火災(zāi)下鋼筋混凝土構(gòu)件的彈塑性本構(gòu)模型

蘇 娟 王振清 徐 輝 白麗麗

（哈爾濱工程大學(xué)建筑工程學(xué)院1） 哈爾濱 150001）

（海洋石油工程股份有限公司2） 天津 300451） （煙臺(tái)南山學(xué)院3） 煙臺(tái) 265713）

0 引 言

建筑結(jié)構(gòu)在正常服役期內(nèi)遭受實(shí)際火災(zāi)時(shí)，溫度的升高使截面產(chǎn)生不均勻的溫度場(chǎng)，進(jìn)而導(dǎo)致材料性能的嚴(yán)重劣化以及應(yīng)力、內(nèi)力的劇烈重分布，因而其結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析可以歸結(jié)為非線性彈塑性問(wèn)題.國(guó)內(nèi)外幾乎都采用由經(jīng)典的流動(dòng)法則理論建立的應(yīng)力－應(yīng)變本構(gòu)模型對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分析［1－3］.但是在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，由溫度引起的熱應(yīng)力、塑性流動(dòng)以及隨等效應(yīng)變和溫度變化的屈服準(zhǔn)則耦合在一起，采用經(jīng)典的本構(gòu)模型的分析結(jié)果與構(gòu)件在實(shí)際火災(zāi)中的表現(xiàn)有一定差距.因此，本文結(jié)合文獻(xiàn)［4］提出的彈塑性模型，應(yīng)用 流動(dòng)理論，在屈服函數(shù)中考慮了塑性等效應(yīng)變與溫度的耦合作用，從而導(dǎo)出了高溫下鋼筋混凝土構(gòu)件材料彈塑性增量本構(gòu)模型.在此基礎(chǔ)上，基于非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)原理，采用有限元對(duì)該本構(gòu)模型進(jìn)行了分析計(jì)算，數(shù)值結(jié)果與現(xiàn)有的試驗(yàn)?zāi)Ｐ突疚呛希瑸殇摻罨炷两Y(jié)構(gòu)在高溫下耐火性能分析提供了依據(jù).

1 本構(gòu)模型

由于溫度的影響，結(jié)構(gòu)材料的彈性模量、泊松比、屈服極限、極限強(qiáng)度等都是溫度T的函數(shù).設(shè)給定溫度場(chǎng) T（xi，yi，t）.xi，yi為位置坐標(biāo)；t為時(shí)間.采用彈塑性模型，則總應(yīng)變?yōu)?/p>

式中：ε，εe，εp，εT分別為結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變張量、彈性應(yīng)變張量、塑性應(yīng)變張量和溫度應(yīng)變張量.應(yīng)力張量σ與彈性應(yīng)變張量εe之間滿足Hooke定律

式中：H（T）為四階彈性剛度張量，表達(dá)式如下

其中：G（T）為剪切模量；K（T）為體積模量；δ為二階Kronecker delta單位張量為特殊等同張量，定義為

式（2）對(duì)“類時(shí)間參數(shù)”求導(dǎo)有增量表達(dá)式

溫度變形張量為

式中：α（T）為熱膨脹系數(shù)；T，T0為瞬時(shí)溫度與初始溫度；I為二階單位張量.溫度變形張量的增量形式

在考慮溫度影響的情況時(shí)，由于材料的屈服強(qiáng)度一般是溫度的函數(shù)，因此彈塑性材料的屈服準(zhǔn)則中的屈服函數(shù)應(yīng)當(dāng)看作溫度T、各向同性硬化系數(shù)β和屈服強(qiáng)度張量σY的函數(shù).本文假設(shè)材料塑性服從混合硬化狀態(tài)（如圖1所示）的情形，由文獻(xiàn)［5］可知考慮溫度影響和不考慮溫度影響的后繼屈服面在形式上是相似的，則由J2流動(dòng)理論可知材料的屈服條件的為

式中：σY0，為初始屈服強(qiáng)度和等效塑性應(yīng)變；γ∈［0，1］為權(quán)重因數(shù)；L為四階硬化系數(shù)張量，見(jiàn)圖2.

圖1 兩種強(qiáng)化模型示意圖

圖2 單向拉伸情況的彈塑性硬化增量

各向同性硬化系數(shù)增量dβ為

由式（8）可知“一致性條件”如下

塑性應(yīng)變張量變形率dεP可由V.Mises流動(dòng)法則得出

將式（13）～（17）代入式（12）可得正交流動(dòng)因子dλ

將式（17）、（18）代入式（5）可得火災(zāi)作用下鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)材料的彈塑性本構(gòu)方程為

其中四階彈塑性矩陣Hep和初始應(yīng)力dσ0為

2 本構(gòu)模型的求解方法

以dε和dT為主要變量進(jìn)行迭代，由每一增量步或每次迭代求得應(yīng)力增量dσ，決定新的彈塑性狀態(tài)的基本步驟.

步驟1 利用幾何關(guān)系計(jì)算應(yīng)變?cè)隽浚ɑ蚱湫拚浚?/p>

步驟2 按彈性關(guān)系計(jì)算應(yīng)力增量的預(yù)測(cè)值以及應(yīng)力的預(yù)測(cè)值

步驟3 按單元內(nèi)各個(gè)積分點(diǎn)計(jì)算H（T）的預(yù)測(cè)值.

假設(shè)在升溫過(guò)程中應(yīng)力、應(yīng)變按比例變化，計(jì)算屈服函數(shù)值f（T＋ΔTσ，Tβ，TσY），分3種情況計(jì)算比例因子m［6］.

步驟3.1 若f（T＋ΔTσ，Tβ，TσY）≤0，則該積分點(diǎn)為彈性加載，或由塑性按彈性卸載，比例因子m＝1；

步驟3.2 若 f（T＋ΔTσ，Tβ，TσY）＞0 且f（Tσ，Tβ，TσY）＜0，則該積分點(diǎn)為由彈性進(jìn)入塑性的過(guò)渡情況，應(yīng)由f（Tσ＋mΔσ，Tβ，TσY）＝0計(jì)算比例因子m.此時(shí)對(duì)應(yīng)的溫度為應(yīng)力達(dá)到屈服面的屈服溫度；

步驟3.3 若 f（T＋ΔTσ，Tβ，TσY）＞0 且f（Tσ，Tβ，TσY）＝0，則該積分點(diǎn)為塑性繼續(xù)加載，這時(shí)m＝0.

步驟4 對(duì)于步驟3.2、步驟3.3兩種情況，均有對(duì)應(yīng)于彈塑性部分的應(yīng)變?cè)隽?/p>

通過(guò)對(duì)彈塑性本構(gòu)方程進(jìn)行積分，最終可以得到本步應(yīng)力增量Δσ

則按彈性關(guān)系計(jì)算應(yīng)力增量的預(yù)測(cè)值以及應(yīng)力的預(yù)測(cè)值

式中：T＋ΔTσ，T＋ΔTH（T）分別為 T＋ΔT 溫度下的應(yīng)力與彈性剛度張量；Tσ，Tβ，TσY分別為T 溫度下的應(yīng)力、各向同性硬化系數(shù)和屈服強(qiáng)度張量.

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 材料的力學(xué)性能

由于溫度的影響，結(jié)構(gòu)材料的彈性模量、泊松比、熱膨脹系數(shù)、屈服極限、極限強(qiáng)度等都是溫度T的函數(shù)，本文選用文獻(xiàn)［7］中相關(guān)的材料高溫力學(xué)性能.

3.2 算例

根據(jù)本文所提的基于塑性力學(xué)用張量表示的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)材料的彈塑性本構(gòu)模型，采用了一類無(wú)條件穩(wěn)定、收斂速度有保證的非線性有限元來(lái)實(shí)現(xiàn)算法，編制了相應(yīng)的程序.以C30混凝土立方體和HRB335鋼筋為例對(duì)該模型進(jìn)行了數(shù)值模擬［8］，并與其他學(xué)者所提及的基于試驗(yàn)的本構(gòu)模型進(jìn)行了比較（如圖3、圖4）.比較發(fā)現(xiàn)本模型的結(jié)果與各經(jīng)驗(yàn)公式趨勢(shì)一致，驗(yàn)證了模型的正確性和有效性.

4 結(jié) 論

實(shí)際結(jié)構(gòu)中，由溫度引起的熱應(yīng)力、塑性流動(dòng)以及隨等效應(yīng)變和溫度變化的屈服準(zhǔn)則耦合在一起，采用經(jīng)典本構(gòu)模型的分析結(jié)果與構(gòu)件在實(shí)際火災(zāi)中的表現(xiàn)有一定差距.本文應(yīng)用J2流動(dòng)理論用張量表示法導(dǎo)出了高溫下鋼筋混凝土構(gòu)件彈塑性增量本構(gòu)模型，編制了求解該模型的有限元求解程序.從而避開(kāi)了經(jīng)典本構(gòu)關(guān)系帶來(lái)的困難與缺陷，進(jìn)一步驗(yàn)證了試驗(yàn)本構(gòu)模型的正確性，為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)在高溫下耐火性能分析提供了依據(jù).

圖3 高溫時(shí)C30混凝土的受壓應(yīng)力－應(yīng)變?nèi)€

圖4 高溫時(shí)HRB335鋼筋的受壓應(yīng)力－應(yīng)變?nèi)€

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