非線性熱傳導方程的Lagrange插值逼近

王天軍，賈麗蕊

(河南科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南洛陽471003)

0 前言

對線性熱傳導方程通常用分離變量法求得精確解［1－3］;文獻［4］用差分及區(qū)域分解法數(shù)值求解一維熱傳導方程;文獻［5］用半離散差分格式數(shù)值求解一維熱傳導方程。而這些問題都是Dirichlet邊界條件。實際上在科學和工程中經(jīng)常會遇到Neumann邊界條件，比如問題(1)的求解。要求得問題(1)的正確解往往是困難的。因此通常需要求它的數(shù)值解。文獻［6－7］分別給出了矩形區(qū)域上橢圓型方程Neumann邊值問題的Legendre譜方法數(shù)值求解和誤差分析。文獻［8］用Fourier變換方法求解波動方程。但遺憾的是問題(1)的數(shù)值求解目前尚未見到有關(guān)結(jié)果。本文將用Lagrange插值多項式作為基函數(shù)展開數(shù)值解，逼近有界桿上的非線性熱傳導Neumann邊值問題的正確解。利用Lagrange插值多項式的一些性質(zhì)，可以很容易地求出算法格式中的微分矩陣，為實際計算帶來極大的便利，從而達到節(jié)省工作量的目的。

1 非線性熱傳導方程的數(shù)值方法

1.1 Lagrange插值多項式的微分矩陣

令LN(x)，1≤x≤1，表示N階Legendre多項式，令x0=1，xN=1，xm(1≤m≤N1)是L'N(x)=0的根。以xm為節(jié)點的lagrange插值多項式為:

設pN(x)=umφm(x)，x∈［1，1］。對pN(x)關(guān)于x求一階導數(shù)，并令x=xk，k=0，1，2，…，N得:

這里D=(Dkm)是(N+1)(N+1)矩陣［910］，且有

進一步，再對pN(x)求二階導數(shù)，得N

1.2 非線性熱傳導方程混合問題的算法格式

為利用Legendre-Gauss-Lobatto節(jié)點為插值節(jié)點求得(1)的數(shù)值解，作變換:x=y1，問題(1)化為:

接下來用多項式:wN(x，t)=um(t)φm(x)，x∈［1，1］，逼近(6)的解。將其代入式(6)可得

等價地表示為:

記:

式(8)寫為矩陣形式為:

在任意時刻t，由式(9)得到X(t)，Y(t)，其中，M21(t)=(4a2/l2)A+B(t)，矩陣A=(akm)，B(t)= (bkm(t))都是(N1)×(N1)矩陣，其元素分別為:

2 數(shù)值結(jié)果

用格式(9)求解式(6)。在時間方向用步長為τ的Crank-Nicolson格式離散有:

這里I是(N－1)×(N－1)單位矩陣。在式(1)中取a=1，b(x，t)≡1，問題(1)的第一個方程即為著名的Fisher方程:

由文獻［11］，它的一個正確解為:

在式(6)中取l=2及:

3 結(jié)論

本文利用Legendre-Gauss-Lobatto點為插值節(jié)點的Lagrange插值多項式為基函數(shù)，構(gòu)造多項式逼近有界桿上的非線性熱傳導方程Neumann邊值問題的正確解。利用Lagrange插值多項式的性質(zhì)，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為求解所構(gòu)造多項式的系數(shù)向量的常微分方程，這樣處理簡化了非線性項的計算，在實際計算中節(jié)省大量工作;特別，解函數(shù)的二階導數(shù)所對應的微分矩陣恰好是一階導數(shù)所對應的微分矩陣的乘積，使得算法格式簡便，充分體現(xiàn)了所提算法的優(yōu)勢。這里所用方法也可用于有界區(qū)域上的其他非線性問題。

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