方程與函數(shù)的建模

摘要：數(shù)學內(nèi)容來源于現(xiàn)實世界，周圍的世界是學生探索的源泉。因此，引導學生把實際問題化為數(shù)學問題構建數(shù)學模型，并解決實際問題，才能使學生從中感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)的樂趣，增強學生學好數(shù)學的信心。

關鍵詞：數(shù)學方程；函數(shù)；建模；實際問題

弗賴登塔爾認為：數(shù)學來源于現(xiàn)實，扎根于現(xiàn)實，應用于現(xiàn)實。每個學生有各自不同的數(shù)學現(xiàn)實。數(shù)學教師的任務之一就是幫助學生構建數(shù)學現(xiàn)實。教學中，教師應充分利用學生的認知規(guī)律、已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學的實際，靈活處理教材，根據(jù)實際需要對原材料進行優(yōu)化組合。把例題生活化，讓學生易懂易學。通過設計與生活現(xiàn)實密切相關的問題，幫助學生認識到數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，無形中產(chǎn)生學習的動力。

一、通過方程與函數(shù)的建模現(xiàn)實的數(shù)學教育

第一，數(shù)學內(nèi)容來自于現(xiàn)實世界，要把最能反映現(xiàn)代生產(chǎn)、現(xiàn)代社會生活需要的最基本、最核心的數(shù)學知識和技能作為數(shù)學教育的內(nèi)容。

例如：在學習課本P132的知識時，學生先閱讀后陳述一下問題的內(nèi)容。

［生］問題是：小明的爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛。小明在12∶00時看到的里程碑上的數(shù)是一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和是7；在13∶00時看到的里程碑上的數(shù)十位與個位數(shù)字與12∶00時看到的正好顛倒了；在14∶00時小明看到的里程碑上的數(shù)比12∶00時看到的兩位數(shù)中間多個0。試確定小明12∶00時看到里程碑上的數(shù)。［師］我們知道一個復雜的問題往往是由幾個簡單的問題組合而成的，要想求出12∶00時小明看到的里程碑上的數(shù)，就得確定這個兩位數(shù)個位和十位上的數(shù)字。我們不妨設小明在12∶00時看到的數(shù)十位數(shù)字是x，個位數(shù)字是y，建立關于x、y的二元一次方程組這樣的數(shù)學模型，找出題目中的等量關系。根據(jù)題意，你能將12∶00、13∶00、14∶00時小明看到的里程碑上的數(shù)表示出來嗎？［生］12∶00時小明看到的里程碑上的數(shù)，它的兩個數(shù)字之和是7，于是我們可得到一個等量關系，用x，y表示即為x+y=7。我們還可以注意到小明的爸爸騎摩托車帶著小明在公路上是勻速行駛的，說明12∶00~13∶00與13∶00~14∶00兩段時間內(nèi)所行駛的路程相等。

“里程碑上的數(shù)”既是一個數(shù)字問題，又和行程有關。讓學生進一步經(jīng)歷和體驗列方程組解決實際問題的過程，體會方程（組）是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型。因此，周圍的世界應該是學生探索的源泉，數(shù)學課本從結構上應該從與學生生活體驗密切相關的問題開始，發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念和解決實際問題，實際數(shù)學化。

第二，數(shù)學研究的對象，是現(xiàn)實世界同一類事物或現(xiàn)象抽象而成的量化模式。而現(xiàn)實世界的事物、現(xiàn)象之間又有各種各樣的關系。如，與日常生活、生產(chǎn)、貨幣流通、商品流通及其它學科等聯(lián)系。這樣，才能使學生獲得豐富多彩的現(xiàn)實的數(shù)學內(nèi)容，掌握比較完整的數(shù)學體系，又方便學生把數(shù)學知識應用到現(xiàn)實中去。

例如：銷售問題和面積最大問題：

1.某商場以每件42元的價錢購進一種服裝，根據(jù)試銷得知這種服裝每天的銷售量t（件）與每件的銷售價x（元/件）可看成是一次函數(shù)關系：t＝－3x＋204。

寫出商場賣這種服裝每天銷售利潤y（元）與每件的銷售價x（元）間的函數(shù)關系式；通過對所得函數(shù)關系式進行配方，指出商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件的銷售價定為多少最為合適？最大利潤為多少？

2.窗的形狀是矩形上面加一個半圓。窗的周長等于6cm，要使窗能透過最多的光線，它的尺寸應該如何設計？在教學過程中，學生通過猜想、討論確定窗的面積越大透過的光線越多。于是學生設計出不同的方案，并計算出結果。通過比較得出最佳方案。當然，出現(xiàn)的問題很多，但通過參與得知利用二次函數(shù)求最值解決最簡便。實際問題化為數(shù)學問題，即發(fā)現(xiàn)實際問題中的數(shù)學成分，并對這些成分做符號化處理。

二、通過方程與函數(shù)的建模給學生再創(chuàng)造的機會

學生“再創(chuàng)造”學習數(shù)學的過程就是一個做數(shù)學的過程。它強調(diào)學生學習數(shù)學是一個經(jīng)驗、理解和反思的過程，強調(diào)以學生為主體的學習活動對學生理解數(shù)學的重要性，強調(diào)學生主動學習的重要性，認為學生做數(shù)學是理解數(shù)學的重要條件。弗賴登塔爾說的“再創(chuàng)造”，其核心是數(shù)學過程的再現(xiàn)。當然，這不是簡單地“由學生本人把學的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創(chuàng)造的工作”。而是通過教師的精心設計，創(chuàng)造問題情境，通過學生自己動手實驗、研究、合作商討、探索問題的結果并進行組織的學習方式。

例如：在一塊長16m、寬12m的矩形荒地上，要建造一個花園，并使花園所占面積為荒地面積的一半。你能給出設計方案嗎？學生探究后，給出了許多美妙設計。

在教學中，教師應給學生足夠的活動空間，動手操作，主動參與學習研究的全過程。教學中，先放后扶，立足過程，強調(diào)遷移。讓學生自己憑借舊知摸索新知、探索方法，在嘗試中得到領悟。形成規(guī)律性的知識，并在新的實踐過程中加以鞏固。