淺談數形結合

摘要：數形結合思想，就是把問題的數量關系和空間形式結合起來考察的思想。

關鍵詞：實質；抽象；直觀

一、數形結合的的實質

數形結合思想，就是把問題的數量關系和空間形式結合起來考察的思想。其實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，實現抽象概念與具體形象、表象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀。

二、數形結合的好處

抽象的代數問題一旦與幾何圖形結合往往會使問題簡單，易猜測結果。而且一些純代數問題結合圖形來解，顯得特別容易，“腦中有圖象，直觀又形象”。數形結合方法作為一種策略思想，能最直接揭示問題的本質，直觀地看到問題的結果?？傊越忸}的直觀性和簡捷性被廣泛使用，特別是作為高考中重要的數學思想方法考查以來，各類題解使用的深度和廣度逐漸升級，形成熱點。

三、函數中的數形結合

遇到一個新的函數，非常自然的是畫出它的圖象，觀察圖象的形狀，看看有沒有特殊點，并借助圖象研究一下它的性質，結合實際圖象記性質、用性質。

1.一次函數與數形結合。

例1：已知集合A={（x，y）|■=1，x，y∈R}，B={（x，y）|y=ax+2，x，y∈R}，若A∩B=?覫，求a的值。

解：集合A表示不含點（2，3）的直線l：y=x+1，集合B表示直線m：y=ax＋2。

（1）當直線與直線m平行時，A∩B=?覫，此時a=1。

（2）當直線m經過點（2，3）時，A∩B=?覫，

此時3=2a+2，解得a=■。

所以，所求的a的值是1或■。

評析：數學題目本來并無思想，它的思想是人給予的。本題應該是集合運算范圍的，但是我給這些數和式以“形”的直觀，使抽象空洞的集合運算變得形象具體起來。

2.二次函數及方程與數形結合。

例2：若方程7x2-（a+13）x+a2-a-2=0有兩根為x1，x2，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，求a的取值范圍。

解：令y=7x2-（a+13）x+a2-a-2

f（0）＞0f（1）＜0f（2）＞0 ?圯a2-a-2＞0a2-2a-8＜0a2-3a＞0 ?圯-2＜a＜-1或-3＜a＜4。

評析：本題對學生的要求高多了，它要求學生在深入觀察數式的特征下，由“數”構“形”，再由“形”構“式”。

例3：方程sinx=lgx的實數根的個數是（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.大于3

分析：如圖在同一直角坐標系內分別畫出函數y1=sinx和y2=lgx的圖象，由于y2=y1=sinx≤1，所以當x大于10時，兩個函數不可能有交點，即交點的橫坐標只能在10以內，通過觀察易知兩個函數曲線相交有三個交點。故選（C）。

評析：本題看似方程，實是函數，用代數的方法在高中階段是無法解決的，但如能運用數式巧構函數模型，則易如反掌，充分地體現了數形結合的優越性。

四、解析幾何中的數形結合

解析幾何是17世紀數學發展的重大成果之一，其本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，體現了數形結合的重要數學思想?！扒€”與“方程”是同一對象（即點的軌跡）的兩種表現形式，曲線是軌跡的幾何形式，方程是軌跡的代數形式，它們在表現和研究軌跡的性質時，各有所長。幾何形式具有直觀形象的優點，代數形式具有便于運算的優勢，因而具有操作程序化的長處。具體解題時最好將二者結合起來，這就是“數形結合”思想。在解析幾何中，學生將在平面直角坐標系中建立直線和圓的代數方程，運用代數方法研究它們的幾何性質及其相互位置關系，并了解空間直角坐標系。體會數形結合的思想，初步形成用代數方法解決幾何問題的能力。解析幾何最核心的思想方法即數形結合的思想。

例4：（2007年重慶卷第22題Ⅱ）如圖，（Ⅰ）（求得）橢圓的方程■+■=1。

（Ⅱ）在橢圓上任取三個不同點P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，證明■+■+■為定值，并求此定值。

【說明】心里有什么，眼里就看到什么！對于本題——心里有函數的人首先看到了函數：|FP1|、|FP2|、|FP3|都是角α=∠xFP1的函數。

心里有方程的人，首先看到了方程：|FP1|cosα=x±c（x是點P1的橫坐標）。

心里既有函數又有方程的人，不僅同時看到了本題中函數與方程，而且還看到了函數與方程的關系。

【解析】設（自變量）∠xFP1=α，于是有∠xFP2=■+α，∠xFP3=■+α。

設|FP1|=r1，由圖2可得|FM|=r1cosα，

由e=■得|P1Q|=2r，于是有（方程）：

r1cosα+2r1=12-3=9，從而有（函數）：

r=■，繼而有（方程）：

■=■，同理有■=■，

■=■于是有（函數方程的統一體）：

■+■+■

=■3+cosα+cos（α+■）+cos（α+■）

=■×3=■。

評析：圓錐曲線定義是運用數形結合思想解題的依據，把一些代數問題通過轉化，運用圓錐曲線的定義與幾何性質解題是簡化解題過程的最佳手段。