利于翼型優化設計的超臨界翼型參數化方法

鄧金秋 馮仁忠

(北京航空航天大學 數學與系統科學學院，北京 100191)

利于翼型優化設計的超臨界翼型參數化方法

鄧金秋 馮仁忠

(北京航空航天大學 數學與系統科學學院，北京 100191)

為減少超臨界翼型優化中的設計變量，消除優化結果的不光順現象、保證C2連續，在優化過程中控制翼型幾何特性的變化范圍，設計出了由4條首尾相接的有理Bézier曲線表示的超臨界翼型的翼型參數化方法，該方法對翼型數據的參數化過程中主要運用了Bézier曲線擬合算法與SPSA(Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation)優化算法，并在Bézier曲線擬合算法中使用了有別于常用方法的數據點參數選擇方法.將這種超臨界翼型參數化方法與優化算法結合便可實現翼型優化設計，其中的設計變量為21個，優化結果不僅光順且滿足C2條件，通過設定設計變量變化范圍便可控制相應的翼型前緣半徑、上下弦最高最低點的位置與曲率、尾部契角等幾何特征.

翼型;曲線;參數化;優化

超臨界翼型具有一些優良的氣動特性，在民航客機和大型運輸機的設計中有著廣泛的應用.基于氣動性能數值計算的超臨界翼型優化設計具有周期短、費用低的優點.因此將數值模擬計算與風洞試驗相結合可以縮短研發周期、降低研發費用，這已成為目前超臨界翼型研究的發展方向［1－4］.

為實現基于數值計算的超臨界翼型優化，就需要設計相應的翼型參數化方法，即將由離散數據點表示的待優化翼型轉化為由含參數的翼型函數表示，再選擇翼型函數的適當參數作為設計變量，結合優化算法與流場計算實現優化設計.可見翼型參數化對于翼型優化設計來說是十分重要的［5－7］.

現有的翼型參數化方法主要存在如下問題:①設計變量過多，如通過在基準翼型上添加局部擾動函數的方法會有多達數十個設計變量;②優化結果存在不光順現象，如B樣條表示方法［8］與Hicks-Henne外形函數法［9］;③翼型函數不滿足C2條件，如 Figures樣條法［10］;④很難在優化過程中約束翼型的特定幾何特性的變化范圍［11］.為解決上述4點問題，本文結合超臨界翼型的幾何特性提出了一種基于分段有理Bézier曲線的超臨界翼型參數化方法.通過這種方法得到的翼型函數共有21個參數，滿足C2條件，不存在不光順現象，并且翼型參數直接和翼型幾何特征相對應.本文首先介紹翼型參數化的具體過程，然后結合SPSA(Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation)優化算法給出具體的優化實例.

1 參數化方法

由于超臨界翼型具有較復雜的幾何形狀，很難通過一條低次Bézier曲線表示，因此需要使用分段Bézier曲線表示翼型.另一方面為了降低翼型參數的個數，應盡量減少分段數目與每段Bézier曲線的次數.綜合這兩方面因素，本文提出了如下翼型參數化方法.

設翼型函數為C(t)，C(t)由4條3次有理Bézier曲線C0(t)～C3(t)首尾相連拼接而成，曲線Ci(t)的4個控制頂點為，見圖1.

圖1 翼型函數C(t)的組成形式

下面以 NASA SC(2)0712［12］為例介紹翼型參數化的具體步驟.

1.1 對控制頂點坐標的初步約束

首先將控制頂點權重均置為1，并對曲線控制頂點做如下初步設定:

C0(t)段曲線:將坐標值設為翼型后緣上表面最后一個數據點的坐標值;將坐標值設為翼型上弧線最高點坐標值，由于數據點足夠密，可以直接設為數據點中縱坐標最大點坐標;將縱坐標值設為縱坐標值，使得與共線且水平;不對橫坐標值與橫縱坐標值進行任何設定.

C1(t)段曲線:將坐標值設為坐標值，使得與重合;將縱坐標值設為縱坐標值，使得和共線且水平;將坐標值設為翼型前緣頂端坐標值，由于數據點足夠密，可以直接設為數據點中橫坐標最小點坐標值;將橫坐標值設為橫坐標值，使得與共線且豎直;不對縱坐標值與橫坐標值進行任何設定.

C2(t)段曲線:將坐標值設為坐標值，使得與重合;將橫坐標值設為橫坐標值，使得和共線且豎直;將坐標值設為翼型下弧線最低點坐標值，由于數據點足夠密，可以直接設為數據點中縱坐標最小點坐標;將縱坐標值設為縱坐標值，使得與共線且水平，不對縱坐標值與橫坐標值進行任何設定.

C3(t)段曲線:將坐標值設為坐標值，使得與重合;將縱坐標值設為縱坐標值，使得和共線且水平;將坐標值設為翼型后緣下表面最后一個數據點的坐標值;不對橫坐標值與橫縱坐標值進行任何設定.

通過初步設定，可以確定一部分控制頂點的坐標，這些坐標在之后參數化過程中均保持不變.而對于另一部分仍處于自由狀態的控制頂點坐標則需要在下一個步驟中確定.

1.2 確定控制頂點坐標

通過對控制頂點坐標的初步約束可以發現，4條Bézier曲線的端點坐標均已確定了下來，因此每條曲線也自然對應了一段翼型數據點.下面就要確定仍處于自由狀態的控制頂點坐標，使每段曲線最大限度貼合到其對應的一組數據點組.由于改變任意一條曲線不會對其它3條曲線產生影響，因此可以將4段Bézier曲線分別擬合到對應的數據點組上，進而求出所有的控制頂點坐標，下面以C1(t)為例說明擬合方法.對應的數據點組如下:

設C1(t)對應的數據點組為，用(xpj，ypj)表示 pj的坐標值，即設1］，為Bernstein基函數，為C1(t)控制頂點，用表示的坐標值，即

由累積弦長法［13］得到對應參數，并將等比例變換到區間［0，1］，使.下面使用最小二乘法確定使得最小.

圖2 初步計算結果

圖3 由累積弦長法得到的對應關系

圖4 數據點與曲線上與其橫坐標相等點的對應關系

圖5 以為參數進行最小二乘得到的結果

表1 誤差降低速度

至此已完全確定了控制頂點坐標，在之后的參數化過程中所有控制頂點坐標均保持不變.

1.3 調整控制頂點權重使曲線滿足C2條件

通過之前計算得到的翼型函數在Bézier曲線拼接點處僅滿足C1條件，其他部分滿足C2條件.拼接點曲率見表2.

表2 拼接點曲率

3 次有理 Bézier曲線有如下性質［13］:

1) 設4 個控制頂點權重為 w0，w1，w2，w3，那么可以在不改變曲線外形的前提下將4個控制頂點權重調整為 1，v1，v2，1，其中 v1，v2相互獨立且由 w0，w1，w2，w3唯一確定.

2)保持控制頂點位置不變，設4個控制頂點權重為1，v1，v2，1 則 v1，v2與兩個端點的曲率一一對應.

由上述兩條性質可知3次有理Bézier曲線可以由4個控制頂點坐標和兩個端點曲率唯一確定.為使拼接點處的曲率連續，只需固定控制頂點坐標，將相鄰Bézier曲線在拼接點處曲率設為相同值.

顯然人為給定拼接點處曲率，如設為相鄰Bézier曲線在拼接點曲率的平均值，會導致之前得到的翼型函數出現較大變化，增大翼型函數與數據點之間的誤差.所以不妨使用優化算法，以翼型函數與數據點的誤差為優化目標，以3個拼接點的曲率為設計變量，使用 SPSA［14－15］方法進行優化計算.SPSA方法的主要思想是通過隨機擾動各個設計變量使目標函數逐漸收斂到極小值，其算法如下:

Input:

SPSA 參數 a，c，A，α，γ;

/* 分別設為1，0.1，80，0.6，0.7*/

目標函數 y(θ0，θ1，θ2);

/*y(θ0，θ1，θ2)為翼型函數與數據點的誤差，在保持控制頂點坐標不變的前提下僅與3個拼接點的曲率有關*/

Output:

Rθ0，Rθ1，Rθ2.

/*使得誤差最小的3個拼接點曲率*/

Function:

for(k=0;;k++)

{

Δk=［Δk0，Δk1，Δk2］T;

//Bernoulli01(1，－1)

計算后誤差為0.002 06，最終得到的翼型函數見圖6.

圖6 最終得到的翼型函數

將這種參數化方法應用于NASA SC(2)翼型庫，翼型函數與數據點誤差見表3.

表3 翼型函數與數據點誤差

表3表明這種翼型參數化方法可以較精確地表示常見的超臨界翼型，因此可以為優化提供足夠豐富的翼型搜索空間.

1.4 翼型參數的選擇

翼型參數應滿足如下兩條性質:①通過翼型參數可以還原翼型函數;②各參數之間應相互獨立.由于3次有理Bézier曲線可以由4個控制頂點坐標和兩個端點曲率唯一確定，所以應選擇4條有理Bézier曲線的控制頂點和端點曲率組成翼型參數{Pn}.但由于拼接點連續且曲率相等，上下兩條控制邊水平，前緣控制邊豎直導致了{Pn}中含有相關聯參數.

因此去除相關聯參數，最終得到21個相互獨立的參數:參數1(縱坐標)、參數2(橫坐標)、參數3(縱坐標)、參數4(橫坐標)、參數5(縱坐標)、參數 6(橫坐標)、參數7(橫坐標)、參數8(縱坐標)、參數9(縱坐標)、參數10(橫坐標)、參數11(縱坐標)、參數 12橫坐標)、參數13(橫坐標)、參數14(橫坐標)、參數15(縱坐標)、參數16(縱坐標)、參數17(處曲率)、參數18(處曲率)、參數 19(處曲率)、參數20(處曲率)、參數21(處曲率).

1.5 與其它參數化方法的比較

目前常用的翼型參數化方法為Hick-Henne外型函數法，該方法通過大量局部擾動函數的疊加來組合出翼型曲線.由于任意一段翼型曲線均為多個局部擾動函數疊加的結果，因此極易出現凹凸不平等不光順現象.而通過本方法得到的翼型曲線是由3次有理Bézier曲線拼接而成，由于每段Bézier曲線的內部均是光順的且拼接處滿足C2條件，因此得到的翼型曲線具有很好的光滑度.與Hick-Henne外型函數法相比，本方法得到的翼型曲線不會出現不光順現象，因此更有利于流場計算.

另一種經典的翼型參數化方法為Figures樣條法.這種方法同樣應用分段Bézier曲線表示翼型，但在兩段曲線的拼接點只滿足C1條件而不滿足C2條件，因此所得翼型函數的曲率不連續.這就導致在流場計算的過程中會出現湍流現象，影響結果的準確性.而本方法保證了拼接點的C2連續性，進而確保了流場計算的準確性.

此外，現有的絕大部分翼型參數化方法都無法將翼型參數與翼型幾何性質緊密的聯系在一起，這就導致了翼型優化的盲目性.本方法所選取的翼型參數與翼型幾何特性緊密相關，因此大大增強了翼型優化的目的性與針對性.

為說明將該翼型參數化方法應用與翼型優化設計的可行性，本文給出了具體的優化實例.

2 優化實例

由于本文討論的重點在于構造翼型參數化方法，所以沒有涉及流場計算與高效優化算法的設計.這里通過使用SPSA優化算法將基準翼型優化為目標翼型的方法來證明本文提出的翼型參數化方法可以應用于翼型優化設計.優化結果見表4、圖7和圖8.

表4 優化效果

圖7所示優化算例中的基準翼型為SC(2)0503，目標翼型為SC(2)0706.圖7a中離散點為目標翼型數據點，曲線為基準翼型，圖7b中離散點為目標翼型數據點，曲線為優化結果.優化結果與目標翼型誤差為0.001450.

圖8所示優化算例中的基準翼型為SC(2)0614，目標翼型為SC(2)1010.圖8a中離散點為目標翼型數據點，曲線為基準翼型，圖8b中離散點為目標翼型數據點，曲線為優化結果.優化結果與目標翼型誤差為0.001218.

圖8 將基準翼型SC(2)0614優化為目標翼型SC(2)1010

3 結論

本文給出的翼型參數化方法所含設計變量較少，共21個;設計的基于有理Bézier曲線的翼型函數不僅光順且滿足C2條件;參數與翼型幾何性質對應，通過限制參數變化范圍便可控制對應的幾何參數;該方法可以為翼型優化提供足夠豐富的翼型搜索空間.這些特性表明，該翼型參數化方法會為下一步的翼型優化提供很大的便利.此外分段有理 Bézier曲線可以很方便地轉化為NURBS曲線，便于工程應用.

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(編 輯:趙海容)

Supercritical airfoil parameterization method feasible to optimum design

Deng Jinqiu Feng Renzhong

(School of Mathematics and Systems Science，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China)

To reduce the number of design variables in the supercritical airfoil optimization，eliminate the unfairness phenomenon，ensure C2condition，control the geometric characteristics of the airfoil in the optimization process，a parameterization method for supercritical airfoil based on four rational Bézier curve was presented.In the parametric process to the airfoil data，the Bézier curve approximation algorithm and SPSA(simultaneous perturbation stochastic approximation)algorithm were used and in the Bézier curve approximation algorithm the way to choose the parameter to the data points is different from the common method.Supercritical airfoil shape optimization can be achieved by combining this method with optimization algorithms.It contents 21 design variables，the optimization result is fair and satisfies the C2condition，the geometric characteristics of the airfoil such as leading edge radius，upper and lower crest location including curvature there，the boat tail angle can be controlled in the optimization process by setting the range of the design variables.

airfoils;curves;parameterization;optimization

V 211.3

A

1001-5965(2011)03-0368-06

2010-01-25

鄧金秋(1988 －)，男，北京人，碩士生，deng.jinqiu@gmail.com.