基于最小方差模型的自適應控制器設計研究

覃貴禮，潘澤鍇

QIN Gui-li,PAN Ze-Kai

（廣西職業技術學院，南寧 530226）

0 引言

在工業過程控制中，采用的自適應校正調節器用是一個參數緩慢變化的過程，在原理上是按系統輸出的最小方差自校正控制，被調量通常指受隨機擾動影響過程的輸出(如紙張單位面積的重量、軋機輸出的鋼板厚度、反應器工值的出口溫度等)，這些過程的輸出都要求對其定值的波動盡可能小，就是說，其控制目標是使輸出的穩態方差盡可能小，而最小方差控制是按最小輸出方差為目標設計的自校正控制律。它能有效地抑制隨機干擾，算法簡單，易于實現，在實際工業過程中具有重要的應用。

1 最小方差控制模型[1]

在自動控制范疇里，最小方差控制的基本思想是先假定u(t)=0，并根據t時刻數據，即已經得到的輸出信息Yt=(y(0),y(1),...,y(t))來預報(t+k)時刻的輸出Y'=(t=k|Yt)，以預報隨機擾動ζ(t+k)對輸出的影響。由于有延遲k，t時刻的控制輸入u(t)，以補償對輸出的影響，算出的u(t)即為最小方差控制律。通過不斷地進行采樣、預報和控制，最后達到輸出量的穩態值方差為最小。

假設被控對象(過程)模型為受控的自回歸滑動平均差分方程模型(CARMA模型)，下式差分方程可表示單輸入單輸出對象：

式(1)可以用另一種形式變換為：

在式(2)中參數多項式包括：v(z-1)、H(z-1)、L(z-1)三項，ma、mb、mc依次是它們的階次。其中，上式中的包涵有輸入、輸出的白噪聲序列：{u(t)}、{y(t)}、{w(t)}，p在實際應用中是采用周期的整數倍，這里用作對象延遲。

被控對象單輸入單輸出的差分方程情形仍可用式(2)表示，并可改寫成

圖1 差分變量對象之間的關系

基于以上公式，針對最小方差控制方法的求解過程，被控對象(過程)作下述假定[2]：

1）{w(t)}是一個獨立的隨機序列，它的方差為δ2，均值為0；

2）隨機擾動過程ζ(t)=L(z-1){w(t)}/v(z-1) ，v(z-1)、H(z-1)為穩定多項式，它們和F(z-1)的所有零點都分布在單位圓之內，這樣可以保證ζ(t)為平穩隨機過程。

3）在自校正過程種系統參數是不變的或稱“凍結的”。

在假定基礎上，根據式(2)可知，輸出u(t)、輸出y(t)和w(t)之間關系，可用圖1來表示。

2 最小方差控制器設計

根據被控對象的差分方程式(2)，在推導最小方差預報律時有下列的假設[1,3]：

1）被預報的過程，即由隨機擾動說產生的輸出是一個具有有理譜密度的平穩隨機過程；

2）最優的性能指標是穩態預報誤差的方差最小；

3）預報律應當是線性的和物理上可以實現的，即預報律應當是有y(t),y(t+1),… 的線性函數。

在假設的前提下，可以把最小預報誤差的方差改寫為[4,5]：

由形成濾波器L(z-1)/v(z-1)可得到ζ(t+k)和w(t+k)的關系式：

若最小方差預報值ζ'(t+k|t)給定為：ζ'(t+k|t)=ζ2(t+k|t)，把Diophantine方程L(z-1)=v(z-1)D(z-1)+z-1E(z-1))代入式(6)，令ζ'(t+k|t)=ζ(t+k)-ζ'(t+k|t)為y(t)預報誤差，可知：

在輸出函數為y(t+k)，給定值為yr(t)的情況下，最小方差控制的目標就是使兩者偏差的方差是最小的。在公式表現出來就是：

若假設yr(t)=0，則上式變成

而式(8)中的y(t+k)由式(5)表示，并且考慮到式(6)、(7)的關系，可以得到

考慮到上式右邊括號中第一部分和第二、第三部分是無關的，并且w(.)的均值為零，因而上式可進一步改寫為

考慮到上式右邊第一項在t時刻是未知的不可控項，因此，要使價值函數R為最小，只有使上式右邊的第二項為零，可得

此即為最小方差控制律。由價值函數R關系式可知，當最小方差控制達到時，輸出的最小方差E{y2(t+k)}和輸出誤差y(t+k)分別為

式(10)中δ2為白噪聲序列w(.)的方差。

由此最小方差控制所構成的控制系統如圖2所示。

圖2 最小方差控制系統

3 模型仿真研究

考慮控制系統非線性不確定隨機性,仿真對比最小方差模塊對整個控制系統輸出特性的影響，取受控系統為[6]：

w(t)為高斯白噪聲序列N(0,1)，(即均值為0，方差δ2=1),設延遲k=1。D(z-1)的階次為k-1=0，所以D(z-1)，Diophantine方程C(z-1)=A(z-1)D(z-1)+z-1E(z-1)代入具體數據得：

根據自校正調節器的最小方差控制策略理論，對上述受控方程的最小方差控制系統進行仿真[7]，如圖3所示。

圖3 最小方差控制系統仿真

在這個系統中，yr(t)的以正弦波形式輸入，幅值調節為3，w(t)為帶限白噪聲。在時間參數t=0～10s時，y(t)和u(t)都是以示波器形式輸出。采用最小方差算法，控制效果如圖4所示。如果僅用對象和變量的關系，即是在仿真中缺少最小方差控制Discrete Filter模塊，而輸入的方式和參數都沒有發生改變，在相同的時間范圍內，y(t)和u(t)都是以示波器形式輸出，控制效果如圖5所示。

圖4 含最小方差控制模塊仿真輸出圖

比較圖4和圖5同樣的y(t)輸出可以看出，圖4的曲線變換范圍大約為[-4.27.2]，圖5的曲線變化約為[-1117]。僅采取對象和變量的關系控制的系統振蕩很大，而加入最小方差控制環節后系統的穩定性明顯的增強。

圖5 缺少最小方差控制仿真輸出圖

由仿真結果可以看出，本文由原理推導出來的方法應用是有效地，具有較快的響應速度。隨著自適應機理的建立，改變參數一般化的最小方差控制系統，顯示出較好的跟隨性；再者，改變輸入方式，可以得出不同的輸出效果，使系統具有相關領域的兼容性。

4 結束語

最小方差控制是基于最優化原理，即基于某種模型通過使某一目標函數的最優化而設計出所需要的控制作用的控制算法。在本文的敘述，理論分析和仿真結果都表明了所提出最小方差自校正控制方法是簡單易行且有效的，它在自校正控制器應用具有更高的控制精度、更快的響應速度、更好的魯棒性，且適用于離散控制對象。

[1] 謝新民,丁鋒.自適應控制系統[M].北京：清華大學出版社,2002.

[2] 沈清波,于德勇.基于變神經網絡的非線性最小方差預測控制器[J].系統工程與電子技術,2002,3.

[3] 韓曾晉.自適應控制[M].北京：清華大學出版社,1995.

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[5] 張立群,邵惠鶴.基于最小方差控制的閉環辨識信號設計[J].上海交通大學學報,2004,4.

[6] 劉叔軍,蓋曉華,樊京,崔世林.Matlab7·0控制系統應用與實例[M].北京：機械工業出版社,2006.

[7] 張森,張正亮.MATLAB仿真技術與實例應用教程[M].北京：機械工業出版社,2004.