矩陣測度在消除電力系統(tǒng)鐵磁諧振中的應用

馮平，王爾智，王維俊

(1.解放軍后勤工程學院機械電氣工程系，重慶401311；2.沈陽工業(yè)大學電氣工程學院,遼寧沈陽110178）

在110～220kV等中性點接地電力系統(tǒng)中，經(jīng)常發(fā)生斷口電容與電壓互感器形成的鐵磁諧振，給電力系統(tǒng)造成很大的危害。圍繞這種諧振的機理及消除方法，國內(nèi)外進行了廣泛的研究[1，2]。從方法上來看，目前對這種鐵磁諧振問題所主要采用的方法有如下幾種。第一是實驗研究[3，4]。即通過大量的實驗數(shù)據(jù)得到各種經(jīng)驗結(jié)論。第二是進行數(shù)值模擬和仿真[5，6]。通過建立模型，在大范圍內(nèi)改變參數(shù)，通過計算機計算得到或驗證參數(shù)的范圍。第三是理論研究[7，8]。即對這種諧振建立相應的數(shù)學模型，通過對模型的理論分析，了解這種諧振的機理，并且尋找消除諧振的方法。這3種方法中，理論分析具有決定性的意義，主要有作圖法[1，8]、諧波平衡法[5，6]、平面相圖法[4]，幅頻法、描述函數(shù)法[1-3]、非線性動態(tài)系統(tǒng)理論[4，7]等。但由于該問題數(shù)學上的復雜性，目前采用的都是各種近似的方法，得到的結(jié)論和試驗數(shù)據(jù)往往有一定的差距。因此，提出和發(fā)展新的分析鐵磁諧振的方法，并對該問題進行更深入的分析是很有意義的。惟一穩(wěn)態(tài)消諧法是近年出現(xiàn)的消除非線性系統(tǒng)諧振新的分析方法[9]。該方法的基本思想是如果非線性系統(tǒng)存在一個非諧振的正常解,并且該系統(tǒng)具有惟一的穩(wěn)態(tài),則此時對應的條件就是系統(tǒng)不發(fā)生諧振的條件。本文將這一方法應用在消除中性點接地電力系統(tǒng)鐵磁諧振的分析中，以矩陣測度為工具，得到了相應的消諧條件。

1.等效電路及其數(shù)學模型

中性點接地電力系統(tǒng)鐵磁諧振的模型如圖1所示[10]。

圖1 鐵磁諧振等效電路

基準值為[11]：對所研究的220kV系統(tǒng)，三相電壓vbase=220kV，單相電壓vbase=127kV，單相視在功率Sbase=100V·A，角頻率ωbase=314 rad/s，阻抗的基準值為Rbase=16 MΩ，Cbase=1（Rbase×ωbase）=1/（5.06×1010）F。互感器磁鏈與電流關(guān)系由一個三階代數(shù)方程表示如下：

式中：ψ為互感器磁鏈，此處a=3.42，b=0.41。

對應于圖1，按照圖中的參考方向，可以得到電路的狀態(tài)方程為：

歸一化后電路的微分方程為：

可證明，電路至少存在一個以T為周期的解[12]。對于式（2），設其任意2個有界解為：

并令：

于是可以得到增量狀態(tài)方程為：

考慮式（4）的一般形式：

顯然，如果式(5)的零解X=0是全局漸進穩(wěn)定的，即：

則圖1所示電路的穩(wěn)態(tài)惟一，即系統(tǒng)的不諧振條件。

2 電路惟一穩(wěn)態(tài)的條件求取[9]

惟一穩(wěn)態(tài)消諧法的基本思想是如果非線性系統(tǒng)存在一個非諧振的正常解,并且該系統(tǒng)具有惟一的穩(wěn)態(tài),則此時對應的條件就是系統(tǒng)不發(fā)生諧振的條件。按照這一方法，對于圖1和狀態(tài)方程（3），大量實驗和運行經(jīng)驗表明其有多個穩(wěn)態(tài)解，其中最常見的穩(wěn)態(tài)解，就是沒有發(fā)生諧振時，對應于系統(tǒng)正常工作狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)解。系統(tǒng)的其他非正常的穩(wěn)態(tài)解，則是由于擾動，引起C與L之間的鐵磁諧振造成的穩(wěn)態(tài)解。顯然這些非正常的穩(wěn)態(tài)解對于系統(tǒng)是有害的，如果能夠使經(jīng)擾動后的非正常穩(wěn)態(tài)解趨于正常的穩(wěn)態(tài)解，即使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解惟一，那就可以達到消除系統(tǒng)鐵磁諧振的目的。

為求得系統(tǒng)的惟一穩(wěn)態(tài)，首先給出如下定義：定義1對于2矩陣A=(aij)n×n和B=(bij)n×n，如果aij≥bij，則記A≥B。

定義2[12]對于矩陣A=(aij)n×n如其范數(shù)是：

則其測度定義為：

即：

于是，有如下的定理：

定理1，對于式（5），如果μp（A）＜0，則式（2）有惟一穩(wěn)態(tài)。證明：

顯然，如果μp（A）＜0，則即式（2）有惟一穩(wěn)態(tài)。證畢。

下面根據(jù)定理1，推導消除諧振的條件。對比式（4，5），顯然有：

于是，根據(jù)定理1，得到圖1所示的鐵磁諧振電路不發(fā)生諧振的條件為定理2。

定理2，對于圖1所示電路，其不發(fā)生諧振的條件為：

根據(jù)文獻[6]取參數(shù)(均為標幺值)E=1，a=3.42，b=0.41，C=0.5，3.42＜KL＜8.8，角頻率為1，代入定理2，得到當R2＞2.0，0＜R1＜0.5時，沒有鐵磁諧振發(fā)生。

3 數(shù)值模擬與討論

下面取不同的參數(shù)，在不同的初始條件下，對電路進行模擬仿真，以檢驗電路是否發(fā)生諧振。初始條件順序為：磁鏈、電容電荷、時間、初始條件按文獻[6]選定。

通過模擬結(jié)果表明，如果電路參數(shù)滿足定理2的條件，則電路無論在何種初始條件下，雖然經(jīng)過非常復雜的振蕩過程，其穩(wěn)態(tài)都將是惟一的，最終所有解都將趨近正常解，不會出現(xiàn)鐵磁諧振，驗證了本文給出的條件的正確性。

如下是其中一組數(shù)據(jù)的振蕩過程。初始條件：ψ0=2.4，q0=1.4，t0=0。

圖2 電路穩(wěn)態(tài)相圖

4 結(jié)束語

本文根據(jù)惟一穩(wěn)態(tài)消諧法基本思想，利用矩陣測度，分析了消除中性點接地電力系統(tǒng)的鐵磁諧振的參數(shù)條件，得到了相應的消諧條件。同時通過數(shù)值模擬進行驗證，表明結(jié)果正確，同時也說明惟一穩(wěn)態(tài)消諧法有效性。

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