對水波干涉圖樣成因的再認(rèn)識

馬新亞

(宿州第二中學(xué) 安徽宿州 234000)

當(dāng)兩列周期相同的水波相遇時(shí)，在它們重疊的區(qū)域里，水面上出現(xiàn)了一條條相對平靜的區(qū)域和劇烈振動(dòng)的區(qū)域．這兩種區(qū)域在水面上的位置是穩(wěn)定不變的，而且平靜的區(qū)域和劇烈振動(dòng)的區(qū)域交替出現(xiàn)．對于上述水波干涉圖樣的形成原因，教材上給出了這樣的解釋:“如圖1所示，兩組同心圓表示從波源發(fā)出的兩列波的波面，實(shí)線圓表示波峰，虛線圓表示波谷．如果在某一時(shí)刻，水面上的某一點(diǎn)(如圖1中的a點(diǎn))是兩列波的波峰與波峰相遇，那么經(jīng)過半個(gè)周期，一定是波谷與波谷相遇．波峰與波峰相遇時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向上的位移最大，等于兩列波的振幅之和;波谷與波谷相遇時(shí)，盡管質(zhì)點(diǎn)的位移是向下的，但也是最大，也等于兩列波的振幅之和．因此，在這一點(diǎn)，兩列波引起的振動(dòng)始終是加強(qiáng)的，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)最劇烈，振動(dòng)的振幅等于兩列波的振幅之和．如果在某一時(shí)刻，水面上的某一點(diǎn)(如圖1中的b點(diǎn))是兩列波的波峰與波谷相遇，經(jīng)過半個(gè)周期，就變成波谷與波峰相遇．在這一點(diǎn)，兩列波引起的振動(dòng)始終是相互削弱的，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅等于兩列波的振幅之差．如果兩列波的振幅相同，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的合振幅就等于零，水面保持平靜．虛線圓與虛線圓的交點(diǎn)，或者實(shí)線圓與實(shí)線圓的交點(diǎn)，是振動(dòng)加強(qiáng)區(qū)，它們連成的區(qū)域用粗實(shí)線畫出;虛線圓與實(shí)線圓的交點(diǎn)為振動(dòng)的減弱區(qū)，它們連線的區(qū)域用粗虛線畫出．從圖1中可以看出，情況與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的．”

圖1

對于這樣的解釋，學(xué)生提出問題:“為什么虛線圓與虛線圓的交點(diǎn)，實(shí)線圓與實(shí)線圓的交點(diǎn)的連線上的所有點(diǎn)都是振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)，虛線圓與實(shí)線圓的交點(diǎn)的連線上的所有點(diǎn)都是振動(dòng)減弱點(diǎn)?加強(qiáng)區(qū)和減弱區(qū)為什么會(huì)如圖中所示那樣穩(wěn)定且交替的分布?”

2 對水波干涉圖樣成因的解釋

2． 1 平面簡諧波的波動(dòng)方程

平面簡諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)方向上傳播所形成的波，叫平面簡諧波．若已知一列橫波(縱波情況類似)以速度v沿x軸正向傳播，波源O點(diǎn)的振動(dòng)方程為

這就是波動(dòng)方程．

2． 2 振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)和振動(dòng)減弱點(diǎn)形成的條件

如圖2所示，設(shè)兩相干波相遇區(qū)域中任一點(diǎn)P到兩相干波源S1和S2的距離分別為r1和r2，波源S1和S2的初相位分別為φ1和φ2，則兩相干波在P點(diǎn)引起的兩分振動(dòng)的相位差為

兩相干波在P點(diǎn)引起的合振幅為

當(dāng)Δφ=2nπ時(shí)，A=A1+A2在該處發(fā)生相長干涉;

當(dāng) Δφ =(2n+1)π 時(shí)，A= │A1－A2│，在該處發(fā)生相消干涉．

圖2

2． 3 振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)和振動(dòng)減弱點(diǎn)連接形成的線的曲線方程

對于圖2中所示的干涉，波源S1和S2同頻率、同振動(dòng)方向、同相位，距離波源為r處的點(diǎn)的振動(dòng)方程為

設(shè)兩相干波相遇區(qū)域中任一點(diǎn)P到兩相干波源S1和S2的距離分別為r1和r2，則兩相干波在P點(diǎn)引起的兩分振動(dòng)的相位差為

兩相干波在P點(diǎn)引起的合振幅為

當(dāng) Δφ =2nπ，亦即當(dāng)│r2－ r1│ =nλ(n=0，1，2，3，…) 時(shí)，A=A1+A2在該處發(fā)生相長干涉;

當(dāng)Δφ =(2n+1)π，亦即當(dāng) │r2－r1│ =該處發(fā)生相消干涉．

現(xiàn)以S1和S2連線的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以S1和S2連線為x軸，以過O點(diǎn)且垂直S1和S2連線的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)S1和S2的間距為d，現(xiàn)分幾種情況敘述振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)滿足的曲線方程．

(1)若│r2－r1│ =0，則加強(qiáng)點(diǎn)滿足的曲線為y軸，曲線方程為x=0．

(2)若│r2－r1│ =λ，則加強(qiáng)點(diǎn)滿足的曲線方程為

(3)若│r2－r1│ =nλ，則加強(qiáng)點(diǎn)滿足的曲線方程為

從以上的討論中可以看出，所有振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)連成的線是一系列不連續(xù)雙曲線，且到兩相干波源S1和S2距離差越大的點(diǎn)對應(yīng)的雙曲線，其中心線越偏離S1和S2連線的中點(diǎn)O，且其漸近線斜率越小，以上結(jié)論同樣適用所有振動(dòng)減弱點(diǎn)連接形成的線．

綜上所述，同頻率、同振動(dòng)方向、同相位的兩波源S1和S2所形成的波在相遇區(qū)域中疊加，所有到S1和S2距離相等的點(diǎn)形成振動(dòng)加強(qiáng)區(qū)，該區(qū)域在S1和S2連線的垂直平分線上;所有到S1和S2距離相差半個(gè)波長的點(diǎn)連線形成振動(dòng)減弱區(qū)，該區(qū)域分布在以S1和S2連線的中點(diǎn)O為對稱的雙曲線上，曲線中心到中點(diǎn)O的距離為半個(gè)波長．所有到S1和S2距離相差一個(gè)波長的點(diǎn)連線形成振動(dòng)加強(qiáng)區(qū)，該區(qū)域分布在以S1和S2連線的中點(diǎn)O為對稱的雙曲線上，曲線中心到中點(diǎn)O的距離為一個(gè)波長，曲線所對應(yīng)的漸近線的斜率更小一些．以此類推便形成了教材上的水波干涉圖樣．