沃利斯(Wallis)公式及其應用

王振芳，陳慧琴

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009)

在積分學中我們經常會遇到如下的沃利斯(Wallis)公式[1-3]:

或

沃利斯(Wallis)公式揭示了π與整數之間的一種很不尋常的關系。但在實際學習中很少注意到沃利斯(Wallis)公式，更不會關注它的應用。實際上，沃利斯(Wallis)公式有許多作用，經常有以下幾方面的應用。

1 應用于極限計算中

由于沃利斯(Wallis)公式與極限有關，所以有些極限的計算可以通過沃利斯(Wallis)公式很容易計算出來。

解法2 利用沃利斯(Wallis)公式(2)，可得

從上面兩種解法可以看出，解法一需要構造合適的數列后，然后再用迫斂性。而解法二轉化為公式形式后直接應用公式便可得，從而使得極限計算簡化。

2 應用于積分計算中

對于一些用積分法不易求出原函數的積分，而利用沃利斯(Wallis)公式卻很容易解決問題。

3 應用于數項級數收斂的判別

針對一些正項級數收斂性的判別，利用沃利斯(Wallis)公式會起到事半功倍的效果。

例3 判別正項級數

的斂散性。

解 由沃利斯(Wallis)公式(2)有

沃利斯(Wallis)公式除了以上的應用外，還有其他一些應用，這里不再列舉說明[4－5]。但要利用沃利斯(Wallis)公式時，適用所要處理的問題中含有形如的項。如果含有這些式子，利用沃利斯(Wallis)公式，可以使得問題簡化，起到很好的作用。

[1]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社，1993.

[2]裘兆泰，王承國，章仰文.數學分析學習指導[M].北京:科學出版社，2004.

[3]劉玉蓮，楊奎元，劉偉，等.數學分析講義學習輔導書(上冊)[M].北京:高等教育出版社，1987.

[4]陳慧琴，李秀蘭.論積分的可減性[J].山西大同大學學報:自然科學版，2009，25(5):10－12.

[5]唐雄，陳瑩.計算含參量反常積分的一些特殊方法[J].山西大同大學學報:自然科學版，2008，24(2):8－10.