一類二階中立型動力方程振動性分析

王 權(quán)

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

時標(biāo)是測度鏈的一種特殊情形，我們通常用符號T來表示一個時標(biāo)，如果T是實(shí)數(shù)集R上的一個非空的閉子集，我們稱T是一個時標(biāo)。

時標(biāo)上動力方程振動理論是動力方程定性理論的一個重要分支，近年來受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，見參考文獻(xiàn)[1-5]，關(guān)于時標(biāo)的基本理論可見文獻(xiàn)[6-7]，在文獻(xiàn)[8]中，趙建軍，趙愛民討論了時標(biāo)上二階中立型動力方程

的振動性，得到了方程所有解振動的充分條件。本文主要基于現(xiàn)有文獻(xiàn)[8]基礎(chǔ)上討論時標(biāo)上二階中立型動力方程的振動性并進(jìn)行分析證明，從而推廣現(xiàn)有的結(jié)論。

本文討論的問題,需要一些特定的背景,為此給出如下一些定義：

定義 1 任一時標(biāo) T，對 t∈T,設(shè) inf?:=supT,定義前跳算子 σ:T→T 為 σ(t)=inf{τ∈T:τ＞t}對 t∈T,設(shè) sup?:=infT,定義后跳算子 ρ∶T→T 為 ρ(t)=sup{τ∈T:τ＜t}。當(dāng) σ(t)=t時，稱 t是右稠密的；當(dāng) σ(t)＞t時，稱t是右分散的。同樣，當(dāng)ρ(t)=t,ρ(t)＜t時，分別稱t是左稠密的和左分散的。如果T有右分散那的最小值點(diǎn)m,則Tk＝T{m}。否則，Tk＝T。 如果T存在左分散的最大值點(diǎn)M，則Tk＝T{M}。否則，Tk＝T。

定義2 定義μ(t):=σ(t)-t為時標(biāo)上的鏈函數(shù)。對此我們還可以從微分方程的未知函數(shù)定義域R和差分方程未知函數(shù)定義域Z來理解，當(dāng)T＝R時，μ(t)=0,σ(t)=t，ρ(t)=t，定義域內(nèi)每一點(diǎn)既是左稠密點(diǎn)又是右稠密點(diǎn)，即稠密點(diǎn)；當(dāng)T＝Z時，μ(t)=1,σ(t)=t＋1，ρ(t)=t－1，定義域內(nèi)每一個點(diǎn)都既是左分散點(diǎn)又是右分散點(diǎn)，即分散點(diǎn)。

定義3 如果a，b∈T，則我們定義[a,b]={t∈T∶a≤t≤b}。如果 b是左稠密點(diǎn)，則有[a,b]k=[a,b]，如果是左分散點(diǎn)，則有[a,b]k=[a,b)。

定義4 函數(shù)f:T→R,t∈T(如果t=supT,則認(rèn)為t不是左分散的)，如果對于?ε＞0,存在t的某個領(lǐng)域U,使得對于所有的s∈U,有

則稱函數(shù)f在點(diǎn)t處是△可導(dǎo)的，記作f△(t)(如果極限存在)。

定義5 函數(shù)f:T→R,t∈TK,如果有實(shí)數(shù)f▽(t),使得對?ε＞0,存在 t的一個開領(lǐng)域 U(即 U＝(t－δ,tδ)∩T, δ＞0 為某一實(shí)數(shù))，對所有的 s∈U,都有

成立，則稱f▽(t)為f在t點(diǎn)的▽－導(dǎo)數(shù)。

定義6 函數(shù)f是右稠密連續(xù)的是指f在右稠密點(diǎn)連續(xù)且在左稠密點(diǎn)左極限存在。也稱f為連續(xù)的。記為f∈Crd(T,R)。

如果函數(shù)f是右稠密連續(xù)的，則存在一個函數(shù)F(t)滿足 F▽(t)=f(t),這時，有

考慮時間尺度上的二階中立型動力方程

解的振動性，其中 pi∈Crd(T,R＋),τ,δi∈(0,∞)，使得對所有 t∈T，有 t－τ,t－δi∈T，fi∈C(T×R,R)，i＝1,2,…，n，并得到方程所有解振動的充分條件，推廣了文獻(xiàn)[8]中的相關(guān)結(jié)果。

我們先給出所需條件：

(H1)存在 P∈(0,1)，使對充分大的 t∈T，成立。

(H2)對 i＝ 1，2，…，n，存在∈(CR,R)，qi∈Crd(T,R＋),單調(diào)不減，使當(dāng) u≠0 時有(u)＞0 且

相關(guān)結(jié)果及其證明

引理 1 設(shè)(H1)，(H2)成立，δi＞τ，i＝1，2，…，n。如果

且

此引理的證明在文獻(xiàn)[8]已有詳細(xì)描述，這里略過。

引理 2 設(shè)(H1)，(H2)及(3)成立，δi＞τ，i＝1，2，…，n。如果

證明過程與引理1類似，我們指引用其相關(guān)描述方法。

證明 假設(shè)(1)存在最終負(fù)解x(t)，則存在t0＞0，使得對于任意的t≥t0時令通過方程(1)有且 y△△(t)最終不恒為零，其中于是 y△(t)單調(diào)不增。

首先假設(shè)

否則存在 t1≥t0，使 y△(t1)＞0，從而有

y△(t)≤y△(t1)，t∈[t1,∞)。

則有

與(6)矛盾，故(5)成立。同樣假設(shè)

由(5)知 y(t)在[t0＋δ,∞)上是單調(diào)遞減的。如果(7)不成立，則存在 t1∈(t0＋δ,∞)，使 y(t1)＜0，從而，當(dāng) t≥t1時有

從而由方程(1)，當(dāng) t≥t2＝t1＋δ時，有

這樣推導(dǎo)出

與條件(3)矛盾，故(7)成立。 并且，當(dāng)t＞t0時有

還是由方程(1)知，當(dāng) t＞t0＋δ時，有

從t到∞積分，可得到

再結(jié)合f的單調(diào)性，就有

令 z(t)=-P－1y(t)，則 z(t)＜0，且滿足

注意到z△(t)≥0且F(u)關(guān)于u單調(diào)不減，由△導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t有

從而有

對于 T＞t1≥t0+δ由(8)與條件(2)可以得到

同時利用條件(3)我們還可以得到

可以看到(9)和(10)矛盾，也就是最初的假設(shè)方程(1)存在最終負(fù)解不成立，引理證畢.

從引理1和引理2我們可以推導(dǎo)出

定理 設(shè)(H1)，(H2)及(3)成立，δi＞τ，i＝1，2，…，n。如果有

那么方程(1)所有解振動。

將以上所討論的結(jié)果加以推廣可得到以下結(jié)論：

對于如下時標(biāo)上二階中立型動力方程：

其中，pi∈Crd(T,R＋)，δi∈(0,∞)，τ(t)∈C1(0,∞)且存在點(diǎn) tz∈T 使得在(tz,∞)上 τ'(t)＜1，對所有 t∈T 有

t－τ(t),t－δi∈T，fi∈C(T×R,R)，i＝1,2,…,n。

當(dāng)以下3個條件：

(H1)存在 p∈(0,1)，使對充分大的 t∈T，pi(t)≤P成立；

(H2)對 i＝1，2，…，n，存在∈C(R,R)，qi∈Crd(T,R＋)，單調(diào)不減，使當(dāng) u≠0 時有 u(u)＞0 且fi(t,μ)/(u)≥qi(t)；

(H3)假設(shè)(H1)，(H2)成立，當(dāng) δi＞τ(t)，i＝1，2，…，n時，有成立時，如果則方程(1)的所有解振動。此結(jié)論推廣了文獻(xiàn)[8]中的定理。

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