一種基于結構函數的系統等價簡化的方法

李 霞，侯 兵，侯雪梅

LI Xia1,HOU Bing2,HOU Xue-mei3

（1. 河南財經政法大學 統計系，鄭州 450002；2. 華北水利水電學院 數學與信息科學學院，鄭州 450011；3. 解放軍信息工程大學 理學院 電子系，鄭州 450001）

0 引言

系統是由一些基本部件組成的完成某種指定功能的整體，系統的概念是相對的，例如一個核電站可以看成一個系統，而其中的安全保護裝置看成它的一個部件，但是如果單獨研究安全保護裝置，則它又可以看成一個系統。

系統部件之間的組合形式是多種多樣的，可以是并聯、串聯或者其它一些復雜的組合形式。很多情況下，總假定系統的部件之間是相互獨立的，現實中，部件之間往往是不獨立的，而Copula作為一種刻畫隨機變量之間相依性的方法，近幾年受到許多統計學者的關注.它的出現使隨機變量之間的相依性刻畫逐漸趨于完善，Copula理論不僅可以用于概率、統計和隨機過程中，而且它在其它領域應用也非常廣泛.這里就是在新的結構函數定義[1]基礎上，將Copula方法應用到系統結構的研究當中去。

1 背景知識

對于一個系統，首先關注的是它的結構，在可靠性理論中，從0和1兩個狀態出發給出了系統結構函數的定義。

定義1.1[2]：對任意的結構向量x={x1,x2,...,xn}，其中xi表示各部件所處的狀態，取值分別為0和1，若用ξ(x)記系統的狀態，則它是{0,1}n→{0,1}上的一個函數，并稱為系統的結構函數.

由定義，系統的結構函數ξ(x)是連接系統狀態和部件狀態的一個函數.在定義中，只涉及到正常和失效兩種狀態，失效是一種最簡單的狀態。若系統失效，則系統的可靠度以及累積失效率都為0；但若系統正常，此時只知道系統的狀態為1，而可靠度以及累積失效率這些表征系統的量卻無從知曉，為了全面描述系統所處的狀態，文獻[1]中從累積失效率出發引出了系統結構函數的另一種定義。

定義1.2[1]：若一個系統在 時刻的累積失效率λ(t)可以用

表示出來，則這樣的系統稱為阿基米德單調結構系統，其中Λ(λ1(t),λ2(t),...,λn(t))稱為系統的結構函數，λi(t),i=1,2,...,n表示各部件在t時刻的累積失效率；θ(t)是[0,+∞)→(-∞,+∞)上的連續減函數，稱為結構函數的生成元；θ[-1](t)為θ(t)的偽-逆，θ0(t)是[0,+∞]→[0,+∞)上的連續增函數，并稱θ0(t)為θ(t)的伴隨函數。

由定義，系統的結構函數Λ(λ1(t),λ2(t),...,λn(t))是連接部件的累積失效率和系統累積失效率的一個函數，一個系統或部件在不同時刻的累積失效率一般不同，因此，可以用累積失效率描述系統或部件在不同時刻所處的狀態，而Λ(λ1(t),λ2(t),...,λn(t))則可以認為是連接部件狀態和系統狀態的一個函數，系統不同，其連接函數肯定不同，定義中給出了一種特殊的連接形式，并把可以用這種形式來連接的系統稱為阿基米德單調結構系統。

copula的概念是sklar在1959年回答M.Frechet關于多維分布函數和低維邊緣之間關系的問題時首次被引入的.

何謂copula？ copula是連接多維分布函數和一維邊緣分布函數的函數。換句話說，copula是一個多維分布函數，并且其邊緣分布函數是服從(0,1)區間上的均勻分布的。

定義1.3[3]：copula是一個[0,1]2→[0,1]的函數，且滿足

1）C(u,0)=C(0,v)=0，C(u,1)=u，C(1,v)=v

可以驗證copula是一個定義在[0,1]×[0,1]上的二維分布函數，其邊緣分布是[0,1]上的均勻分布。對于多維的可類似推廣得到。

1941年，Widder給出了完全單調函數的定義.

定義1.4[4]：函數f(x)在它的定義域中是完全單調的，如果它滿足：

1）f(x)的任意階導數都存在；

2）f(x)的所有階導數符號依次發生改變.

在此定義基礎上，Schweizer and Sklar引出了一個生成元φ(t)能生成任意維Copula的充分必要條件。

定理1.1[5]：設φ是[0,1]→[0,+∞)上連續嚴格降函數，即φ(0)=+∞，φ(1)=0，用φ-1表示φ的逆函數，若Cn=φ-1(φ(u1)+φ(u2)+...+φ(un))是[0,1]n→[0,1]上函數，則Cn對任意的n≥2都為Copula的充分必要條件是φ-1在 [0,+∞]上是完全單調的。

實際中所用到的Copula維數一般都是確定的，因此下面定理更為常用。

定理1.2[6]：設φ(t)是[0,1]→[0,+∞)上連續降函數，且φ(1)=0，用φ[-1](t)表示φ(t)的偽-逆函數，若φ[-1](t)的m階導數存在，且符號發生改變，即對所有k=0,1,2,...,m，則此時稱φ[-1](t)在[0,+∞)是m-單調的，且Cn=φ[-1](φ(u1)+φ(u2)+...+φ(un))對于所有2≤n≤m是一個Copula。

定理中，由φ[-1](t)所生成的CopulaCn=φ[-1](φ(u1)+φ(u2)+...+φ(un))被稱為阿基米德Copula.這里只給出二維阿基米德Copula的定義。

定義1.5[7]：設φ(t)是[0,1]→[0,+∞]上的連續、嚴格降的凸函數，且φ(t)=0，設φ[-1](t)是φ(t)的偽-逆函數，則C(u,v)=φ[-1](φ(u)+φ(v))被稱為阿基米德Copula。其中φ(t)被稱為Copula C的生成元，特殊地，若φ(0)=∞，則φ(t)稱為嚴格生成元，這種情況下φ[-1](t)=φ-1(t)，且C(u,v)=φ[-1](φ(u)+φ(v))被稱為嚴格的阿基米德Copula。

本文利用定義1.2中提出的結構函數的定義并結合copula的有關性質給出了一種系統等價簡化的方法，為系統的研究提供了基礎。

2 主要結果

定義2.1：設Λ1(t)、Λ2(t)分別表示系統L1和L2在 t時刻的累積失效率，若對任意t∈[a,b]，其中0≤a〈b≤+∞，都有Λ1(t)=Λ2(t)，則稱系統L1和L2在時刻a與時刻b之間是等價的.

定理2.1：設系統L是一個阿基米德單調結構系統，即系統在t時刻的累積失效率為λ(t)=θ[-1](θοθ0(λ1(t))+θοθ0(λ2(t))+θοθ0(λn(t)))，假設θ0(t)是[0,+∞)→[0,+∞)上嚴格增函數，1）設f(t)=-1n(1-t)，若(θοf(t))[-1]在[0,+∞)上是n-單調的，θ(t)是 [0,+∞)→[0,+∞)上單調減函數，且θ(+∞)=0，則此系統可等價為一個n個部件所組成的并聯系統；2）設g(t)=-1n(t)，若(-θοg(t))[-1]在[0,+∞)上是n-單調的，θ(t)是[0,+∞)→(0,+∞]上單調減函數，且θ(0)=0，則此系統可等價為一個n個部件所組成的串聯系統.

證明：設系統中各部件的壽命分布函數分別為Fi(t)=1-e-λi(t)，且令λ'i(t)=θ0(λi(t))，F'i(t)=-1-e-λi'(t)=1-e-θ0(λi(t))=1-e-θ0(-1n(1-Fi(t)))，這里i=1,2,...,n。由于θ0(t)是[0,+∞)→[0,+∞)上的嚴格增函數，則Fi'(0)=0，Fi'(+∞)=1，且Fi'(t)在[0,1]上是非降函數，因此Fi'(t)是一個分布函數.這樣系統的結構函數可以改寫為λ(t)=θ[-1](θλi'(t))+...+θ(λn'(t)))（*）

1）由已知θ(t)是[0,+∞)→[0,+∞)上單調減函數，且θ(+∞)=0，令φ(t)=θ(-1n(1-t))，則φ(t)是[0,1]→[0,+∞)上減函數，且φ(1)=φ(+∞)=0，由θ(t)=φ(1-e-1)得θ[-1](t)=-1n(1-φ[-1](t))。把θ(t)=φ(1-e-1)以及θ[-1](t)=-1n(1-φ[-1](t))代入（*）式得

由已知(θοf(t))[-1]，其中f(t)=-1n(1-t)是n-單調的，故φ[-1](t)是n-單調的，又由1中定理1.1可知φ[-1](φF1'(t))+φ(F2'(t))+...+φ(Fn'(t)))可構造出一個n維Copula Cn，則λ(t)=-1n(1-Cn(F1'(t),F2'(t)+...+Fn'(t)))。

現給出另一系統L'，假若此系統由n個部件并聯而成，n個部件的壽命分別用Xi表示，壽命分布函數分別用F'i(t)表示，i=1,2,...,n，若n個部件壽命之間具有Copula Cn，則系統L'在t時刻累積失效率為：

故系統L和系統L'等價，其中L'是部件壽命之間具有Cn的并聯系統.

2）θ(t)是[0,+∞)→(-∞,0]上單調減函數且θ(0)=0，令φ(t)=-θ(-1nt)，則φ(t)是[0,1]→[0,+∞]上減函數，且φ(t)=0，由θ(t)=-φ(e-t)得θ[-1](t)=-1nφ[-1](-t)，把θ(t)=-φ(e-t)以及θ[-1](t)=-1nφ[-1](-t)代入（*）式得

由已知(-θοg(t))-1，其中g(t)=-1n(t)是n-單調的，故θ[-1](t)是n-單調的。又由1中定理1.1可知φ[-1](φF1'(t))+φ(F2'(t))+...+φ(Fn'(t)))可構造出一個n維Copula Cn，λ(t)=-1nCn(1-F1'(t),1-F2'(t)...1-Fn'(t))

現給出另一系統L'，此系統由n個部件串聯而成，且n個部件的壽命分別用Xi表示，壽命分布函數分別用Fi'(t)表示，i=1,2,...,n，若n個部件壽命之間具有（表示Cn的生存Copula[7]），則系統 L'在t時刻累積失效率為：

故系統L和系統L'等價，其中L'是n個部件串聯所組成的系統，且部件壽命之間具有其中Cn是一個n-維Copula.

3 應用

命題3.1：由nm個獨立部件所構成的串-并聯系統L中，若每個并聯子系統中部件個數都是n，且m個子系統中所有部件的壽命分布分別對應相同，即Fij(t)=Fj(t)，i=1,2,...,m；i=1,2,...,n現驗證此類系統在某種情況下可等價為一個并聯系統.

證明：由于系統L是阿基米德單調結構系統，即系統L在t時刻累積失效率為：

這里不妨設m=2，下面驗證ξ(t)=1-(1-e-t)2是n-單調的。

由ξ(t)=1-(1-e-t)2=2e-t-e-2t，則ξ'(t)=-2e-t(1-e-t)，ξ''(t)=2e-t(1-2e-t) ，ξ'''(t)=-2e-t(1-22e-t),… ,ξ(n)(t)=(-1)n2e-t(1-2n-1e-t)。

若要保證ξ(t)是n-單調的，需1-2n-1e-t≥0，即t≥(n-1)1n2。故當t∈[(n-1)1n2,+∞]時，由2n個獨立部件所構成的串-并聯系統和另一并聯系統等價。

說明：

1）在串-并聯系統中，每個并聯子系統部件個數都是n，且兩個子系統中所有部件壽命分布分別對應相同，另外，n個部件之間是相互獨立的.

2）等價后的并聯系統中，每個部件壽命的分布函數和串-并聯系統中部件的壽命分布函數存在關系并且并聯系統中， n個部件壽命之間具有其中Cn是由所生成的 維Copula。

利用同樣方法，可以驗證m取其它值的情況.

命題3.2：由nm個獨立部件所構成的并-串聯系統L中，若每個串聯子系統中部件個數都是n，且m個子系統中所有部件的壽命分布分別對應相同，即Fij(t)=Fj(t)，i=1,2,...,m，j=1,2,...,n，現驗證此類系統在某種情況下可等價為一個串聯系統.

解：由于系統L是阿基米德單調結構系統[1]，即系統L在t時刻累積失效率為：

根據命題3.1的討論結果，若m=2，且t∈[(n-1)1n2,+∞]時，φ[-1](t)=1-(1-e-t)2是n-單調的，故當t∈[(n-1)1n2,+∞]時，由2n個獨立部件所構成的并-串聯系統可等價為一并聯系統。

說明：

1）在并-串聯系統中，每個串聯子系統部件個數都是n，且兩個子系統中所有部件壽命分布分別對應相同，另外，n個部件之間是相互獨立的.

2）等價后所成的串聯系統中，每個部件的壽命分布函數和并-串聯系統中部件的壽命分布函數存在關系并且串聯系統中，n個部件壽命之間具有其中Cn是由所生成的n維Copula。

利用定理2.1還可以把部件之間不獨立的一些復雜系統進行結構簡化.

顯然(θ(-1n(1-t)))[-1]不僅是n-單調，而且是完全單調的，故此系統可等價為一并聯系統，如圖所示：

其中圖中等價后所得的并聯系統中，每個部件的壽命分布函數和并-串聯系統中每個部件壽命分布函數存在關系i=1,2,...,n，且n個部件壽命之間具有Copula Cn，其中Cn是由所生成的 維Copula。

利用同樣的方法可以把更多的阿基米德單調結構系統等價為結構較為簡單的系統。通過系統的結構函數直接可以把系統簡化，這一點充分體現了結構函數構造方法的優越性。

等價系統的尋找一直是一件比較困難的事情，文中提出的方法通過具體例子展示了其可行性，但是由于目前對阿基米德單調結構系統的研究剛剛開始，還沒能夠更多的尋找出屬于這種特殊系統的系統類型，這一點在很大程度上限制了等價方法的應用.因此，尋找更多的屬于這種系統的系統類型是今后的主要工作。

[1] 李霞,侯兵.系統結構函數的一種新的構造方法[J].華北水利水電學院學報,2009(3).

[2] 曹晉華,程侃.可靠性數學引論[M].北京：高等教育出版社,2006,143-144

[3] Sklar,A."Functions de repartition an dimensions et leurs marges",Publ.Inst.Statist.Univ.Paris 8,229-231,1959.

[4] Widder,D.V.The Laplace Transform(Princeton University Press,Princeton) [M].1941.

[5] Schweizer,B.and Sklar,A.Probabilistic Metric Spaces (North-Holland,New York)[M].1983.

[6] Feller,W.An Introduction to Probability Theory and Its Applications[M]Vol.Ⅱ,2nd Ed.(John Wiley and Sons,New York),1971.

[7] Roger B.Nelsen. An Introduction to Copulas [M].1998.