兩點電荷電場中場強的極值點與單調(diào)性

李新良

（泰興中學 江蘇 泰興 225400）

《物理通報》2010年第9期《兩等量同號點電荷中垂線上場強的極大點》一文，通過逼近法找出了場強極大點．筆者認為雖然實踐中可操作，但理論上不精確，而且不能反映場強變化的單調(diào)性．本文對幾種電場的場強的極值點和單調(diào)性的判斷進行了完整的數(shù)學推導(dǎo)，并用幾何畫板作圖研究場強隨空間位置的變化，使人們對單調(diào)性有直觀感受．

1 等量同號點電荷中垂線上的場強

如圖1所示，點電荷A，B帶電荷量均為＋Q，相距2L，連線AB中點為O．中垂線上某點P的合場強為

圖1

先討論極值，令f（α）＝sinαcos2α，求導(dǎo)可得

令f′（α）＝0，則有

查三角函數(shù)表知α＝35．264°，即α＝0．196π時中垂線上場強出現(xiàn)極值．再討論單調(diào)性，由

可知，f′（α）的正負僅取決于（cosα－槡2 sinα）的正負．所以當0≤α＜35．264°時，f′（α）＞0，場強E單調(diào)遞增；當35．264°＜α＜90°時，f′（α）＜0，場強E單調(diào)遞減；當α＝35．264°時，f′（α）＝0，場強出現(xiàn)極大值．以上結(jié)論具有普適性．如圖2，利用幾何畫板作出函數(shù)f（x）＝sin x cos2x的圖像，在0～區(qū)間可以直觀驗證上述普適結(jié)論．

圖2 幾何畫板1

2 等量異號點電荷連線之間的場強

如圖3所示，點電荷A，B帶電荷量分別為＋Q和－Q，相距2L，連線AB中點為O，連線AB之間有一點P，設(shè)PO＝l（0≤l＜L），則P點場強為

圖3

經(jīng)分析，AO之間場強E將隨l的增大而單調(diào)增大．根據(jù)對稱性，連線AB之間O點場強最小，離O越遠，場強越大，這一結(jié)論也能由電場線疏密定性得出．如圖4，以L為一個長度單位，利用幾何畫板作出函數(shù)的圖像，在0～1區(qū)間單調(diào)遞增，也能驗證上述結(jié)論．

圖4 幾何畫板2

3 不等量異號點電荷連線之外的場強

如圖5所示，點電荷A，B帶電荷量分別為＋Q，－q，相距L．現(xiàn)討論直線AB上B點右側(cè)各點的場強．B點右側(cè)取一點P，以水平向右為正方向，則P點場強為

圖5

引入函數(shù)

求導(dǎo)可得

分別令f（x1）＝0，f′（x2）＝0．解得

因為n＞1，所以x2＞x1＞0，通過討論f（x）、f′（x）的正負，并考慮到函數(shù)的單調(diào)性與矢量單調(diào)性的聯(lián)系與區(qū)別，就能得到場強E的方向及單調(diào)性，結(jié)論見表1．

表1

由表1可知，場強極大值出現(xiàn)在x＝x2處．同樣，以L為一個長度單位，取n＝4，則

如圖6，利用幾何畫板作出函數(shù)f（x）的圖像，能夠?qū)ι鲜鼋Y(jié)論進行枚舉法驗證．

圖6 幾何畫板3