基于軌跡靈敏度技術的PSS和SVC協調優化設計*

劉明波 黃義隆 林舜江

(華南理工大學電力學院∥廣東省綠色能源技術重點實驗室，廣東廣州510640)

電力系統穩定器(PSS)是一個附加于發電機勵磁控制器的輔助環節，其作用是提高發電機和整個電力系統的阻尼能力，抑制低頻振蕩，加速功率振蕩的衰減［1］.隨著電力電子器件和非線性控制理論的發展，靜止無功補償器(SVC)已經廣泛用來提高系統的小干擾穩定性和大干擾穩定性［2］，SVC的主要作用是為電網提供電壓支撐［3］.但是，多臺SVC和PSS的不協調設計往往會導致電力系統出現不穩定或者不能充分發揮其作用的狀況.電力系統各元件形成一個密不可分的整體，將各元件單獨研究忽視了它們之間的聯系，已不能滿足現代電力系統穩定控制的需要.因此，實現SVC和PSS之間的協調控制，是目前電力系統設計中迫切需要解決的問題［4］.文獻［5］中提出了基于多目標進化算法的PSS和SVC協調設計，考慮了它們之間的協調運行，但該方法收斂速度較慢.文獻［6］中采用遺傳算法來協調設計PSS和SVC，然而該方法沒有充分考慮SVC對電壓穩定的影響，且容易出現早熟收斂和收斂性差的情況.近年來，軌跡靈敏度技術［7］逐漸受到關注，已成為研究電力系統穩定問題的重要工具［8］.文獻［9-11］中分別以擾動后發電機轉速衰減最快為目標，采用軌跡靈敏度技術設計PSS和統一潮流控制器參數，有效地提高了系統的小干擾和大干擾穩定性.

文中探討PSS和SVC的多目標協調優化設計問題，以各臺發電機轉速平方的時域累加值和加裝SVC節點故障后的電壓變化量平方的時域累加值構建兩個目標函數，并將其加權后建立最終的目標函數，在優化目標函數中加入了阻尼功角振蕩和降低電壓波動的因素，在增強系統功角穩定性的同時，有效地降低故障后的電壓波動.同時，采用軌跡靈敏度技術計算轉速和電壓變化量對PSS參數和SVC控制器參數的梯度，從而獲得目標函數對各參數的梯度，并采用共軛梯度法優化各參數.軌跡靈敏度技術的應用可以對梯度信息進行實時跟蹤，有利于提高收斂速度，實現PSS與SVC的協調控制在復雜的大電網中的應用.

1 電力系統模型

1.1 勵磁系統及PSS模型

勵磁系統及PSS模型［11］如圖1所示，勵磁系統忽略勵磁電源的動態行為，采用一階模型.PSS模型由一個放大環節、一個隔直環節、兩個超前滯后環節和一個限幅環節組成.其動態表達式如下:

式中:ω為發電機轉速;Ef為勵磁電壓;Ka和Ta為勵磁環節的增益和時間常數;Vref為基準電壓;Vt為機端電壓;Vs為PSS的輸出信號;K為PSS的放大倍數;T1、T2、T3、T4、Tw為PSS的時間常數;X1、X2為PSS模型的中間輸出量.

圖1 勵磁系統及PSS模型Fig.1 Excitation system and PSS model

1.2 SVC模型

圖2為附加阻尼控制的SVC框圖［5］.圖中Δu為輸入信號;KS為阻尼控制器的放大倍數;T1，S、T2，S、T3，S、T4，S、Tw，S為阻尼控制器的時間常數.其動態表達式如下:

式中:B為SVC的等效電納;Ka，S、Ta，S分別為控制器增益及時間常數;Vref，S為基準電壓;VSVC為SVC節點電壓;Vs，S為SVC控制器的輸出信號.

圖2 附加阻尼控制的SVC模型Fig.2 SVC model with damping control

2 軌跡靈敏度計算

軌跡靈敏度［7］是通過研究系統的動態響應對某些參數或初始條件甚至系統模型的靈敏度來定量分析這些因素對動態品質的影響.軌跡靈敏度是隨時間變化的，屬于動態靈敏度.

多機電力系統的動態過程可以用一組微分代數方程來描述:

式中:x為一組n維的系統狀態變量;y為一組m維的系統代數變量;α為PSS和SVC的待優化參數;下標帶0表示該變量的初值，下同.

式(3)的解為x(t)=φ(x0，α，t)，y(t)=ψ(y0，α，t)，對系統的微分方程求積分后，再對α求偏導數，得

式中:fx=?f(x，y，α)/?x，fy=?f(x，y，α)/?y，fα=?f(x，y，α)/?α.因為x0獨立于α，所以?x0/?α=0;當α=α0時，軌跡靈敏度可表示為

同理，求系統代數方程對α的導數，得

對軌跡靈敏度系統(6)－(7)應用隱式梯形積分公式，整理可得

通過解線性方程可求得xα0(t+Δt)、yα0(t+Δt).

3 協調優化設計模型與求解

3.1 優化模型

優化PSS參數的目的是使PSS為各種機電振蕩模式提供最佳阻尼，系統受擾動后能以最快的速度恢復到穩定運行點.優化SVC控制器參數的目的是穩定節點電壓，使故障后節點電壓盡快恢復到可接受范圍，附加阻尼控制環節阻尼系統振蕩.基于上述考慮，PSS和SVC協調設計的多目標函數如下:

式中:t0為仿真開始時刻;t1為故障消除時刻;T為仿真時間;n為系統發電機臺數;N為優化的PSS臺數;M為優化的SVC臺數;ˉωi為在慣性中心框架下第i臺發電機的轉速，

coiJ，i機的慣性時間常數.

為了綜合考慮PSS參數和SVC控制器參數對PSS與SVC協調優化設計的影響，將兩個目標函數進行加權，形成最終的優化目標函數:

式中:μ1、μ2分別為J1、J2的權重系數;J1表征了各臺發電機之間的功角搖擺程度，J1越小，各臺發電機越接近同步運行;J2表征了各SVC節點電壓幅值的波動程度，J2越小，各節點電壓的波動越小.由于J1、J2的數值可能不在同一數量級上，如果權重系數選擇不合適，則可能會優化PSS的效果，但對SVC的優化效果卻不明顯，甚至惡化SVC的效果，也可能兩者的優化效果相反.故選擇合適的J1和J2的權重系數非常重要，應盡量使J1和J2的權值在同一數量級上.

3.2 約束條件處理

令向量α表示所有有待優化的參數，式(10)可以簡寫為αmin≤α≤αmax.用ρi表示向量α中的第i個元素，ρmaxi、ρmini分別表示向量αmax和αmin中的第i個元素.通過非線性變換［11］，有

式中:bi表示向量β中的第i個元素，其初始值的取值范圍為.由式(14)可知，b在［－∞，i+∞］內變化時，ρi的取值范圍為.因此有約束的非線性問題(12)可以轉化為無約束的非線性問題minJ(β).目標函數(12)對參數α求導數，得到梯度信息表達式為

式中:VSVCj，x、VSVCj，y是VSVCj在x-y坐標下的分量.目標函數(12)對向量β中任意元素bi求導數，可得

3.3 計算步驟

采用共軛梯度法來求最優解.該方法是在仿真的每一時步中將已有的梯度信息和搜索方向作線性組合，得到新的搜索方向d，并沿著搜索方向應用一維優化的方法得到最優步長η，最后得到每一時步的參數優化解.利用共軛梯度法優化PSS參數和SVC控制器參數的具體步驟如下:

(1)選擇PSS和SVC控制器的初始參數α(0)=，應用式(13)得 β(0);選擇收斂精度ε，令k=0.

(2)利用α(0)解軌跡靈敏度方程得?J(α(0))/?α，g(0)=?J(β(0))/?β;令d(0)=－g(0).

(3)以η=0為初始點，選擇h=1，應用外推內插法確定η(k)的搜索區間［a(k)，b(k)］.

(4)在［a(k)，b(k)］內沿著d(k)方向應用黃金分割法進行一維優化后得η(k).

(5)β(k+1)=β(k)+η(k)d(k)，由式(14)得α(k+1).

(6)利用 α(k+1)解軌跡靈敏度方程得?J(α(k+1))/?α，g(k+1)=?J(β(k+1))/?β;

4 仿真分析

4.1 3機9節點系統

3機9節點系統的接線如圖3所示.故障條件設為8號母線上0.2s時刻發生三相短路故障，0.3s時刻故障消失.仿真時間為10 s，仿真步長設為h= 0.01s.發電機采用三階模型，為了抑制增幅性低頻振蕩和阻尼聯絡線大擾動后的低頻振蕩，在3臺發電機上都安裝了PSS，在4號節點上裝設SVC，PSS和SVC控制器的初始參數設置如表1所示，優化后的控制器參數值如表2所示，優化參數的取值范圍是根據IEEE Std 421.2—1990的典型范圍適當放寬后得到的.優化1、2、3號機 PSS和 SVC控制器參數后的搖擺曲線如圖4所示，優化前后節點4的電壓如圖5所示，優化前后機電模式特征根的變化如圖6所示.圖6中ξ為阻尼比，ω為復數特征根的虛部，σ為復數特征根的實部.

圖3 3機9節點系統Fig.3 3-machine 9-bus system

表1 PSS和SVC控制器參數Table 1 Parameters of PSS and SVC

表2 3機9節點系統優化后的PSS和SVC控制器參數Table 2 Parameters of PSS and SVC after optimization of 3-machine 9-bus sgstem

圖4 3機9節點系統優化前后1、2和3號發電機的搖擺曲線Fig.4 Swing curves of Generators 1，2 and 3 before and after optimization of 3-machine 9-bus sgstem

圖5 優化前后節點4的電壓Fig.5 Voltage at Bus 4 before and after optimization

優化參數的取值范圍如下:

從圖4和5中可以看出，優化后的PSS和SVC控制器不僅能有效地阻尼大干擾引起的系統振蕩，而且能降低故障后的電壓波動，使發電機功角和節點電壓盡快恢復到正常水平.從圖6可以觀察到，優化后系統的機電模式特征值大幅度向復平面的左半平面移動，阻尼比等也顯著增大，說明了基于軌跡靈敏度技術的PSS和SVC控制器參數的協調優化設計對于提高系統的小干擾穩定性也有顯著作用.

圖6 3機9節點系統優化前后機電模式特征根的變化Fig.6 Eigenvalues corresponding to electromechanical modes before and after optimization of 3-machine 9-bus system

4.2 10機39節點系統

10機39節點系統接線如圖7所示，故障條件為3號母線上0.2s時刻發生三相短路故障，0.3s時刻故障消失.仿真時間為 10 s，仿真步長設為h=0.01s.發電機采用三階模型，為了抑制增幅性低頻振蕩和阻尼聯絡線大擾動后的低頻振蕩，根據機電模式λi和狀態量Δωi(j=1，2，…，n)的相關因子，選擇PSS的安裝地點，在1號機(節點39)和10號機(節點30)上安裝PSS，在5號節點上安裝SVC，PSS和SVC的參數設置和參數約束條件與3機9節點系統相同，表3為優化后的控制器參數值.

圖7 10機39節點系統Fig.7 10-machine 39-bus system

表3 10機39節點系統優化后的PSS和SVC控制器參數Table 3 Parameters of PSS and SVC after optimization of 10-machine 39-bus system

3機9節點系統的優化目標函數J由初始值8.850×10－5經第1次優化后下降為5.391×10－5，經第2次優化后降為3.088×10－5，再經第3次優化后，目標函數變化很小，已達到收斂精度(ε取10－7).10機39節點系統中經兩次優化后目標函數值明顯下降，從初始值2.055×10－4減小為1.440× 10－4，并在第3次優化后下降很小，達到收斂精度，可以看出，該方法在更復雜的多機系統中，相同收斂精度下優化次數并沒有明顯增大，優化次數均為3.這主要是因為引入軌跡靈敏度技術后得到了目標函數對于待優化參數的較準確導數值，再用共軛梯度法根據這些實時變化的梯度信息對目標函數進行優化，可以加快優化求解的收斂速度，更好地逼近目標函數的最優值.從兩個系統的優化次數可以看出，軌跡靈敏度技術的引入使PSS與SVC的協調設計可以在多機系統中得到很好的應用.

圖8為系統優化前后的搖擺曲線圖，圖9為優化前后節點5的電壓圖.從圖8、9中可以看出，文中方法在復雜的多機系統中同樣能有效地阻尼系統振蕩，提高暫態穩定性，并降低故障后節點電壓的波動，使電壓盡快恢復到正常范圍.圖10為優化前后機電模式特征根的變化圖，從圖中可以看出大部分機電模式特征根向復平面的左半平面移動，這種現象可以用文獻［12］中提到的借阻尼現象來解釋，文中方法提供給機電模式的阻尼比大部分是從非機電模式中轉移而來，僅小部分是從其它機電模式中轉移而來，但總的來說，這種方法增大了系統機電模式的阻尼比，從而提高了系統的小干擾穩定性.

圖8 10機39節點系統優化前后的搖擺曲線Fig.8 Swing curves before and after optimization of 10-machine 39-bus system

圖9 優化前后節點5的電壓Fig.9 Voltage at Bus 5 before and after optimization

圖10 10機39節點系統優化前后機電模式特征根的變化Fig.10 Eigenvalues corresponding to electromechanical modes before and after optimization of 10-machine 39-bus system

5 結語

文中提出了一種基于時域仿真和軌跡靈敏度技術相結合的多目標PSS和SVC協調優化設計方法.在優化目標函數中加入了阻尼功角振蕩和降低電壓波動的因素，在增強了系統功角穩定性的同時，有效地降低了故障后的電壓波動.軌跡靈敏度技術的應用，實現了對梯度信息的實時跟蹤，加快了優化求解的收斂速度，使目標函數快速逼近最優值.在3機9節點系統和10機39節點系統上的仿真結果表明，該方法能有效抑制低頻振蕩，提高暫態穩定性和小干擾穩定性，并降低故障后的電壓波動，采用文中方法的PSS和SVC協調設計在多機系統中具有較快的收斂速度.

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