圓中常用輔助線的添加方法

在解決圓中的有關問題時，常常添加輔助線，使分散的條件相對集中，讓圖形的性質充分顯露出來，從而找出解決問題的途徑。添加的方法主要有以下幾種：

一、遇到弦時，常作弦心距或垂直于弦的半徑（或直徑），再連接圓心和弦的端點

作用：1.利用垂徑定理、勾股定理、等腰三角形的性質；2.利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系。

例1 在半徑為10 cm的圓柱形油管內裝入一些油后，截面如圖1所示。若油面寬AB=16 cm，則油的最大深度為 ___cm。

解析：過點O作弦AB的垂線OF，垂足為E，OF與■相交于點F，根據垂徑定理易知點E是AB的中點（AE=■AB= 8 cm)，點F是■的中點，則EF為油的最大深度。連接OA，在Rt△AOE中，OE=■=■=6，所以EF=OF-OE=10-6=4。

答案 ： 4。

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二、遇到直徑時，常作直徑所對的圓周角

作用：利用直徑所對的圓周角是直角。

例2 如圖2，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點E，∠ACD=60°，∠D=50°，求∠CEB的度數。

分析：因為∠CEB=∠ACD+∠CAB，而∠ACD=60°，欲求∠CEB的度數只需求出∠CAB的度數。連接CB，由AB是直徑得∠ACB=90°，則∠CAB與∠B的互余，因此只要求出∠B的度數，而∠B=∠D=50°。

三、遇到90°的圓周角時，常作圓周角所對的弦

作用：90°的圓周角所對的弦是直徑。

例3如圖3，在平面直角坐標系中，一個圓經過坐標原點O，OE=8，OF=6，則圓的直徑長為（ ）。

A.12B.10C. 4D. 15

解析： 因為圓周角∠EOF=90°，所以連接EF，易知EF為直徑。在Rt△EOF中，EF=■=■=10。

答案：10。

四、遇到切線時，常作經過切點的半徑

作用：圓的切線垂直于過切點的半徑。

例4 如圖4，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF，交⊙O于點E，過點E作⊙O的切線CD，交AF的延長線點D，交AB的延長線于點C。求證：ED⊥AF。

分析：已知CD與⊙O相切于點E，因此連接OE，則ED⊥OE，要證ED⊥AF，只需證OE∥AF即可。

證明： 略。

五、遇到證明某一直線是圓的切線時

1.已知直線與圓有公共點時，常連接公共點和圓心，然后證明這個半徑垂直于直線，簡稱為“連半徑，證垂直”。

2.若直線是否與圓有公共點沒有明確指出時，常過圓心作直線的垂線段，然后證明垂線段的長等于半徑，簡稱為“作垂直，證半徑”。

例5 如圖5， 點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°。

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，求BC的長（結果保留?仔 ）。

分析:已知⊙O與CD的公共點是C，連接OC，要證CD是⊙O的切線，只需證明OC⊥CD即可，

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六、遇到兩圓相切時，常作公共切線和連心線

作用:1.利用相切的性質；2.相切兩圓的連心線，必經過切點。

例6 如圖 6所示，圖中各圓兩兩相切，⊙O的半徑為6，⊙A和⊙B的半徑相等，求⊙C的半徑。

分析:圖中各圓兩兩相切，所以連接AC、BC、OC則構造出Rt△AOC，由勾股定理可求出⊙O的半徑。

七、遇到兩圓相交時，常作公共弦和連心線

作用：1.利用圓內接四邊形的性質；2.相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。

例7 ⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，直線AO1交⊙O1于點C，交⊙O2于點D，CB的延長線交⊙O2于點E，連接DE，已知CD=4，DE=3，求CE的長。（圖略）

（作者單位：江西省峽江縣教研室）

責任編輯：包韜略