粗 糙 集 理 論 的 研 究 述 評

□霍桂利

(山西建筑職業技術學院，山西 太原 030006)

一、粗糙集理論

在經典邏輯中，只有真、假值之分，但在現實生活中有許多含糊現象并不能簡單地用真、假值來表示，如何表示和處理這些現象就成為一個研究領域。長期以來許多邏輯學家和哲學家就致力于研究含糊概念。早在1904年謂詞邏輯的創始人G.Frege就提出了含糊一詞，他把它們結到邊境線上，也就是說在全域上存在一些個體既不能在其某個子集上分類，也不能在該子集的補集上分類。

1965年，Zadeh提出了模糊集，不少理論計算機科學家和邏輯學家試圖通過這一理論解決G.Fewge的含糊概念，故無法計算出它的具體的含糊元素數目，如模糊集中的隸屬函數和模糊邏輯中的算子都是如此。時隔20年后的80年代初，波蘭的Pawlak針對G.Frege的邊界線區域思想提出了粗糙集，他把那些無法確認的個體都歸屬于邊界線區域，而這種邊界線區域被定義為上近似集和下近似集之差集。由于它有確定的數學公式描述，所以含糊元素數目是可以計算的，即在真假二值之間的含糊度是可以計算的。粗糙集理論主要特點在于它恰好反映了人們用粗糙集方法處理不分明問題的常規性，即以不完全信息或知識去處理一些不分明現象的能力，或依據觀察、度量到的某些不精確的結果而進行分類數據的能力。80年代以來經過許多計算機科學家和數學家的不懈研究，粗糙集已經從理論上日趨完善，特別是由于80年代末和90年代初在知識發現等領域得到了成功的應用而越來越受到國際上的廣泛關注。相對于其他處理不確定性和模糊性的理論工具而言，粗糙集理論有著許多不可替代的優越性。經過近幾年的研究和發展，它已經在信息系統分析、人工智能及應用、決策支持系統、知識與數據發現、模式識別與分類、故障檢測等方面取得了較為成功的應用。

粗糙集概念在某種程度上與許多其他為處理含糊和不精確性問題而研制的數學工具有相似之處，主要區別在于Dempster-Shafer理論利用信度函數作為主要工具，而粗糙集理論利用集合——下近似集和上近似集。另一種關系存在于模糊集理論和粗糙集理論之間。粗糙集理論與模糊集理論多方面對照，不是和模糊集競爭，而是補充它。總之，粗糙集理論和模糊集理論對于不完全的知識來說它們是各自獨立的方法。此外，有一些關系存在于粗糙理論和辨別式分析之間，于Boolean推理方法之間，于決策分析之間。

粗糙集理論的主要優勢之一是它不需要任何預備的或額外的有關數據信息，比如統計學中的概率分布，Dempster-Shafer理論中的基本概率賦值，或者模糊集理論中的隸屬度或概率值。必須指出，粗糙集理論也不是萬能的，對建模而言，盡管粗糙集理論對知識不完全的處理是有效的，但是，由于這個理論未包含處理不精確或不確定原始數據的機制。因此，單純地使用這個理論不一定能有效地描述不精確或不確定的實際問題，這意味著，需要其他方法補充。一般地說，由于證據理論與模糊集理論等具有處理不精確和不確定數據的方法(盡管在描述上不一定方便)，因此，將他們與粗粗集理論構成互補是自然的考慮。為了能更好地理解粗糙集理論的本質和特點，本文介紹粗糙集理論的一些基本定義，目的在于闡明粗糙集的思想本質，以及與其他處理不確定性和模糊性數學工具的不同之處。

二、粗糙集的擴展模型

在數據中存基本粗糙集理論和其他處理不精確與不確定的方法相比具有獨特之處，然而仍然存在著某些片面性與不足之處。目前，大多數成功的應用都從不同的側面對基本粗糙集理論進行了拓廣。基本粗糙集理論是假設對于已知的對象全域擁有必要知識的前提之下的，是處理模糊性和不確定性的一種數學工具，本質上可認為是一種三值邏輯(正區域、邊界區域和負區域)。基本粗糙集理論主要存在以下問題：(1)對原始數據本身的模糊性缺乏相應的處理能力；(2)對于粗糙集的邊界區域的刻畫過于簡單；(3)粗糙集理論的方法在可用信息不完全的情況下將對象歸類于某一具體的類，通常分類是確定的，但并未提供數理統計中所常用的在一個給定錯誤率的條件下將盡可能多的對象進行分類的方法，而實際中常常遇到這類問題。

三、基于粗糙集的非單調邏輯

自粗糙集理論提出以來，粗糙集理論的研究者都很重視它的邏輯研究，試圖通過粗糙集建立粗糙邏輯，也相應地發表了一系列的粗糙邏輯方面的論文。如Z.Pawlak于1987年發表了題為“Rough Logic”的論文，他在這篇論文中給出了其邏輯公式的語義解釋：真、假、粗糙真、粗糙假和粗糙非一致性。這5種值可視為不同的近似程度，但他們缺乏確切的數學描述,認為研究粗糙邏輯——基于粗糙集的不精確推理邏輯——可能是最重要的課題。T.Y.Lin和Q.Liu等人基于拓撲學觀念定義了粗糙下近似算子L和粗糙上近似算子H，這兩個算子的語法性質分別與模態邏輯的必然算子□和可能算子◇十分相似，因而帶有L和H算子的邏輯公式被稱為粗糙邏輯公式，并建立了與模態邏輯相似的公理化粗糙邏輯演繹系統和相平行的演繹規則，但由于其定義的一階粗糙邏輯在語義上，就L和H而言是含糊的，無法從數學上給出解釋。但其畢竟指出了研究的方向，亦即必須給出L和H的數學意義，這樣才能使得由L和H構成的邏輯公式也有相應的數學意義。進而，基于粗糙集理論定義了近似度λ*和λ*，它和基于專業領域的不精確數和經驗數一起組成粗糙數，并討論了粗糙邏輯的性質和λ∈[λ*，λ*]在邏輯公式解釋上的價值。另外，1996年底在日本召開的第5屆國際粗糙集研討會上提出了一種精度算子粗糙邏輯(AORL)，并給出其歸結推理的過程。

四、與其他數學工具的結合

粗糙集與Fuzzy集并非是對立的理論，兩者既互相區別，又互相補充。從根本上講，粗糙集體現了集合中對象間的不可區分性，即由于知識的力度而導致的粗糙性；而Fuzzy集則對集合中子類的邊界的不清楚定義進行模型化，它體現的是隸屬邊界的模糊性。它們處理的是兩種不同的模糊和不確定性，兩者的有機結合可能更好地處理不完全知識。D.Dudios和H.Prade由此提出了粗糙Fuzzy Set和Fuzzy粗糙Set的概念。其主要思想是當等價關系使模糊集合的論域變得粗糙時,定義此模糊集合的相應上近似和下近似；或者把等價關系弱化為模糊相似關系，從而得到一個更具表達力的粗糙模型。并通過相似關系對模糊集合的上近似和下近似的性質進行了詳細研究，指明了在不分明性和模糊謂詞同時存在的情況下，Fuzzy粗糙Set概念在邏輯推理方面的潛在用途。D.Dudios和H.Prade同時指出，Shafer的證據理論和Z.Pawlak的粗糙集理論是不同術語下的同一模型。A.Skowron和J.Grazymala-Buss給出了更具體的結論。他們認為，粗糙集理論可以看作證據理論的基礎。并在粗糙集理論的框架上重新解釋了證據理論的基本概念，特別是用上近似和下近似的術語解釋了信念(belief)和似然(plausibility)函數，進而討論了兩者之間的互補問題。

五、粗糙集的實驗系統

粗糙集理論已經被證實在實踐中是非常有用的，從大量的現實生活中應用的記錄來看已經非常明顯。這一理論對于認知科學尤為重要，在決策支持、專家系統、歸納推理、開關電路等方面有了重要的應用。近年來，粗糙集理論在數據庫領域知識發現(KDD)中的應用取得了較大的進展，基于粗糙集理論的方法逐漸成為KDD主流方法之一。知識發現或數據庫的數據挖掘是AI的一個相對新的子領域，它涉及到從不斷增長的企業信息數據庫中挖掘出額外的非平凡的知識。在這方面，主要任務之一是內部數據之間的關聯和關系。但是，盡管粗糙集理論對模糊和不完全知識的處理比較出色，但其對于原始模糊數據的處理能力較弱。因此和其他方法如模糊數學、神經網絡等結合將會取得更好的效果。基于粗糙集的KDD系統一般都由數據預處理、基于粗糙集或其擴展理論的數據約簡、決策算法等部分組成。其大概思想是先進行必要的數據預處理，為數據約簡做準備，然后求出約簡或近似約簡，并在此基礎上根據值約簡等減少屬性和個體數目，最終提取規則并將之應用于新對象的分類。

在過去幾年中，建立了不少基于粗糙集的KDD系統，其中最有代表性的有LERS、ROSE、KDD-R和Rough Enough等。

LERS。LERS(Learning from Examples based on Rough Set)系統是美國Kansas大學開發的基于粗糙集的實例學習系統。它是用Common Lisp在VAX9000上實現的。LERS已經為NASA的Johnson空間中心應用了多年，它是作為一種開發專家系統的工具被應用的，這種類型的專家系統大多數可能被應用于醫療決策。此外，LERS還被廣泛地用于環境保護、氣候研究和醫療研究。

ROSE。波蘭Poznan科技大學基于粗糙集開發了ROSE(Rough Set data Explorer)，用于決策分析。它是Rough Das & Rough Class系統的新版，其中Rough Das執行信息系統數據分析任務，Rough Class支持新對象的分類，這兩個系統已經在許多實際領域中得到應用。ROSE是運行在PC兼容機Windows/NT上的交互式軟件系統。ROSE的計算模塊具有如下特征：數據校驗和預處理；采用Fayyad和Irani離散化算法對連續值進行自動離散化處理；用標準的粗糙集模型或可變精度粗糙集模型對條件屬性進行定性評估；用Romanski和Skowron等人的算法發現屬性核及信息表的約簡；考察屬性對目標分類的相對重要性；選擇最重要的屬性進行目標分類，刪除冗余屬性；用LEM2算法或Explore算法獲取決策規則；獲取規則的后處理；用決策規則對新目標進行分類；用K疊交叉驗證方法對決策規則集進行評價。

ROSE的信息表數據采用ISF(information system file)文件格式，是一種純文本格式。屬性分為條件屬性和決策屬性。

KDD-R。KDD-R是由加拿大的Regina大學開發的基于可變精度粗糙集模型，采用知識發現的決策矩陣方法開發了KDD-R系統，這個系統被用來對醫學數據分析，以此產生癥狀與病癥之間新的聯系，另外它還支持電信工業的市場研究。該系統由四部分組成：數據預處理；基于VPRS模型的屬性依賴分析和消除冗余屬性；規則提取；決策。

六、粗糙集的展望

粗糙理論在許多實際生活中是完備和十分有用的。粗糙理論提供了在許多分枝上應用的有效的方法。粗糙理論的粗糙邏輯的研究是值得重視的課題，因為這種邏輯將使單調邏輯非單調化，從而在AI的近似或不精確推理中將發揮出不可估量的作用，可見基于粗糙集方法的不精確推理的粗糙邏輯的研究將是十分有前途的。粗糙集理論的另一項重要的課題則是粗糙函數的理論和實踐的研究。粗糙函數的各種近似運算，粗糙函數的基本性質，關于他的粗糙連續，粗糙可導，粗糙積分和粗糙穩定性，粗糙函數控制及建立由粗糙是函數控制的離散動態系統等都是典型的問題，這些問題都要求在粗糙理論的模型下，給予公式化。這些問題的研究將對定性推理方法的研究有所貢獻。這些研究實質上是使數學離散化。如此，連續數學也能被現代計算機所接受。

基于粗糙理論集的控制也是一個非常有前途的應用領域，而粗糙集理論對于神經網絡和遺傳算法的開發也很重要。如何將粗糙集理論，模糊集理論，證據理論和概率論等不確定的理論用一個同意的邏輯模型來解釋也是很值得研究的。

目前，粗糙集理論的研究還有幾個領域比較引人注目：(1)在繼承原始粗糙集模型的基本教學性質的前提之下，研究如何擴展模型，以更好地用于數據壓縮與信息分析等。(2)在分布式粗糙集環境下，不完全的或不確定的知識表示和多Agent之間知識轉換問題。(3)在特定代數結構上，如何引入上近似與下近似的概念，并研究其數學性質，例如研究概念格結構上的粗糙集運算的定義以及相互關系等。(4)粗糙集理論與形式語言之間關系的研究等。

從數據庫知識發展角度看也有一些可能的研究方向和應用領域：高效約簡算法。高效的簡約算法是粗糙集應用于只是發展的基礎，目前尚不存在一種非常有效的方法。因此，尋求快速的簡約算法及增量版本仍然是主要研究方向之一。大數據集問題。現實中的數據庫已經越來越大，粗糙集理論如何應付這一挑戰仍舊是一個問題。雖然現在已經有一些有益的探索，但是還是沒有找到一種令人滿意的方法。可能的解決方案有采樣，并行化等，更需要發展相應的算法。多方法融合。現在有許多種數據挖掘方法。實驗表明，還沒有一種方法在所有的測試集上都表現出眾。因此多種方法的融合可能是進一步提高分類效率的途徑之一。

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