基于擬單邊Lipschitz條件的一類非線性系統降維觀測器設計

徐明躍，胡廣大

(1.哈爾濱工業大學 航天學院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.北京科技大學 信息工程學院，北京 100083)

線性及非線性系統的觀測器設計問題十分重要，它是控制理論的核心問題，得到了廣泛應用.諸如:輸出反饋控制、過程辨識、系統控制、故障診斷等.對于線性系統狀態觀測器的設計方法，在文獻［1-2］中就已經得到了完美解決.比起線性系統，非線性系統觀測器設計要復雜和困難得多，至今仍有許多尚待解決的問題.近幾十年來，非線性狀態觀測器設計一直是眾多學者研究的熱點，得到了很多設計方法.如非線性坐標變換、自適應觀測器、高增益技術、標準型和輸出嵌入、光滑和非光滑技術等［3-8］.這些方法或是給出的條件比較嚴格以確保系統能夠轉化為便于觀測器設計的形式，或是針對特殊結構的非線性項，或是增加假設條件已得到具有局部收斂的觀測器.所以，為了得到盡可能較少保守性的更一般的設計方法，非線性系統觀測器設計問題至今仍是許多學者研究的熱點.非線性系統的狀態觀測器可分為全維觀測器和降維觀測器兩種.降維觀測器只估計系統的部分狀態變量，這些變量不能從輸出中直接測量.由于降維觀測器的維數比全維觀測器的維數低，因此，構造觀測器時可以用較少的積分儀并且整個控制系統更簡單.

在實際問題中遇到的系統大多都為 Lipschitz非線性系統，許多非線性系統的非線性項或是Lipschitz的或是局部Lipschitz的.近年來，許多學者致力于Lipschitz非線性系統狀態觀測器的研究，得到了大量設計方法［9-14］.但基于Lipschitz條件得到的漸近穩定觀測器存在的充分條件，具有強的保守性，原因在于Lipschitz常數是個正數.文獻［15-17］中引入比Lipschitz條件更弱的擬單邊Lipschitz條件來代替Lipschitz條件，研究了Lipschitz非線性系統全維觀測器的設計方法，設計方法比已有方法減少了保守性.

沿文獻［15-20］的思路，基于擬單邊、弱擬單邊Lipschitz條件，給出Lipschitz非線性系統的降維觀測器設計方法，得到比現有的設計判據減小保守性的漸近穩定觀測器存在的判據.不同于現有文獻的方法，使所得到的設計方法在系統的參數不滿足可檢測性時仍然可用.最后通過仿真算例，驗證了所得到方法的正確性.

1 模型描述

假定I代表適當維數的單位陣，Eij表示第i行第j列元素是1其余元素是0的適當維數方陣.

考慮如下的Lipschitz非線性系統:

其中，x∈Rn為狀態向量，u∈Rm為輸入，y∈Rp為輸出，A∈Rn×n，C∈Rp×n為常值矩陣.Γ(y，u，t)是n維已知向量函數，φ(x，u，t)是n維已知向量函數并且關于x是非線性的.

在文獻［15-17］中引入了擬單邊Lipschitz條件:

來代替通常的Lipschitz條件.其中f(x，u，u)= Pφ(x，u，t)，P是待求正定陣，M是一個實對稱陣(不必正定或負定)，稱M為Pφ的擬單邊Lipschitz常數矩陣.稱函數φ(x，u，t)滿足條件擬單邊Lipschitz條件.

在設計非線性系統觀測器時，用擬單邊Lipschitz條件(2)代替通常的Lipschitz條件的優越性在文獻［15-17］中已經討論.此外，易見，滿足通常Lipschitz條件的函數一定滿足擬單邊 Lipschitz條件(2).

在很多情況下，可以找到不定的甚至負定的擬單邊Lipschitz常數矩陣M，這就使得擬單邊Lipschitz常數矩陣M(尤其是負的M)比通常的Lipschitz常數能更多反映非線性部分對觀測器穩定性的貢獻.

將矩陣A和對稱正定陣P分塊如下:

式中:A11、p1∈Rp×p、A12，p2∈RP×(n－P)，A21∈

2 降維觀測器設計

基于擬單邊Lipschitz條件(2)，可以得到下列重要結果.

定理1 假定C=［Ip0］，并且系統(1)滿足擬單邊Lipschitz條件(2).如果

有正定解P，其中M為Pφ的擬單邊Lipschitz常數矩陣.那么非線性系統(1)存在n－p維的降維觀測器:

式中:

用式(7)減去式(4)的第1個式子，則動態誤差滿足:

式中:

考慮Lyapunov函數

其導數為

因為x=T－1z，擬單邊Lipschitz條件(2)意味著

即

結合式(5)、(8)和(9)得

這就意味著式(4)是式(1)的漸近穩定降維觀測器.

定義1 考慮非線性向量函數φ(x，u，t).如果

成立.其中P是某待求正定陣，M是一個實對稱陣(不必正定或負定)，則稱φ(x，u，t)滿足弱擬單邊Lipschitz條件.

從定理1的證明過程可見，在C=［Ip0］的情況下，定理1的條件“系統(1)滿足擬單邊Lipschitz條件(2)”可以減弱為“系統(1)滿足弱擬單邊Lipschitz條件(10)”.

定理2 如果非線性系統(1)滿足弱擬單邊Lipschitz條件(10)，C=［Ip0］，并且存在增益陣K使得

有正定解P，則系統(1)有形如式(4)的降維觀測器.

類似于文獻［20］的討論，如果C≠［Ip0］，但C有行滿秩，則可以得到類似定理1的結論.即利用Gram-Schmidt正交化，存在可逆陣S∈Rp×p使得C=，其中∈Rp×n且=Ip.運用輸出變換ω=S－1y=，將矩陣擴充為 n×n的正交陣通過狀態變換，式(1)變為

引理1 考慮非線性系統(1).如果條件(2)成立，并且可以選擇K滿足式(3)，則可以選擇WKS使得

引理1的證明完全類似于文獻［20］中引理1的證明(略).

定理3 假設C行滿秩，且非線性系統(1)滿足擬單邊Lipschitz條件(2).如果存在增益陣K使得(A－KC)TP+P(A－KC)+2M＜0有正定解P，則系統(1)有具有如下形式的降維觀測器:

事實上，注意到W是n×n的正交陣，有

由式(11)、(14)、引理1和定理1可知式(13)是系統(1)的漸近穩定降維觀測器.

定理3得證.

3 觀測器漸近穩定性的仿真試驗

下面就(A，C)可檢測與不可檢測2種情況下通過仿真實例驗證提出的降維觀測器設計方法的有效性以及所得判據比基于Lipschitz條件得到的判據減小保守性.

試驗1 考慮非線性系統(1)，其中

由Matlab的LMI工具箱解(17)得

圖1給出了狀態變量x2的仿真結果，從圖1可以看出所設計的非線性降維觀測器實現了對例1所給系統的狀態變量x2的漸近估計，其中初值x(0)=1，(0)=0.6.

在例1中容易求得φ(x，u，t)的Lipschitz常數，此時文獻［20］中所給方法失效.而由于設計了半負定的擬單邊Lipschitz常數矩陣M，從而把非線性項對于觀測器漸近穩定的貢獻充分地挖掘了出來.由此可見基于擬單邊Lipschitz條件比基于Lipschitz條件得到的觀測器設計判據大大地減小了保守性.

圖1 試驗1的狀態x2的仿真Fig.1 The simulations for state x2of experiment 1

下面的例子驗證了所給的方法即使在系統的參數(A，C)不可檢測時，仍然可用.

由Matlab LMI工具箱解式(18)得

圖2給出了狀態變量x2的仿真結果，從圖2可以看出所設計的非線性降維觀測器在(A，C)不可檢測情況下實現了對例2所給系統的狀態變量x2的漸近估計，其中初值

圖2 試驗2的狀態x2的仿真Fig.2 The simulations for state x2of experiment 2

4 結束語

通過設計不定、半負定或負定的擬單邊Lipschitz常數矩陣得到了一類非線性系統降維觀測器設計的判據，用擬單邊Lipschitz、弱擬單邊Lipschitz條件來代替通常的Lipschitz條件，給出了了該類非線性系統降維觀測器漸近收斂的LMI形式的充分條件.該充分條件比現有文獻利用Lipschitz條件給出的充分條件大大減少了保守性.同時解決了非線性系統的參數(A，C)不可檢測時現有文獻判據失效的問題.所給判據不僅適用于通常的Lipschitz非線性系統，也適用于非Lipschitz非線性系統.仿真算例驗證了所給方法的有效性.

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