經驗貝葉斯嶺估計在加速度計標定中的應用

姜巖松，劉雨，蘇寶庫

(哈爾濱工業大學 空間控制與慣性技術研究中心，黑龍江 哈爾濱 150001)

在慣性導航系統中，加速度計的精度直接影響導航和制導系統的精度［1］.通過改進測試技術和辨識方法來提高加速度計精度成為慣導領域重要的科研目標.在加速度計重力場標定試驗中，由于測試設備存在轉角誤差，結果并不理想.考慮到正交雙表g2觀測模型可以消除設備轉角誤差的影響［2］，但同時模型的系統矩陣中由于某些誤差項線性相關，使得在計算出現不滿秩，造成系統存在較為嚴重的復共線性.若用傳統的最小二乘方法會出現估計偏差過大、對樣本變化敏感、分離不出耦合在一起的誤差項［3］.對于上述存在問題，本文首先給出正交雙表g2觀測模型，分析了復共線性產生的原因，而后融合了貝葉斯估計和嶺估計的思想，即從歷史數據中估計出先驗信息計算出驗后概率，然后以某種準則求出嶺參數［4-5］，最后將嶺參數代入估計量中進行統計推斷和決策［6-7］，提出了經驗貝葉斯嶺估計法，并推導了具體的求解過程.最后通過仿真分析和加速度計在重力場的實測試驗數據，比較了最小二乘法和經驗貝葉斯嶺估計法.

1 加速度計正交雙表誤差模型

在分度頭上進行多位置翻滾實驗可以對加速度計標定.當繞PA軸旋轉時，假設水平位置為初始位置(A表的IA軸指向西)，轉角θ順時針旋轉為正.設兩塊加速度計在分度頭上的安裝取向是幾乎正交的，得到A表的模型方程:

B表轉動η+90°時的模型方程:

式中:δθn是加速度計在轉角θn位置時的轉角誤差(n=1，2，…，N是角位置數)，η為兩表的非正交誤差.

設全部模型系數的平方與乘積都可以忽略，得到g2觀測模型方程為

式(3)的正交雙表模型的矩陣形式為

其中:Y=［y1y2… yn］T是觀測值;ε=［ε1ε2… εn］T，εn是假設在θn位置時的測量噪聲; K=［KA0KB0kA1kB1η KA2KB2KAipKBip］T是被估計參數;A為系數矩陣由式(3)給出.

被測加速度計的精度高于轉角精度時，采用正交雙表法可以有效消除轉角誤差對測試的影響.將式(3)化為三角函數的標準形式:

由式(5)可以看出A表的KA0、KA2和B表的KBip耦合在一起，B表的KB0、KB2和A表的KAip耦合在一起，存在線性相關，導致這些參數在一次實驗中無法完全分離出來.

2 經驗貝葉斯嶺估計

2.1 問題描述

不失一般性，對于形如式(4)的線性回歸模型:

式中:Y=［y1y2… yN］T;β=［β1β2… βm］T; A是N×m的系數矩陣;ε=［ε1ε2… εN］T是獨立同分布且服從N(0，σIN).為獲得β的minimax估計，考慮損失函數:

式中:di是已知的，σ2是未知的可以通過下式估計出:

因此問題就轉化為通過xi來估計θi.

2.2 經驗貝葉斯嶺估計的算法

對于式(9)，假設θi先驗分布為N(0，λσ2)，xi的條件密度函數為

θi的先驗密度函數為

則θi的驗后密度函數為

式(13)表明若xi是給定的，那么θi的驗后分布為得到θi的貝葉斯估計:

文獻［8］給出了一個關于求λ估值的方程:

展開將S移到等式左面并令λ*為以下方程的解:

同時令λ0為以下方程的根:

將式(19)代入式(14)可得到θ2的估計:

3 仿真與實驗驗證

3.1 仿真分析

為了檢驗經驗貝葉斯嶺估計的有效性，首先進行了最小二乘估計(LS)和經驗貝葉斯嶺估計(EBR)的仿真研究.對于式(6)的辨識模型，取以下待辨識參數:零偏K0、一次項修正值k1、交叉耦合項Kip、二次項K2、安裝誤差角δθ和非正交誤差項η，用R表示擬合殘差.可按照式(15)中和式(20)計算出單表最小二乘、雙表最小二乘及雙表經驗貝葉斯嶺估計的估值與估值標準偏差.

表1 最小二乘估計(LS)和經驗貝葉斯嶺估計(EBR)估值仿真結果Table 1 The simulation result of estimate by LS and EBR

表2 最小二乘估計(LS)和經驗貝葉斯嶺估計(EBR)估值標準偏差仿真結果Table 2 The simulation result of standard deviation by LS and EBR

分析表1和表2仿真結果，比較3種方法的擬合殘差R可知，利用單表最小二乘估計其擬合殘差R較大，辨識精度低;雙表最小二乘無法同時分離Kip和K2;雙表經驗貝葉斯嶺估計不但擬合殘差較雙表最小二乘估計小、辨識精度高，而且能夠估計出二次項K2，進一步說明了經驗貝葉斯嶺估計在加速度計雙表模型參數辨識中的優越性.

3.2 實驗驗證

高精度加速度計的測試對實驗設備及實驗環境有很高的要求.

3.2.1 實驗設備及實驗環境

實驗中所用到的儀器、測試設備及實驗環境說明如下:

1)通常加速度計的重力場實驗是利用精密分度頭或精密轉臺來實現的，本實驗所用到的是上海理工大學附屬工廠生產的SJJF－1型1角秒精密光學光柵分度頭;

2)兩塊加速度計是某研究所研制的石英撓性加速度計，其精度約為1×10－5g;

3)電壓表為KEITHLEY2000六位半數字多用表;

4)實驗室地基(見圖1);

5)測試溫度變化不超過0.2℃，溫控裝置見圖2;

6)低溫恒溫裝置(圖3)控制高精密(10－6)采樣電阻的溫度;

7)實驗時間選為室外環境安靜的傍晚.

圖1 實驗室隔振礅Fig.1 The foundation

圖2 溫控裝置Fig.2 The temperature control device

圖3 低溫恒溫槽Fig.3 The low and constant temperature device

3.2.2 實驗步驟

加速度計的初始安裝位置為門狀態，即繞擺軸PA進行多位置翻滾實驗，如圖1所示.初始安裝完成應進行調平，使得加速度計A的輸入軸接近于水平位置.通過對實驗位置數和實驗點選取的D最優分析，認為等角間隔20位置取點是最優的.

實驗開始時，分度頭示數為0°，待數字萬用表穩定后，記錄兩塊加速度計的電壓輸出值，然后逆時針依次轉動到18°、36°、54°、…、360°(20位置)，在每個轉角位置分別記錄精密分度頭的轉角和兩塊加速度計的輸出數據，最后再按照上述方法完成一次順時針測量，將兩次實驗結果各個位置的讀書取平均后作為一次實驗數據.

圖4 正交雙表安裝方式示意圖Fig.4 Installation diagram of two orthometric accelerometers

3.2.3 結果分析

表3 最小二乘和經驗貝葉斯嶺估計的實驗結果Table 3 The result of the experiment by LS and EBR

從表3實驗結果分析可知，應用最小二乘和經驗貝葉斯嶺估計其零次項、一次項修正值及非正交項的估計結果基本一致.雙表的最小二乘估計可以消除安裝誤差角的影響，但二次項和耦合項的線性相關問題得不到解決;單表模型雖然每個參數都能辨識，但由于安裝誤差的引入，使辨識精度降低.雙表的經驗貝葉斯嶺估計解決了上述問題，在保證辨識精度的同時還估計出了K2.

對于K2項辨識結果，參照加速度計出廠時的產品檢驗合格證書中的 K2項標稱范圍，即:KA2＜9.4×10－5g/g2，KB2＜2.5×10－5g/g2，估值均在參考范圍內，可認為辨識結果是真實可信的.

4 結束語

為提高加速度計的精度，基于加速度計的正交雙表模型，本文提出了一種經驗貝葉斯嶺估計方法，從仿真和具體實驗兩方面，對比了單表的最小二乘估計、雙表的最小二乘估計和經驗貝葉斯嶺估計的精度.結果證明，在正交雙表g2觀測模型中應用經驗貝葉斯嶺估計能夠克服系統的復共線性問題，并且辨識精度好于最小二乘法，對于解決由于模型相關項導致無法用最小二乘法辨識這類問題非常有效.此外，加速度計的高次項，如:K2和K3等系數的標定對測試設備和測試環境要求很高，試驗非常昂貴，在文中闡述的加速度計試驗，經驗貝葉斯嶺估計方法利用歷史的有效數據分離出二次項，對高精度加速度計的測試有很大的理論價值和工程實用價值.對于三次項、高階非線性項和交叉耦合項是否依然滿足適用條件，需要結合離心機試驗進一步研究.

［1］張春京，原俊安，李丹東.從加速度計測試技術研究看慣性儀表測試技術發展趨勢［J］.航天控制，2005，23 (2):78-84.

ZHANG Chunjing，YUAN Junan，LI Dandong.Inertial device test technology in view of the study of accelerometer test［J］.Aerospace Control，2005，23(2):78-84.

［2］Gyro and Accelerometer Panel of the IEEE Aerospace and Electronic System Society.IEEE Std 1293-1998.IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Linear，Single-Axis，Nongyroscopic Accelerometers［S］.New York:The Institute of Electrical and Electronics Engineers，1998:187-208.

［3］Gyro and Accelerometer Panel of the IEEE Aerospace and Electronic System Society.IEEE Std 836-2001.IEEE Recommended Practice for Precision Centrifuge Testing of Linear Accelerometers［S］.New York:The Institute of Electrical and Electronics Engineers，2001，11:12-25.

［4］陳希孺.數理統計引論［M］.北京:科學出版社，1981: 439-528.

［5］KUBOKAWA T，SRIVASTAVA M S.Minimax multivaricate empirical Bayes estimators under multicollinearity［J］.Journal of Multivariate Analysis，2005，93:394-416.

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