重視概念學習夯實數學基礎

摘要：概念是思維的基本單位。數學概念是構建數學理論大廈的基石，是推導數學定理和公式的邏輯基礎，是提高解題能力的前提。因此，數學概念教學是數學教學的重要內容，但數學概念的抽象性使得教學相對棘手。高中數學概念教學應該呈現概念的本質和外延，要讓學生在概念生成中感受到數學的理性精神，體會到其所蘊合的豐富數學思想，切實提高學生的數學素養，凸顯數學教學的育人功能。

關鍵詞：高中數學；新課標；概念引入；反思

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009—010X(2011)06—0039—03

概念作為構建數學理論大廈的基石，尤其是中學數學中的基本概念，是對數學對象“資質認定”的標準，是推理的起點。如果脫離了數學概念，便無法進行數學思維，也無法構成數學思想和數學方法。在高考中，考題力圖真正的突出數學的最基本的問題，用數學中最本質的內容考察學生基本的數學素質。數學概念的理解和運用即為數學最為本質的內容之一，在平時的教學中應給予足夠的重視。在學習中要重視概念的形成、概念的理解和概念的應用，重視概念的各種形式之間的轉換。學好概念，夯實基礎，只有這樣，我們才能始終立于不敗之地。

在教學實際中，有不少學生學習很努力，但是成績不理想。其直接原因往往是對概念的理解不夠透徹，以及對概念的應用和轉化不靈活。那么，作為教師就不能只強調解題方法與技巧，而忽視基本概念。相反的，要加強概念教學，狠抓“雙基”。筆者結合自己的教學實踐，對概念教學的實施提出如下幾點粗淺的認識。

一、創設教學情境，引入概念

數學教材多是直接給定概念。如果教師直接“告訴”學生概念內容，就會讓學生處于被動，在知識接受上有突兀感。教師應遵循高中數學新課標的要求，加強概念的引入，引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程。合理設置情境，使學生積極參與教學，了解知識發生發展的背景和過程，使學生感受到學習的樂趣，這樣能使學生加深對概念的記憶和理解。筆者在教學實踐中根據教學內容和學生情況等，總結了如下幾種引入方式：

1 以實際問題引入概念。數學概念來源于實踐，又服務于實踐，從實際問題出發引入概念，使得抽象的數學概念貼近生活，使學生易于接受，還可以讓學生認識數學概念的實際意義，增強數學的應用意識。例如等比數列這樣的概念就是直接源于生活的概念，在講授的過程中，現實生活中的實例隨手可得，如常見的細胞分裂問題，商店打折問題，放射性物質的質量問題，銀行利率，為自己家選擇合適的還貸方式等等實例可以信手拈來穿插在概念的講解、鞏固的過程中；再如，講函數概念時，用炮彈發射后射高與時間的變化規律、圖象、圖表分析歸納變量問關系的共同點得到函數概念。

2 利用學生已有的知識經驗引入概念。例如，在引入算法概念時，學生對求解一般的二元一次方程組已很熟練，強調求解一般的二元一次方程組的步驟就是算法，這樣就顯得水到渠成。

另外，在概念教學時，還可通過對已定義的概念一般化或特殊化而引入新概念，如通過四棱柱的概念特殊化得到平行六面體、直平行六面體等概念。由函數概念一般化引入映射的概念。

3 通過學生實驗引入概念。學生動手實驗，可在學生腦海中留下深刻印象。如講橢圓概念時，可讓學生每組準備一塊紙板，一條細繩，兩個釘子。教師指導學生固定釘子在紙板的不同位置，然后讓繩子長度大于兩釘子之間的距離，同時用鉛筆拉緊繩子畫線，最終可以得到橢圓。然后再改變繩子長度分別等于、小于兩釘子間的距離，畫圖。在此基礎上，學生可根據畫圖過程歸納橢圓的概念。這樣學生不知不覺地從具體到抽象，由感性認識逐步上升為了理性認識。同樣由學生親自實驗，然后歸納概念的方法也可用于雙曲線和拋物線的概念教學。

4 從概念的歷史背景出發，激發興趣。復數和虛數的概念有悠遠的歷史背景，是數發展到一定的階段的必然產物，在很長一段時間里，人們在實際生活中找不到用虛數和復數表示的量，在學生的有限的知識結構中也找不到虛數的生活原型，所以學生很難完全理解它。因此，在講解這兩個概念時，可以將數的發展史、虛數與復數的出現歷程作簡單闡述，為了表述得清晰而有趣，教師可以把這過程制作成動畫短片：

從原始人分配食物開始，首先是自然數的出現，然后到分數的出現。接下來經過漫長的數的發展，人們又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率等。人們把它們寫成π等形式，稱它們為無理數。到19世紀，由于運算時經常需要開平方，如果被開方數是負數，比如x²+4=0，x²=-4這道題還有解嗎?如果沒有解，那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。這樣，可以讓學生融入教學中，跟著故事的結尾一起思索，然后引入新概念：數學家們就規定用符號“i”表示“一1”的平方根，即i²=-1，虛數就這樣誕生了。實數和虛數結合起來，寫成a+bi的形式(a、b均為實數)，這就是復數。這種引入概念的過程新穎別致，一開始就能抓住學生的眼球，吸引他們的注意力，使課堂教學輕松有趣。

教學中，適當引入與數學概念相關的故事，并巧妙處理，既可激發學習興趣，又可達到教育之目的。

二、抓住本質屬性，講清概念

數學概念是為了解決數學問題，對概念理解不清，在解題時就會出現錯誤；對概念理解不透徹，常會遇到問題束手無策。要正確深刻地理解概念絕非易事，教師要根據學生的知識結構和能力特點，從多方面著手，適當引導學生剖析概念，抓住概念的實質。為此可以從以下幾個方面努力：

1 強調概念中的關鍵詞語，結合正反例子，做好概念理解。如對函數概念中的“任何”與“唯一”要重點強調。然后舉例y=x³，y²=x，前者可以稱y是x的函數，后者不能稱y是x的函數。因為對于任何一個x，不是對應唯一y。這樣通過正反實例，強調概念中的關鍵詞語，更能加深學生對概念的理解。

2 注意數學語言的翻譯。數學語言有文字語言、符號語言、圖形語言。符號語言有較強的概括性，更能反映概念的本質。如等差數列的概念可用符號“a_n+1+a_n=d”(d為常數)概括。用定義證明一個數列是等差數列時，就是應用概念的符號語言。圖形語言則能更形象地反映概念的內容。如講“交集”概念時，用文氏圖表示“A∩B”，可以很容易理解概念。

3 對比相似概念，明確其聯系和區別。有比較才有鑒別。用對比的方法找出容易混淆的概念的異同點，有助于學生區分概念，獲取準確、明晰的認識。比如對排列與組合的概念，就可以通過概念對比，并結合實例的方式加深概念理解。

4 逆向分析，加深對概念的理解。教學中，有意識地培養學生的逆向思維，能加深對概念的理解與運用。例如學習正棱錐的概念后，可以提出如下問題并思考：①側棱相等的棱錐是否一定是正棱錐?(不一定)②底面是正多邊形的棱錐是否一定是正棱錐?(不一定)③各側面與底面所成的二面角都相等的棱錐是否一定是正棱錐?(不一定)這樣正棱錐的概念就更清楚了。

三、精心設計練習，鞏固、深化概念

函數的周期性和最小正周期是學生難以理解的概念，在學生了解其概念后，為了幫助學生準確把握函數的函數周期性和最小正周期的外延，可以設計以下問題鏈，讓學生討論：

(1)函數y=a(a為常數)是周期函數嗎?y=a(a≠±2)呢?y=a(a≠±1/2)呢?

(2)函數y=sinx，x∈[-2π，+∞]提周期函數嗎?最小正周期是多少?函數y=sinx，x∈R且x≠kπ呢?

(3)函數y=sinx，對x∈R都有f(x₁)≤f(x₂)，則｜x₁-x₂｜的最小值是多少?

(4)做出函數y=sinx，x∈[-2π，3π]與y=sinx，x∈R的圖象。

通過上述問題的研究，可以幫助學生弄清以下問題：(1)周期函數定義域的結構特征；(2)最小正周期的存在狀況；(3)周期函數函數值的分布規律；(4)周期函數的圖象特征。在此基礎上，學生才能真正弄清周期函數、最小正周期的概念，學生的認識結構也從“了解”上升到“理清并掌握”的層面。

要注意在概念的逆用、變用中獲得解題方法，有時感到對一些問題無從下手，通過概念的逆用和變用往往使問題迎刃而解。例如“已知函數f(x)是定義在[-1，1]上的增函數，且f(x-1)2-1)，求出x的取值范圍。”遇到抽象函數，許多學生感覺無從下手。這其實是“函數單調性”的概念逆向應用，即“如果函數f(x)在區間(a，b)內單調遞增，x₁，x₂∈(a，b)，由f(x₁)2)就可以得到x₁2”。學生掌握了這一點，解決上面的問題就豁然開朗了。又如“已知實數x，y滿足(x+1)²(y+1)²=1，求(y+2)/(x+3)的最值?”可以聯想到圓(x+1)²+(y+1)²=1上的點(x，y)與定點(-3，-2)連線的斜率。加強概念間的靈活變通，就可將問題轉化。

四、概念生成過程教學的幾點反思

1 “高屋建瓴”地深入理解概念。長期以來，我們只重視如何使學生理解數學概念，而忽略了教師本人如何“高屋建瓴”地深入理解這些概念，許多教師還缺乏對基本概念的真正實質上的深入理解。沒有教師自身概念知識廣度和深度的研究，生成的過程教學就無從談起。

2 “了如指掌”地熟悉學生學情。學生的已有知識，始于新知發生前，作為新知的起點，它決定了新知理解的角度、廣度、深度以及態度，在理解的每時每刻，都參與其中，在教學設計時要重點考慮處理新舊概念間的矛盾。教學中，教師只有在全面了解學生以往的學習經驗的基礎上，才能開展有針對性這樣的預設，概念生成過程才是真實的、深入的。

3 “真真正正”地展開師生互動。教師與學生的互動是概念課堂教學得以動態生成的形式要件。概念生成的課堂里，學生并不是知識的被動吸收者，而是積極主動的構建者，每個學生都以自己頭腦已有的知識和經驗為基礎，用個人特有的思維方式構建對事物的理解、檢驗，不同的人看到不同的方面，各個層次的學生都有收獲。

4 “扎扎實實”地展開探究活動。概念教學中，學生主動探究是概念建立的一個重要環節，教師不僅要學生自主探究，更重要的是要讓學生掌握自主探究的方法，“授之以魚，不如授之以漁”，科學方法的掌握，科學思維的形成才能使學生終生受益，才能體現數學作為基礎學科的應有作用。

教師在數學概念教學中要轉變觀念，使課堂教學由知識型轉化為能力型，切實搞好數學概念教學，充分發揮數學概念的指導作用，全面提高學生的數學索養。概念教學要注意過程性，沒有過程就等于沒有思想。重視概念教學的生成，不僅要讓學生明白一些原理，更要讓學生學會一種思維，一種對數學精神的領悟。成功的概念課，就如同一段美好的旋律，給人一種美好的體驗，要讓學生體會前輩的心路歷程，探索先哲的數學思想，這才是數學教學的真諦，這才是數學育人功能的最好注釋。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定，普通高中數學課程標準(實驗)[M]，北京：人民教育出版社，2003。

[2]馬偉開，讓學生掌握教學概念的途徑[J]，數學通報，2009，(48):5～7。

[3]匡繼昌，數學教學要重視基本概念的深入理解[J]，數學通報，2008，9，(47):17～19。

責任編輯 姜華