帶啟動期的Geom/Geom/1可中止工作休假排隊

潘小春，朱翼雋

(江蘇大學理學院，江蘇鎮江212013)

0 前言

近年來，Servi和Finn［1］引入了一類半休假策略，服務員在假期并未完全停止工作而是以較低的速率為顧客服務，這種休假策略稱為工作休假。田乃碩［2］分析了離散時間Geom/Geom/1單重工作休假排隊，得到了系統中的顧客數和任意顧客的逗留時間的穩態分布，并闡明了隊長和逗留時間的隨機分解性質。爾后，李繼紅等［3－4］研究了M/M/1休假可中止的工作休假排隊。朱翼雋等［5］研究了休假可中止的M/G/1工作休假排隊。2009年，汪文飛［6］運用矩陣幾何解的方法求得到達時刻隊長的穩態分布，而且證明了其可以分解為三個獨立隨機變量的分布的和。

本文在文獻［2］的基礎上引入關閉和啟動期并把工作休假擴展為休假可中止的工作休假。如果休假期間的服務速率退化為零，就得到經典的帶關閉和啟動期的Geom/Geom/1的單重休假排隊。休假可中止考慮了生產實際中某些指標達到一定的值時有必要轉入正常服務這一客觀事實。例如在分析通信網中信息流與信道，傳送的數據和中央處理單元之間的關系時，如果信息或者數據達到的一定的數量，這時信道或數據處理單元即使處在低速服務期也必須返回正常服務。

1 模型描述

帶關閉和啟動期的休假可中止Geom/Geom/1單重工作休假排隊模型可描述如下:

到達間隔T、服務時間Sb與Sν、啟動時間U、休假時間V相互獨立分別服從參數為p，μb，μν，γ，θ的幾何分布。潛在的顧客到達發生在時隙末端(n，n)，服務的開始和結束都發生在時隙分點t=n上，啟動時間U開始和結束也只發生在時隙分點t=n處。為確定起見，假設休假的開始與結束都發生在時隙末端(n，n)上。

有兩種可能的方式從工作休假轉入正規忙期:(1)工作休假期內以速率μν完成一個服務，并且系統中有顧客等待，則中止正在進行的工作休假轉入正規忙期，若服務完成時系統中無顧客，則關閉系統。新到達的顧客不能立即接受服務，而是需經歷一個啟動期，啟動期結束后進入一個正規忙期以速率μb接受服務，正規忙期結束后進入工作休假。(2)若某次工作休假結束時系統內有顧客在場，正在進行的服務速率由μν轉換到μb，開始一個正規忙期;一次工作休假結束時系統內無顧客，也關閉系統，新到達的顧客也必須經歷一個啟動期，啟動期結束后進入正規忙期接受服務，一個正規忙期結束后進入工作休假。稱這樣的休假機制為休假可中止的工作休假策略。

根據文獻［7］，本文討論的是晚到有延遲入口的離散時間排隊模型。

其中，狀態(k，0)，k≥0表示系統處于工作休假期且系統中有k個顧客;狀態(k，1)，k≥1表示系統處于啟動期且系統中有k個顧客;狀態(0，1)表示系統處于關閉期;(k，2)，k≥1表示系統處于正規忙期且系統中有k個顧客。

的最小非負解R起著重要作用，稱為率陣，為表出R，記c=。

定理1 當c＜1時，即p＜μb，矩陣方程(1)有最小非負解

證明 由于A，B，C均為上三角陣，那么R也是上三角的，即

將R2和R代入式(1)，得到下述方程組

計算結果見a，b，c，d，f。

2 穩態隊長分布

當c＜1時，設(L+，J)表示(L，Jn)的穩態極限，平穩分布記為

定理3 c＜1時，(L+，J)的聯合概率分布為

證明 用矩陣幾何解方法(見文獻［9］)，得到

把B［R］代入上述方程中，得到方程組

取π00=K，

把(π1，0，π1，1，π1，2)和Rk1代入式(5)，得到式(4)。最后，常數因子π00=K由正規化條件π00+π01+π1(IR)－1e=1確定。

3 隊長和逗留時間的隨機分解結構

定理4 當c＜1且μν＜μb時，穩態隊長L+可分解成兩個獨立的隨機變量之和L+=L+Ld，其中L是經典無休假的Geom/Geom/1排隊中穩態下的穩態隊長且服從參數為1－c的幾何分布，由單重休假可中止的工作休假引起的附加隊長Ld服從修正的幾何分布，有概率母函數。

證明 由式(4)知，L+的概率母函數可寫成

容易驗證，γ1+γ2+γ3+γ4=1，因此Ld(z)確是一個PGF。由定理4中的分解結構，有下列均值公式

以W和W(s)表示穩態下顧客在系統中的逗留時間及其PGF。注意到對應的無休假Geom/Geom/1排隊中顧客逗留時間W0有PGF:

定理5 當c＜1且μν＜μb時，逗留時間W可分解成兩個獨立隨機變量之和:W=W0+Wd，W0是對應無休假系統中的穩態逗留時間，有上式所給的PGF;由休假可中止的工作休假引起的附加延遲有PGF:

其中，

證明 使用穩態隊長L+與逗留時間W之間的經典關系

在L+(z)的表達式

這樣得到

容易得到下列均值公式

［1］ Servi L D，Finn SG.M/M/1 Queue with Working Vacations(M/M/1/WV)［J］.Perform Evaluation，2002，50:41－52.

［2］ Li J，Tian N.Analysis of the Discrete Time Geo/Geo/1 Queue with Single Working Vacation［J］.Quality Technology and Quantitative Management，2008，5(1):77－89.

［3］ Li Jihong，Tian Naishuo.The M/M/1 Queue with Working Vacations and Vacation Interruptions［J］.Syst Sci Syst Eng，2007，16(1):121－127.

［4］ Li Jihong，Tian Naishuo，Ma Zhanyou.Performance Analysis of GI/M/1 Queue with Working Vacations and Vacation Interruption［J］.Applied Mathematical Modeling，2008，32(12):2715－2730.

［5］ 朱翼雋，石秀闖.M/G/1工作休假和休假中止排隊［J］.運籌與管理，2008，17(4):67－71.

［6］ 汪文飛，李俊平.帶單重指數工作休假和休假中斷的GI/M/1的排隊系統［J］.數學理論與應用，2009，29(3):94－97.

［7］ Hunter J J.Mathematical Technaques of Applied Probability Vol.Ⅱ:Discrete Time Models:Techniques and Applications［M］.New York:Academic Press，1983.

［8］ 田乃碩，徐秀麗，馬占友.離散時間排隊論［M］.北京:科學出版社，2008.

［9］ Neuts M.Matrix-geometric Solution Stochastic Models［M］.Baltimore:Johns Hokpins University Press，1981.