國衛生統計年鑒》．http://www．moh．gov．cn/publicfiles/business/htmlfiles/zwgkzt/ptjnj/year2009/t-8．htm．

5．高慧璇等編譯．SAS系統·SAS/ETS軟件使用手冊．北京:中國統計出版社，1998，116-153．

5．吳家兵，葉臨湘，尤爾科．時間序列模型在傳染病發病率預測中的應用．中國衛生統計，2006，23(6):482-485．

6．華來慶，熊林平，孟虹，等．AR-EGARCH模型在疾病指數時間序列建模中的應用研究．中國衛生統計，2006，23(3):276．

7．陶莊，金水高．時間序列分析簡明攻略．中國衛生統計，2003，20(3):151-153．