隨機陣列誤差影響下的聲矢量陣噪聲特性和陣增益

劉凱，梁國龍，嵇建飛，張鍇

(哈爾濱工程大學 水聲技術國家級重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

聲矢量陣被應用于實際聲吶系統的例子已屢見不鮮［1-2］.相對于標量陣，聲矢量陣突顯出來的優勢得到眾多學者的證明［3-4］.然而很多優勢都是在理想的假設條件下取得的，隨機陣列誤差的存在可能使得這些假設不再成立.對于聲矢量陣，主要的隨機陣列誤差包括信號通道的幅相誤差、陣元位置誤差和陣元姿態誤差等.

一切聲吶系統的靈魂應該是它采用的核心算法.判斷算法在某特定噪聲環境中的性能優劣，評定其魯棒性的強弱，是指導算法設計的重要環節.不比標量陣［5-6］，目前有關隨機陣列誤差影響下聲矢量陣算法性能分析的文獻還尚不多見.于是嘗試性的做了下列工作:1)建立了隨機陣元位置誤差和陣元姿態誤差的高斯擾動模型;2)推導了隨機陣列誤差影響下聲矢量陣的噪聲時空相關矩陣;3)推導了MVDR波束形成器實際陣增益的解析表達式，找出了導致陣增益出現衰減的直接因素，即畸變后的噪聲協方差矩陣和失配的導向向量;4)結合“等間距布放的聲矢量直線陣”實例，分析了隨機陣列誤差對噪聲相關系數的影響，并考察了實際陣增益在不同的陣列誤差強度、訓練數據的信噪比以及陣元間距下的統計特性.

1 陣列誤差的高斯擾動模型

陣列誤差可分為2類:可預測的和隨機的.可預測的誤差可通過估計和補償消除，隨機誤差是很難補償的，因而成了限制陣列系統性能的最終因素.Gauss在研究誤差理論時發現隨機誤差服從的分布為正態分布(后來又稱為高斯分布).

1.1 陣元位置誤差模型

假設聲矢量陣的第m號基元的初始位置為

受內波、浪涌和母船激起的水流等因素的影響，基元會作一種無規則的隨機擾動.在高斯擾動模型下，第m號基元的實際坐標變為

式中:Δxm、Δym和Δzm為擾動分量，三者統計獨立并且Δxm、Δym、ΔzmN(0，σ2r)，其中σr為標準差，并定義σλ=(2π/λ)σr.

1.2 陣元姿態誤差模型

理想條件下，可以先通過方位姿態儀等測量儀器精確獲取基元的姿態參數(heading，pitch，roll)，然后旋轉其輸出使之與坐標軸對齊［4］.在平面波的假設下，各基元的方位響應都能夠表示為

式中:θ=［φ φ］T為聲源的入射方向(φ為方位角，φ∈(0，2π］);φ是俯仰角為矢量傳感器所在點指向目標聲源的單位方向向量.

在實際應用中，受方位姿態儀的測量精度、安裝偏差、平臺的電磁場以及因水流沖刷而快速旋轉等因素的影響，測得的姿態參數會存在誤差.在運動學上，廣義歐拉角是最常用的描述剛體旋轉狀態的方法［7］.為了表述陣元姿態誤差，建立了定坐標系Oξηζ和與矢量傳感器相固結的體坐標系Oxyz，并將原點O取在矢量傳感器的質點上，如圖1所示.

圖1 廣義歐拉角表示陣元姿態誤差Fig.1 Attitude errors represented by generalized Euler Angle

矢量傳感器處于初始姿態時，體坐標系Oxyz與定坐標系Oξηζ重合.其他任意姿態都可通過3次順序轉動獲得:1)繞z軸轉Δγm角;2)繞體軸y(在新位置)轉Δβm角;3)繞體軸x(在新位置)轉Δαm角，3個轉角(Δαm，Δβm，Δγm)統稱為廣義歐拉角.包含了陣元姿態誤差的方向余弦矩陣ΔΞm通過下式用廣義歐拉角表示:

式中:cΔαm、sΔβm為cosΔαm、sinΔβm的簡寫.在高斯擾動模型下，第m號基元的方向響應變為

式中:Δαm，Δβm和Δγm表示側傾、俯仰和橫擺等擾動分量，三者統計獨立且有Δαm，Δβm，Δγm·N(0，)，其中σξ為標準差.

2 噪聲時空相關性分析

海洋環境噪聲是聲吶設備的背景干擾之一，陣列信號處理算法的設計及性能分析與噪聲協方差矩陣密切聯系［8］.噪聲類型主要包括空間白噪聲、方向性噪聲(或稱干擾)和球面各向同性噪聲等.其中空間白噪聲在傳感器內部噪聲起主要作用時才被認為是有效的，后2種噪聲類型是更合乎實際應用［9］.文獻［10-11］中分析了理想條件下球面各向同性噪聲中聲壓和質點振速的相關性結構，下面分析隨機陣列誤差影響下的噪聲時空相關性.

2.1 方向性噪聲

式中:ρ為介質的密度.

將該矢量傳感器在t時刻的輸出寫成以下形式

式中:ρc為波阻抗.假設噪聲為零均值的寬平穩隨機過程，則(t)的自相關函數可表示為

在t1和t2時刻，位于處和處的兩矢量傳感器之間的時空互相關矩陣可表示為

2.2 球面各向同性噪聲

采用的模型和假設與文獻［9］中的一致，只是加入了隨機陣列誤差的影響.

推導得出單矢量傳感器輸出噪聲的相關矩陣為

兩矢量傳感器輸出噪聲之間的時空互相關矩陣可表示為

從(12)、(13)式可看出，對于單矢量傳感器，各分量之間的相關性并不受陣元姿態誤差的影響，仍能保持原有的特性，即所有分量的自相關函數具有相同的瞬時結構，且聲壓通道的噪聲功率為振速通道噪聲功率的3倍.對于兩矢量傳感器的輸出，陣列誤差會改變所有分量之間互相關系數的數值大小，但不會改變其“奇偶虛實性”.

實例分析:某聲矢量直線陣，基元個數為M，處于球面各向同性噪聲場中.理想情況下，各基元等間距(陣元間距為)排列，陣元姿態可精確獲取.圖2給出了此時兩矢量傳感器相同分量之間的相關系數(CP－P，CVx－Vx，CVy－Vy和CVz－Vz)，以及聲壓分量分量之間的相關系數恒等于0，故沒有一并顯示在圖上.從圖中看出，所有相關系數都隨陣元間距的增加而減小;CVx－Vx和CVy－Vy兩條曲線完全重合，說明它們受陣元間距大小的影響一樣;當陣元間距d≈0.95λ或1.5λ時，CP－P、CVx－Vx和CVy－Vy的值都接近0，說明在此間距下由二維矢量直線陣(如DIFAR陣)的噪聲協方差矩陣近似為對角陣.

假設此陣列受陣元位置誤差影響，且設定標準差σr=0.1λ，圖3(a)和圖3(b)分別顯示的是CP－P，CVx－Vx，CVy－Vy和CVz－Vz以及CP－Vz的均值和標準差的大小.從圖3(a)看出，各相關系數均出現了衰減，衰減程度與原相關系數的絕對值大小成正比.在圖3(b)中，CP－P的標準差在附近出現峰值，顯然此間距對聲壓陣的性能很不利，布放陣列時與z軸振速分量之間的相關系數(CP－Vz)隨陣元間距的變化規律(已用CP－P進行了歸一化處理)，其他應慎重考慮;在任意陣元間距下，CVx－Vx、CVy－Vy都具有相同的統計特性且標準差要低于其他的相關系數，說明它們受陣元位置誤差的影響一致且最小.

圖2 理想條件下的相關系數Fig.2 The ideal correlation coefficient

圖3 陣列位置誤差影響下的相關系數Fig.3 The correlation coefficient influenced by position errors

圖3(c)和圖3(d)給出了其他分量之間相關系數的均值和標準差.從圖3(c)可知，所有原來等于0的相關系數現在已不再為0，其絕對值很小，幾乎都能控制在0.004以內.但圖3(d)給出的標準差較大，與圖3(b)給出的標準差差不多在一個數量級上.

假設此陣列受陣元姿態誤差的影響，且設定標準差σξ=20°.圖4(a)和圖4(b)分別給出了CP－P，CVx－Vx，CVy－Vy，CVz－Vz以及CP－Vz的均值和標準差的大小.從圖4(a)中可看出CP－P不受陣元姿態的影響，其他4個相關系數的衰減程度也較小;原來重合的兩條曲線CVx－Vx和CVy－Vy，已分開，說明陣元姿態誤差對各振速分量的影響不一致.觀察圖4(b)會發現，CVx－Vx、CVy－Vy、CVz－Vz的標準差隨陣元間距的變化趨勢十分接近，而且陣元間距較小時標準差較大，說明小間距布放時它們對陣元姿態誤差更為敏感.

圖4 陣列姿態誤差影響下的相關系數Fig.4 The correlation coefficient influenced by attitude errors

其他分量之間相關系數的均值和標準差被顯示在圖4(c)和圖4(d)中.如同圖3(c)、圖4(c)給出的均值大小也幾乎不會超過0.004;圖4(d)中的標準差要比圖4(b)中的大，因此這些原來等于0的相關系數可能會成為陣列系統性能波動的主要因素.

3 矢量陣陣增益損失分析

3.1 矢量陣測量模型

陣增益能反映波束形成器抑制噪聲和干擾的能力，是評價波束形成器性能優劣的重要指標.

MVDR具有優于CBF的陣增益［12］.但在陣列誤差的影響下，MVDR的陣增益會急劇下降，甚至可能比CBF的陣增益還低.

假設觀察方向為θ0，窄帶假設條件下矢量陣的陣列輸出可表示為

式中:Σs和Σn分別為信號和噪聲的協方差矩陣，Jn為歸一化的噪聲協方差矩陣，可通過式(10)或者式(12)與式(13)計算得到=E［s~(t)s~*(t)］表示輸入信號的功率為輸入噪聲的功率;定義輸入信噪比為

令權矢量為W，對陣列輸出加權求和，得到矢量陣波束形成器的輸出為

進而求得波束輸出功率為

從式(18)中可看出，陣增益不僅受實際的導向矢量a(θ0)和歸一化的噪聲協方差矩陣Jn的影響，而且與權矢量有關.MVDR的權矢量［4］為

3.2 陣增益損失分析

利用Woodbury矩陣求逆公式得Rz的逆為

將式(22)、(23)代入式(20)，得到實際的陣增益為

定義

則式(24)可寫為

從式(26)看出，總有Gmvdr≤Gopt.陣列誤差破壞了Jn包含的噪聲相關性結構，并引起和之間的失配，導致陣增益的損失.陣列誤差的強度越大，失配就越明顯的值就會越大，陣增益的損失也就越嚴重;在失配程度一定的情況下，輸入信噪比越小，陣增益受陣列誤差的影響就越小，MVDR的穩健性也就越高.

實例分析:某聲矢量直線陣，垂直布放，基元個數M=12，陣元間距首先假設陣列處于方向性噪聲場中，3個方向性噪聲分別來自［0－30］T，［0 0］T和［0 60］T的方位，功率依次為10、5和0 dB(相對于0 dB的高斯白噪聲);總輸入信噪比ri設為－20 dB.圖5(a)和圖5(b)給出了陣元位置誤差強度變化時陣增益的統計特性(集平均和標準差);圖5(c)和圖5(d)給出了陣元姿態誤差強度變化時陣增益的統計特性.

從圖5可看出，當觀察方向遠離各噪聲入射方位時，陣增益基本上維持在一定值;而一旦接近某噪聲入射方位，陣增益會明顯下降，而且該方位的噪聲功率越大，陣增益下降得越嚴重.MVDR的設計原理是“讓觀察方向的信號無失真的輸出，而使波束輸出總功率最小”，當觀察方向靠近噪聲方向時，噪聲會被誤當做信號而無失真的輸出，引起陣增益的衰減.同時看出，不管是陣列位置誤差還是陣元姿態誤差，隨著其強度的增大，陣增益都會逐漸變小，其標準差也會相應升高，并在噪聲入射方位附近升高得較為明顯，說明此時系統的穩健性較差.通過對比發現，陣增益對陣列位置誤差的影響更為敏感.這是因為陣元姿態誤差只能影響到陣列輸入信號的幅度，而陣元位置誤差會同時改變其幅度和相位的大小.接著考察陣列處于球面各向同性噪聲場中的情形.假設各向同性噪聲的功率為20 dB(相對于0 dB的高斯白噪聲)，ri仍設為－20 dB.圖6(a)和6(b)分別給出了不同強度陣元位置誤差影響下陣增益的統計特性，圖6(c)和圖6(d)給出了不同強度陣元姿態誤差影響下陣增益的統計特性.

圖5 方向性噪聲場中的陣增益Fig.5 Array gain in directional noise field

從圖6可以看出，在理想條件下，當觀察方向位于區間［－50°，50°］時，陣增益與白噪聲背景下獲得的陣增益相似，同時端射方向附近的陣增益要略高于正橫方向附近的陣增益，此現象是由各向同性噪聲的相關性結構以及有效的噪聲功率隨方位角的變化規律引起的，文獻［9］中用CBF方法仿真得到了相同結論并給出了相關解釋.隨著陣列誤差強度的增加，陣增益出現整體下降，均方差也相應升高.有趣的是，在陣元位置誤差影響下，端射方向附近的陣增益變化得較明顯，而在陣元姿態誤差的影響下，正橫方向附近的陣增益擾動幅度會較大;若要利用此陣列測量海底目標［13］(此時要求的仰角會比較大)，建議盡量控制陣元位置誤差的大小以保證足夠精度，例如為了保證70°方位上的陣增益損失不低于6.5 dB，就應使得σr＜0.05λ.表1的首列數據表示陣元間距，第2列數據表示各方向最優陣增益的均值，即.可看出，在各項同性噪聲場中，陣增益會隨陣元間距的增大而增加，當d＞0.5λ后基本趨于穩定.表中其他部分的數據等于E(GMVDR(θ))}，反映了不同陣列誤差和輸入信噪比ri變化時的陣增益損失量.可以看出，信噪比越大，陣增益對陣列誤差越敏感，這與式(26)給出的結論吻合.同時隨著陣元間距的增加，陣增益損失量會逐漸減小，當后基本趨于穩定.原因之一是當后幾乎所有的相關系數受陣列誤差的影響程度都被控制在一個很小范圍內(見圖3、4).聲矢量陣具有“抗柵瓣模糊”的能力，因此在實際布放過程中，可以適當地增大陣元間距以提高陣列系統的魯棒性，但是增大陣元間距也勢必會使得陣列孔徑過大，需在兩者之間尋求折衷.

圖6 各向同性噪聲場中的陣增益Fig.6 Array gain in spherically-isotopic noise field

表1 陣增益損失量Table 1 Loss of the array gain

4 結論

針對處于方向性噪聲場和各向同性噪聲場中的聲矢量陣，通過建立陣元位置誤差和陣元姿態誤差的高斯擾動模型，研究了隨機陣列誤差對噪聲相關性結構和MVDR波束形成器陣增益的影響.研究結果表明:

1)陣列誤差會改變相關系數的數值大小而不改變其奇偶虛實性，會導致原來不為0的相關系數出現波動和衰減，且程度與陣列誤差的強度成正比;會使原來恒等于0的相關系數不再為0，而這些相關系數可能會成為造成系統不穩定的重要因素;

2)陣增益的損失由噪聲相關性的破壞和導向矢量的失配引起，同時還受輸入信噪比的影響.陣列誤差的強度越大，導向矢量的失配程度越明顯，陣增益就衰減得越嚴重;訓練數據的輸入信噪比越大，陣增益對陣列誤差會越敏感;

3)相比于陣元姿態誤差的影響，噪聲的時空相關性和MVDR的陣增益都更易受到陣元位置誤差的影響，因此有效的陣形估計方法變得很有意義.在各向同性噪聲場中，陣增益對陣列誤差的敏感度還與觀察方向和陣元間距的大小有關.

文中的分析結果可為聲矢量陣列系統的布放、相關算法的設計以及魯棒性能的評估提供參考.

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