在“初等數論”教學中實施研究型教學的思考與實踐

覃學文

（梧州學院，廣西 梧州 543002）

在“初等數論”教學中實施研究型教學的思考與實踐

覃學文

（梧州學院，廣西 梧州 543002）

從大學課堂教學的角度出發，結合初等數論學科的教學目標、學科特點及規律，針對傳統初等數論教學存在的問題，探索出初等數論教學中以學生為中心、以能力為本位研究型教學模式：探究式教學模式和課題研究教學模式。

研究型教學；探究式；課題研究

“初等數論”是大學數學專業的主干課程，也是教育專業數學類主修學科的主干課程，它的教學必須既要尊重學科自身的特點和規律，又要適應時代發展的要求，培養具有創新能力和研究能力的專門人才。培養創新人才的教育目標要求“初等數論”對現有的教學方法進行改革，在教學中引入研究性學習，給學生提供創造性思維的空間，在自主探索和合作交流中掌握數論的基礎知識，感悟數學的思維方法。本文從課堂教學的角度，結合初等數論學科的教學目標、學科特點及規律，對數論教學中實施研究型教學進行探索。

一、數論學科研究型教學的內涵

（一）什么是研究型教學

研究型教學是美國耶魯大學1998年《重建本科教育：美國研究性大學發展藍圖》報告中提出的，該報告指出：教學應與研究相結合，學生的學習應基于研究，建立以研究為基礎的教學模式[1]。這種教學模式的核心就是把研究的理念引入教學中，在教師的指導下，學生用類似于科學的方式去獲取知識、解決問題、應用知識。

研究型教學摒棄了傳統的以教師為中心、學生被動接受知識的特點，強調學生對知識的主動探索、主動發現和對所學知識意義的主動建構。研究型教學作為一種把“教”的過程的關注，轉移到“學”的過程來的一種形式，作為一種以探究為主要特征的教學方式，已逐步被各高校引入推廣。

（二）數論課程研究型教學的目標

教育部“數學與統計學教學指導委員會”在《數學學科專業發展戰略研究報告》中，總結了優秀的數學本科生應具備的八種基本的數學能力和五種基本的數學素養，按照《報告》的提出，數學教育培養具有創新意識、創新能力、研究能力和實踐高素質人才應具備的數學能力是：分析能力、歸納能力、抽象能力、空間想象能力、演繹推理能力、準確計算能力、運用數學軟件的能力、學習新的數學知識的能力；應具備的基本數學素養是：主動尋求并善于抓住數學問題背景和本質的素養，熟練地用準確、簡明、規范的數學語言表達自己的數學思想的素養，具有良好的科學態度和創新精神、合理地提出新思想、新概念、新方法的素養，對各種問題用“數學方式”的理解思維從多角度探尋解決問題的方法的素養，善于對現實世界中的現象和過程進行合理的簡化和量化、建立數學模型的素養[2]。數論作為數學與應用數學的一門專業課，數論課程研究型教學既要符合數學學科教育的總體目標，又要體現研究性的特點，因此數論課程研究型教學的目標總的來講，是培養學生的問題意識、研究能力和創新精神，具體來說，可分為知識目標和能力目標兩個方面。

1.知識目標

初等數論課程主要講授整數的基本概念、方法和技巧。這些知識是學生進一步學習解析幾何、代數數論等相關理論的基礎，特別是抽象代數的理論系統和思維方法都可以在數論中找到源頭。數論知識還是計算機科學與現代編碼技術中必不可少的專業知識。因此，獲得數論的基本知識、理論和方法，并加以應用到其他相關學科上，這是數論研究型教學的第一個目標。

2.能力目標

研究型教學摒棄傳統的教師向學生灌輸知識的教學方式，以學生為中心，以能力為本位，創設類似科學家研究的情境，給學生提供思考問題、研究問題和應用所學知識解決問題的空間，強調知識的探索過程。在這一過程中，使學生學會自己提出問題、分析問題、歸納問題，善于從多角度思考問題，并學會批判性思維和求異思維，從而培養學生的創新能力和開發學生的創造力。

二、數論學科與研究型教學

（一）初等數論教學的現狀

“初等數論”是大學數學專業的主干課程，除了要給學生傳授系統的知識，更重要的是培養學生的創新能力和素質。然而，現行的初等數論教材是從一個定義到定理、推論的演繹體系，講究嚴密性、系統性、抽象性和邏輯性，基本上是現成的結論及證明，其章節編排、教學順序、習題形式都是與傳統教學方法相適應的，就是將知識和盤托出，缺少提出問題和引起思考，更缺乏對知識的探索和思維活動，并且教材內容很少接觸到數論前沿的在其他學科領域的應用，缺乏科學性、先進性和實踐性。總的來說就是重經典，輕現代，重理論、輕應用。而在教法上，則不重視知識形成過程及其中的數學思想，更談不上把這一過程中的觀察、分析、綜合、歸納、猜想等豐富的思維訓練挖掘出來。教材習題的形式與內容單調、陳舊，基本上與每節教學內容相關，條件答案固定，解題方法大多與例題的解法相同，缺少變化，缺少新意。教師在解題教學中，往往只重視習題的特征分類、解題模式及解題技巧的訓練，忽視了將解題思路的分析以及數學思想和數學方法的訓練。于是，一個不爭的事實是，課堂氣氛沉悶，學生對這門課程缺乏濃厚的興趣，學生分析問題和解決問題的能力得不到充分的發揮，更談不上培養學生的創新意識和創造性思維能力。

（二）研究型教學是培養創新人才的有效途徑

針對數論的教學現狀，要改變目前以教師為中心、以知識為本位的狀況，所依據的教學方式必須是一種以學生為中心、以能力為本位的教學模式，而研究型教學正是最好的選擇。

研究活動對人具有鮮明的發展功能，這是因為在研究過程中，人們使自己的潛能得到了充分的發揮[3]。建構主義學習觀認為：學生的研究性學習，是一種自己主動把信息加工、形成知識的意義建構的活動，按其實質來說，就是把現象重新組合或轉移，進而再組合，從而獲得新的“發現”。研究型教學的特點，是讓學生在類似于科學家研究的過程中，自主提出問題，設計課題，從各種信息渠道收集資料，然后分析、綜合、歸納，得出結論，在分析問題和解決問題的過程中培養學生的實踐能力和創造性能力。或者在課堂教學上設計問題情景，通過激發聯想，使學生利用自己原有的知識、經驗或表象去“同化”當前所學到的知識，學生在對知識的縱深探究過程中，獨立思考能力和創造性思維能力都得到提高，提升學生的整體素質。

三、數論研究型教學的兩個模式

（一）探究式教學模式

根據傳統教材所進行的教學活動往往是數論知識真實發現過程的反思維的活動，因為傳統數論教材中的知識體系是嚴格的邏輯體系，展示的是數學家在數論知識發現過程中各種思維的結果，卻看不到科學探索過程中豐富的研究性活動。若把數論課程教學按數學推理方式進行，其結果是把數論知識發現過程中的創造性思維活動掩蓋起來。因此，教師應改變現有教材那種從定義到定理的羅列以及不加分析地給出證明的嚴格邏輯局面，把教材內容中蘊含的豐富的數學思想和數學思維訓練元素挖掘出來，把數論教學作為思維活動來進行，給學生提供探究活動與交流互動的情境與空間，使學生在概念的形成與同化的思維過程中，在對數論定理、公式的發現過程中，培養尋找真理與發現真理的創新能力。基于以上認識，筆者總結了探究式教學模式的框架。

這個教學模式可采用“創設問題情境→提出問題→探索發現→證明猜想”的程序進行。

下面是《孫子定理》的教學設計：

（1）創設問題情境。舉《孫子算經》中一個例子：韓信點兵：有兵一隊，若列成五行縱隊，則末行一人，成六行縱隊，則末行五人；成七行縱隊，則末行四人；成十一行縱隊，則末行十人，求兵數。這個例子比較容易引起學生興趣，學生完全可以根據題目條件把四個同余式x＝1（mod5），x＝5（mod6）， x＝4（mod7）， x＝10（mod11）例 出 來 ，但不會求解。這時可以讓學生計算2111分別除以5，6，7，11，分別求出商和余數，再讓學生找出兩個題目之間的聯系。在這個過程中學生知道2111應該就是同余方程的其中一個解，但是如何求出來的？還有沒有其他解？如何找出這個同余方程組的通解？這一系列問題的提出讓學生已經開始進入積極的思考當中。

（2）提出問題。教師給出一系列《孫子算經》同一形式的問題，如“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”和“十一數之余三，七二數之余二，十三數之余一，問本數”等等。讓學生找出這一類問題的共同特點，這個時候學生完全可以自己寫出孫子定理的內容，這跟數學家的思維過程一樣。

（3）探索發現。對于問題“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”的求解，師生可以共同研究古代對此問題的解答，“三人同行七十稀，五樹梅花二十一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知”。這一解答也可以通過列表給出，這樣更能容易地讓學生把問題推廣到一般情形。這個一般情形的得出過程已經是孫子定理的證明過程中的部分思考內容，這時就可以進行猜想。

（4）證明猜想結論。由古代解答方法的推理進一步給出定理的證明，這個地方教師要注意類比思想的滲透。

（二）課題研究教學模式

課題研究是指學生根據自己的興趣選擇課題，以專題研究為導向，以自主學習和小組協作學習為主要學習方式，在類比科學家研究的過程中進行學習，以全面掌握和運用數論知識解決問題，培養學生創新能力的一種教學方法。

課題研究教學模式可以按照“課題的確立與選擇→組建小組→教師” 的程序進行。

1.課題的確立與選擇

研究課題的確立是研究性學習的開始，首先由教師根據教學與研究內容確立一系列課題，并向學生公布，然后由學生根據自己的興趣、學識和思維特點去選擇自己要研究的課題。課題的確立應注意以下幾點。

（1）課題研究的內容應與數論教材知識相關，體現數論知識的學習與應用。

（2）課題內容要符合學生的興趣。興趣是學習最持久的動力，當學生對研究的內容產生興趣，其才有努力的方向，才會不斷地思考與探索，尋找問題解決的途徑。一般來說，課題內容有兩類：一類是純數論問題，即是數論教學內容的延伸與拓寬，如：中國古代數學家對數論的貢獻；另一類是數論在其他學科和現實生活中的廣泛應用，如：數論與中小學數學競賽。

（3）課題內容難度要適中，以適應學生的認知水平和對各方面知識的積累程度。難度過低，則課題對學生失去吸引力；若難度過高或涉及面太廣，學生難以用他們所掌握的知識和能力去探究，則研究活動難以進一步展開。

2.組建小組

教師在集中講授了課題研究的方向及要點后，為了培養學生的團隊精神和協作精神，讓學生按照他們所選的專題組建小組，每一個小組進行同一個課題研究。在小組的學習中，學生分工負責搜集資料、整理信息，最后合作完成課題論文，這是自主學習與合作相結合的學習方式。

3.教師指導

在研究性學習中，學生是主體，但并不意味著教師是旁觀者，只是教師的地位改變了，從以往的居高臨下變成合作關系與學生共同討論。教師以指導者和合作者的身份介入學生的課題研究，主要體現在下面兩個方面。

⑴在課題開講時，教師向全班學生介紹各種課題研究的基本框架、重要結論、研究方向等；給學生介紹如何搜集資料和研究資料，具體做法是：提供研究資源信息，指導學生利用圖書、期刊、網上資源、互聯網搜索引擎等手段找尋自己所需的資料。為了規范學生寫作論文的方式，必須給學生介紹一些與他們水平相近的研究范文和論文精選，以及如何設計論文章節結構、如何引用文獻等方法。

⑵在小組活動階段，教師的作用是跟蹤進度、反饋修正、思路點拔、疑難解答。具體來說，就是充當學生的“顧問”，在與學生平等交流的方式下，指導學生對獲取的各種信息進行分類、加工、整理，并提供學生利用信息進行研究的建議。

對于“勾股數”的教學筆者實施的是課題研究教學模式，進行的課題是：找勾股數，從找特殊勾股數到一般勾股數的過程中其實就是解決了從構造不定方程到解不定方程的學習問題，其中學生還可以從整理資料到寫論文的過程了解到更多的相關知識，這讓學生的視野更廣闊，求知欲更強烈。

四、提升教師科研素養是實施研究型教學的前提

研究性教學以學生為中心，要求學生擺脫對教師的依賴，獨立利用網絡收集資料、閱讀參考文獻、自行完成實驗和設計，在課堂上，則通過學生討論、互動等形式，經過一系列的質疑、判斷、分析、推理等思維活動，從而得出新的結論。這一系列的活動，都離不開教師的策劃與指導。在研究性教學中教師起組織者、指導者的作用。教師要為學生提供學習的外因和誘導的內因。在教學設計時，首先要設計學習環境（也就是外因），比如情境創設、信息資源的提供、組織協作學習的方式等，以達到學生有效地實現對知識的建構。然而采用怎樣形式的情境與主題相關？哪些信息資源是必要的？即使在協作學習中，以哪種方式提出問題？怎樣展開討論？如何把討論逐層引向深入？這些都離不開教師的精心設計。其次，要求教師設計自主學習的策略，包括情境式、支架式、啟發式、討論式和自我反饋式等，然而不管采取哪一種策略，都要適合學生的認知水平和適應教材內容特點，這些更離不開教師的指導。因此，研究性教學對教師提出了更高的要求。

1.教師必須樹立“以我為本”的教學理念

傳統的教學方式是填鴨式、滿堂灌，教師講、學生聽，然后利用剛講完的知識去完成作業的教學程式。在這種課程教學模式中，傳授知識就是全部，缺少知識的遷移和拓展，至于探索未知領域就更談不上了。而作為研究性教學的教師，必須摒棄這種陳舊的教學觀念，立足“以人為本”，“授人以漁”而不是“授人以魚”。要培養學生的問題意識，鼓勵他們大膽猜想、嚴謹求證，引導他們聯想、分析，師生共同“碰壁”。也就是說，教學生學會學習、學會方法[3]。

2.提升教師自身的科研能力

在本學科專業領域、科研能力等方面，研究性教學對教師提出了更高的要求。教師除了對教材內容作更廣泛、更深刻的鉆研之外，還要有強烈的科學精神，時刻關注數論學科的前沿和發展，一方面提升自己的科研水平，另一方面要把數論發展中一些未解決的問題選擇性地滲入教學之中，激發學生對數論的興趣和求知欲望。

總之，經過不斷地實踐與總結，學生在研究型教學模式下學習初等數論的興趣和積極性有了很大的提高，他們的數學能力與數學素養得到了更好的培養，特別是學生的問題意識、研究能力和創新精神這三個方面尤為突出。

[1]劉寶存.美國研究型大學基于問題的學習模式[J].中國高等教育研究,2004（10）.

[2]教育部高等學校數學與統計學教學指導委員會課題組.數學學科專業發展戰略研究報告[J].中國大學教學,2005（3）.

[3]劉智運.論高校研究性教學與研究性學習的關系[J].中國大學教學,2007（10）.

G420

A

1673-8535（2011）02-0100-05

2010-10-26

梧州學院2008年度教育教學改革項目（wyjg2008c011）

覃學文（1975-），女，廣西橫縣人，梧州學院數理系教師，研究生學歷，研究方向：微分方程，數學教育。

高 堅）