關于初中數學鐘表問題的解題策略

摘要：鐘面上的時針與分針重合，成平角，成直角等問題統稱為鐘表問題，對于初中生來說，它是一個很有難度的題型，本文主要是介紹將鐘表問題化歸為行程問題，利用時針與分針旋轉的速度以及它們所旋轉的角度，借助方程的方法來解決。

關鍵詞：七年級數學；鐘表問題；行程問題；競賽；化歸思想

新人教版七年級數學114頁有這樣一道題：“在三時到四時之間的哪個時刻，鐘的時針與分針：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。”很多競賽題中也有大量類似問題，我們稱這類問題叫鐘表問題，學生不知道這類題如何解答，思維難度較大。根據我平時的教學實踐，若能將這類鐘表問題轉化成應用題中的行程問題來處理較好。

一、知識準備

將鐘表問題轉化為行程問題，首先要弄清分針與時針的速度如何。我們可以把整個鐘盤看作是圓心角為360度的角，十二個分點將鐘面分成十二等份，每份圓心角是30度，時針每小時轉動一格，即30度，那么每分鐘轉0.5度，分針每小時轉一圈，即360度，每分鐘轉6度，這樣它們所走的路程就可以看作是時針與分針轉動的圓心角的度數。

二、問題解決

1.三點到四點之間什么時刻，分針與時針重合？

分析：把三點整作為起始時間，此時，時針在分針前90度處，則當時針與分針重合時，即分針追上了時針。問題便可轉化為“三點鐘時，時針在分針前90度處，兩針朝同一方向出發，經過多少分鐘，分針第一次追上時針？”

由圖中可以很清楚地看出題目中的等量關系為：分針所轉動的角度＝時針所轉動的角度+90度，可設分針走了x分鐘，分針與時針重合。得6x=0.5x+90，解之得：x=16■，所以3點16■分鐘時，時針與分針重合。

2.三點到四點之間什么時刻，分針與時針成平角？

如（圖1）所示，時針與分針成平角，相當于分針追上了時針后又多比時針轉動了180度，我們利用上題的方法可以得到這樣的關系式：

分針所轉動的角度＝時針所轉動的角度+90度+180度。運用與上題相同的方法列出方程就能輕易地解決這個問題。第三小題的分針與時針成直角的問題同樣能用類似方法解決。

三、知識拓展

例：三點和四點之間哪個時刻，分針與時針成45度角？

我們可以這樣考慮：三點整，分針在時針后90度，當分針與時針成45度時，應有以下兩種情況：

1.分針沒追上時針，在時針后45度。其中數量關系為分針所轉動的角度＝時針所轉動的角度+90度－45度；

2.分針追上時針后，又超過時針45度。其中的數量關系為：分針所轉動的角度＝時針所轉動的角度+90度+45度；可設分針走了x分鐘，分針與時針成60度。得

方程（1）6x=0.5x+90-45，解之得：x=8■。

方程（2）6x=0.5x+90+45，解之得：x=24■。

所以3點8■分鐘或3點24■分鐘時，時針與分針成45度。

四、競賽相關

星期日，小明出去了兩個多小時，離開家時，他看了看鐘，回家又看了看鐘，發現回家時時針與分針的位置與離家時恰好互換了一下位置，問小明離開家多長時間？（如圖2）

通過分析我們可以看到時針與分針共旋轉了三圈，即時針旋轉的角度+分針旋轉的角度＝360度×3。

設經過x分鐘。則有6x+0.5x=360×3，解之得：x=166■，166■分鐘=2小時46■小時。

因此，他離開家的時間是2小時46■小時。

利用行程問題來解決鐘表問題，將不熟悉的知識轉化為熟悉的知識來解決，是化歸思想的一個具體體現，是我們數學中的一個常見的做法。相信你在閱讀本文后能將這種方法運用到你平時的解題思路中，鐘表問題將不再是問題。

參考文獻：

[1]人民教育出版社中學數學室.數學七年級上冊[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]呂倫兵.新奧賽時代.七年級數學[M].科學技術出版社，2009.