巧用數形結合法 實現有效教學

摘要：本文主要根據幾個簡單的例子討論了數形結合思想在職業中學數學課堂中的靈活應用，數形結合法不但可以把問題直觀化、生動化，而且可根據圖形分析解決數學問題。數形結合是數學思維中的重要思想。

關鍵詞：數；形；數形結合

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直覺，形少數時難人微。數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”可見，數形結合法在教學過程的作用是如此之妙。那么什么是數形結合法呢？數形結合法就是根據數學問題的條件與結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何意義，使數量關系和空間形式巧妙和諧地結合起來，并充分利用這種“結合”尋找解題途徑，使問題得到解決，它包含“以形助數”和“以數輔形”兩個側面。

數形結合法的應用是十分廣泛的，主要是體現在以下幾個方面：可以解決集合問題、函數問題、方程與不等式的問題、三角函數的問題、線性規劃問題、解析幾何問題、數列問題、立體幾何問題。在中等職業教育課程改革國家規劃新教材高一上半年數學內容中，數形結合法主要是在集合、不等式、函數中得到了推廣。因此在教學中，教師如能恰當地靈活運用數形結合法進行輔助教學，幫助學生從感官上去理解相關的知識內容，完全有可能達到事半功倍的效果。下面本人主要從實際例子中來談談如何靈活地運用數形結合法，實現有效教學。

一、數形結合法在集合中的應用

例1.設A=｛x—0≤x≤5｝，B=｛x—-1﹤x﹤4｝，求A∩B，A∪B。

分析：在學習的過程中，交集和并集很容易混淆，一個是符號的書寫混淆，另一個是概念的混淆。首先作一條數軸，在數軸上分別找到A集合和B集合，再根據交集的定義（兩集合公共部分組成的集合）或并集的定義（并即為“和”，公共部分不可重復取），就可以直觀地得到答案了。

例2.已知全集U=｛不大于20的質數｝，Ｍ、Ｎ是是Ｕ的兩個子集，且滿足Ｍ∩（CUN）=｛3，5｝，（CUM）∩N=｛7，19｝，（CUM）∩（CUN）=｛2，17｝，求Ｍ、Ｎ。分析：此題是集合問題中一道典型的數形結合問題，它無法通過運算求解，只能借助于形的幫助，方能輕松解決。根據題目條件可將各元素作在韋恩圖的相應集合內，由圖可知道答案。

二、數形結合法在不等式中的應用

例3.解一元二次不等式x2-x-6＞0。

分析：這種題型有幾種解法，有的教材是介紹用“同號得正，異號得負”的思想解題，也就是先把左邊的二次三項式分解成兩個因式的乘積即（x+2）（x-3）＞0，再將此題分解成兩個不等式組。但如果碰到不好因式分解的題，計算量就有可能非常大。因此，不如轉換思維角度，先把二次函數的草圖畫出來，通過草圖來觀察二次函數在哪個區域的變化情況，從而更為直觀明了的求解。解題步驟是：

（1）令y=0，將二次函數變為一元二次方程。

（2）解這個一元二次方程，求得二次函數在x軸上的兩個交點坐標。

（3）由a＞0（a＜0)來判斷拋物線的開口朝向。

（4）最后利用數形結合法來求解不等式的解集。

從以上幾個數形結合的實例中可以看出，充分抓住數與形的內在去探索問題解決問題，能起到事半功倍的效果。數與形是不可分割的，數可以說是形的精確描述，形也可以說是數直觀體現。作為一個數學教育者，我們應及時發現數與形中存在的聯系，并鼓勵學生廣泛應用之。

總而言之，數學的基本思想就是提出問題并解決問題。而數形結合法就是高效解決數學問題的一個有力工具，也是中學數學中解決問題的重要方法之一。若我們的學生能恰當地利用數形結合思想進行解題，就能提高他們的分析問題解決問題的能力，提高他們學習的興趣，使之樂觀積極地參與到學習中來，為未來的發展奠定一定的基礎。當然，數與形的結合方式也是多種多樣的，不同的問題往往有不同的方法。因此，一兩道例題是無法說清楚數形結合的思想的，數形結合的思想需要滲透在學習新知識和運用知識解決問題的過程之中，這就需要教師在教學過程中培養學生用最簡單、最直觀、最有效的方法來解決問題，并使學生在潛移默化中逐步領悟并學會運用這一思想方法。