等弦長(zhǎng)在異圓中所對(duì)的圓心角\\弧長(zhǎng)比較

摘要：相等的弦長(zhǎng)在大小不同的圓中所對(duì)的圓心角、弧長(zhǎng)不同，在大圓中所對(duì)的圓心角較小圓中小，大圓中對(duì)的劣弧長(zhǎng)較小圓中短。

關(guān)鍵詞：等弦長(zhǎng)；異圓；圓心角；弧長(zhǎng)

本文以等弦長(zhǎng)討論在兩個(gè)大小不同的圓中所對(duì)的圓心角以及所對(duì)的劣弧長(zhǎng)的大小關(guān)系，并進(jìn)一步說(shuō)明球面上任意兩點(diǎn)間的所有曲線(xiàn)中是過(guò)這兩點(diǎn)的大圓的劣弧最短，即球面距離。現(xiàn)就這一問(wèn)題作出證明，以下先證明兩個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式。

一、證明2sin■＞xcos■，其中0＜x≤π。

如圖：設(shè)∠AOD=■，OA=1，則有弧ABC=■，由圖可知弧ABC＞AD。?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖

1）當(dāng)x=π時(shí)，2sin■?搖=2＞xcos■=0；

2）當(dāng)0＜x＜π時(shí)，有tan■?搖=■=■＞■=■即有tan■＞■，所以有■＞■，所以有2sin■＞xcos■；

綜合1）、2）知0＜x≤π時(shí)，有2sin■＞xcos■。

二、證明函數(shù)f（x）=■在?搖（0＜x≤π）上是增函數(shù)。

證明：因?yàn)閒'（x）=（■）'=?搖■?搖（0＜x≤π），所以有0＜■≤■，所以有2sin■＞xcos■，2sin■-xcos■＞0，又sin2■＞0所以有f'（x）＞0，故有函數(shù)f（x）=?搖■在（0＜x≤π）上是增函數(shù)。

三、下面證明等弦長(zhǎng)在大小不同的兩個(gè)圓中所對(duì)的圓心角和劣弧長(zhǎng)有：

（1）在大圓中所對(duì)的圓心角比它在小圓中所對(duì)的圓心角小；（2）在大圓中所對(duì)的劣弧長(zhǎng)比它在小圓中所對(duì)的劣弧長(zhǎng)較長(zhǎng)。

這里為了作圖的方便，就以同一弦在兩個(gè)相交圓中為例加以證明。已知圓O和圓O1的半徑分別為R、r（R＞r），AB是圓O和圓O1的公共弦。（如圖）

求證：1）∠AOB＜∠AO1B?搖（0＜∠AOB≤π，0＜∠AO1B≤π）；

2）弧ACB＜弧ADB。?搖?搖?搖

證明：1）在△OAB和△O1AB中，由余弦定理有：（1）AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB，所以cos∠AOB=■=■，同理（2）AB2=O1A2+O1B2-2O1A·O1Bcos∠AO1B，所以cos∠AO1B=■=■，因?yàn)镽＞r所以有■＞■，∴cos∠AOB＞cos∠AO1B，又因?yàn)?＜∠AOB≤π，0＜∠AO1B≤π，所以∠AOB＜∠AO1B。

2）現(xiàn)在求解R和r。設(shè)∠AOB=?茲1，∠AO1B=?茲2，由（1）可知?搖AB2=R2+R2-2R·Rcos?茲1，所以R2=■=■，R=■ （0＜■≤■），?搖同理：由（2）可解得r=■ （0＜■≤■）。

設(shè)過(guò)點(diǎn)A、B的大圓劣弧長(zhǎng)為l1，小圓劣弧長(zhǎng)為l2。

則有弧ACB=R×?茲1=■×?茲1=■；

弧?搖ADB=R×?茲2=■×?茲2=■；

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=■在x∈（0，■]上是單調(diào)增函數(shù)，又由1）知?茲1＜?茲2所以■＜■，

故■＜■成立。

因此弧ACB＜弧ADB。

由以上的結(jié)論可知，球面上任意兩點(diǎn)間的曲線(xiàn)中過(guò)這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長(zhǎng)最短。