應用型背景下的《常微分方程》課程改革研究

喬宗敏

（合肥師范學院 數學系，安徽 合肥 230039）

應用型背景下的《常微分方程》課程改革研究

喬宗敏

（合肥師范學院 數學系，安徽 合肥 230039）

應用型人才培養模式下，傳統課程體系、教學方法和手段都要進行深刻的改革。常微分方程理論具有較強的應用性，對培養學生實踐能力和創新意識有很大的幫助，因此研究常微分方程課程改革有重要的意義。本文從六個方面對常微分方程課程改革的內容及教學方法進行了一些實踐與探索。

常微分方程；改革；應用能力

按照學院應用型人才培養目標的要求，新的人才培養方案已經實施，為了把應用型的理念落到課程，應用型的課程體系和課程內容的改革勢在必行。如何用新的思路去改進教學方法，如何將新知識新方法注入教學中成為“常微分方程”課程教學面臨的新課題。圍繞培養“應用型人才”的需要，我們擬對常微分方程課程進行教學改革，以重視學生在學習中的主體地位為前提，努力培養學生的創新意識和實踐創新能力。堅持“精講基礎，注重應用，提高能力”的教育改革模式，培養具有良好數學基礎，能應用微分方程研究和解決一些基本的實際問題。

目前教學中存在的問題［1］：面臨學時普遍壓縮的局面，在教學內容的處理方面，只注重講授微分方程的基本概念、基本理論及其解法，而不講或略講常微分方程模型的建立方法及方程的實際意義。事實上，很多的常微分方程反映的是物理、力學、生物、化學及氣象中的關系模型等，弄清楚這些具體問題對于培養學生對常微分方程的學習興趣是極其重要的。課堂教學上往往呈現 “老師在上面講，學生在下面記”的情形．這樣的教學完全忽視了學生學習的積極性，扼殺了學生的創新意識和創新能力；在習題的解答上也是老師代替學生獨立思考問題使學生形成“為了考試和學分而讀書”的不良局面．靈活性不夠，授課方式單一，忽略了課堂教學應以學生為中心。也面臨著學時減少與教學內容不變的矛盾．也有一個觀點認為，按給的學時來上課，講到哪里就算哪里，其余的讓學生自學．然而，根據以往的經驗，如果老師沒有講的內容，絕大多數學生不會自己去看，何況很多內容如果沒有教師的指導，學生自己是看不懂。教學內容的處理不太合理，有些定理的證明過程往往是很重要的，但是由于時間關系，教師往往會略去一些復雜的證明，導致學生的掌握一知半解。

常微分方程課程改革與建設的主要目標為制定課程標準和課程大綱，修訂教學計劃，優化課程體系結構，整合、更新教學內容，全面進行課程建設，改進教學方法，整體提高教學質量。課堂教學將始終貫穿知識的應用，不再是完全理論的學習，而是與現實生活緊密聯系，把方程在數學模型中的應用充分的體現出來，調動學生的學習熱情。同時完善課程的課件，改進教學手段。課程改革和建設的基本思路和主要措施有：

1 課程標準和教學大綱的制定

新的教學大綱，在教學大綱中要貫徹保證三基（基本理論、基本方法、基本技能），培養學生的能力，增強學生的數學應用意識，努力提高學生的素質。以能力培養為導向，與培養目標完善關于教材的使用意見、課程體系的理論框架。主要圍繞該課程各知識之間的緊密聯系進行重新整合，使得各個知識點形成一個有機整體。新課程標準中突出以應用為目的，以“夠用”為度的教學原則，在內容上和教學時數上主要體現在以下幾個方面：適當壓縮教學課時、突出應用設計理念、優化組合內容。教學大綱按照“基礎理論＋應用模塊”的設計思路，打破原有的理論知識體系，按照能力取向和知識的特點設計組織課程單元，每個單元按照“問題的提出－問題的分析－問題解決－程序實現”編排，充分融入數學建模思想，提高課程的學習效果。

2 更新教學內容

根據教學大綱確定的理論體系和知識單元，合理組織教學內容，對傳統教材內容作適當的編排、增減，保證課程體系更科學，在內容選擇上更適合學生的能力應用能力的培養。對常微分方程教材的內容進行優化，大體上應包含下列主要內容［2］：求通解的各種方法——初等積分法；線性方程、線性方程組的基本理論和初等解法；初值問題解的一般基礎理論；一般非線性方程（組）的定性方法初步介紹（包括穩定性理論初步）。在教學中適當刪減理論性偏強，過程煩瑣的定理證明，多增加應用性的例題和題目，例如利用微分方程建立數學模型方面的例題，利用現代計算機數學軟件去解微分方程及方程組等方面的知識，引導是學生通過學習 Matlab、Mathematic、Maple等數學軟件來驗證一些微分方程的理論上的求解方法，使學生在的理論水平和實踐能力都得到了提高。根據具體章節內容還可以選擇適當的案例，細菌增長模型、生物種群生態模型、SIR傳染病模型、懸鏈線問題、戰爭模型、數學擺的穩定性問題等。由于課程的應用面越來越廣泛，與其他課程之間的聯系日益緊密，組織教學內容始終貫穿知識的應用，不再是完全理論的學習，而是與現實生活緊密聯系。同時，在教學中貫穿知識關聯，了解微分方程與各課程之間的緊密聯系，為后繼課程（如數學建模、微分幾何、數學方程、泛函分析等）的學習服務。

3 倡導問題解決的教學模式

不少學生在學習微分方程時，不知道有什么用途，缺乏學習的動力和興趣，導致學生認為數學是一門非?？菰锏膶W科。數學建模的思想為我們提供了一種對常微分方程改革的思路，就是要把常微分方程的教學與數學建模結合起來，在常微分方程教學中滲透建模思想，這樣不但可以使學生了解常微分方程建立的背景、方法和實際意義，而且還能提高學生將常微分方程、計算機等方面的知識應用于實踐的能力，提高學生數學建模的能力。課堂教學中貫穿微分方程知識在現實生活中的應用，結合典型的微分方程模型，讓學生初步掌握用微分方程建立數學模型。從實際問題出發建立具體微分方程模型，然后抽象為一般微分方程模型；從實例的求解方法分析到一般求解方法的提煉，進一步分析解的性質；從數學思想的直觀理解到嚴密的數學推理、論證；抽象數學理論體系與實際應用的關系；這些是課堂教學的改革方向。純粹的理論分析與計算機輔助教學和學習相結合的關系，實現課程與技術的完美融合。課堂講授采用計算機多媒體進行教學，從問題的提出入手，重點在于對問題進行理論分析，建立微分方程模型，在過程中展示理論知識的巨大作用，利用網絡積極采用“教學模擬”、“教學游戲”、“智能導師”、“微型世界”、“情景化學習”、“探究性學習”等現代教學方法［3］。在課堂教學中，講解理論和方法時，盡可能選取實例加以分析。如對物體冷卻過程的數學模型建立，完整的講解從實際背景出發，建立微分方程，然后運用所學的知識來解方程，討論解的各種情形，并做出關于背景的解釋，從而掌握常微分方程的基本方法。

4 開設討論課，提高自主學習和和研究能力

加強討論課的教學以培養學生的自主學習能力，拿出部分內容讓學生走上講臺，讓學生開始實現從“聽眾”到 “演員”的角色轉換，培養他們對問題的報告能力、講解能力和快速反應能力，對于師范專業的學生，以后他們無論是繼續攻讀研究生還是到學校任教，都需要這樣的能力。教師給予一定的指導，有較好效果的給予一定的鼓勵，成績以附加分的形式記入期末總評成績，讓學生參與討論課的教學全過程，相互之間通過分析、討論去尋求解決問題的方法，這樣才能體現學生在學習中主體地位，同時培養了學生分析問題，運用所學的知識解決問題的能力，從而提高學生的素質。根據內容特點，在理論難度較大的部分，如存在唯一性及其解的延拓、解對初值連續性定理等，組織課堂討論，除概念本身外，用典型求解的最大存在區間例題讓學生討論、總結，使學生能更好地理解定理內容。以專題形式，讓學生進行創新性學習，以小組的形式體驗解決問題的全過程，提高學習的樂趣和學生的積極性。

5 指導學生撰寫小論文，重視學生的主體作用

學生參與分析解決問題的動態過程，重視學生主動探索、獲取知識的主體能動作用。例如在講解積分因子這一節內容時，向學生闡明，只要有解的一階顯式微分方程都存在積分因子，那么變量分離方程、齊次方程、一階線性微分方程、伯努利方程的積分因子能否求出來？如果能用積分因子法解此類方程則與原有的方法之間又有什么聯系與區別？提出思路讓學生動手去撰寫小論文，這樣培養了學生獨立思考、尋求事物之間的相互聯系的能力，同時也培養了學生的數學研究能力。小論文可以獨立完成，也可以小組合作完成，從而可以培養學生的團隊合作精神［4］。

6 開放數學建模實驗室，開發利用網絡資源

為了進一步提高學生的應用和動手能力，以數學建模實驗室為依托，定期向學生開放。一方面可以完成規定的實驗項目和實驗作業，另一方面學生可利用提供的設備，自己設立題目，教師的作用是指導和審核學生提出的方案與題目，從而培養學生的創新能力。同時可以把制作的電子課件上傳到校園網上，方便學生進行自主學習，打破了學生在學習時間上的限制和教師在輔導教學中的被動性，使教和學互動起來，真正達到教學相長的目的，同時也增加了學生自我學習的積極性，有效改善了傳統教學手段的單一性，一定程度上可以彌補課堂教學學時的不足。網絡資源平臺可以給學生提供微分方程學習資源，促進學生自主學習能力的提高［5］。

對常微分方程課程內容的整合和教學方式的改革，還必須有配套的考核機制的改革，實現考核形式多元化，重視過程性考核，學生出勤、上課表現、作業完成情況、討論課和小論文撰等都可以作為考核評價項目，同時嘗試開展雙語教學、采用英語板書可以擴大學生視野，培養學生的綜合能力。學生應用能力的培養才能培養出基礎知識扎實，專業知識面寬，實踐能力強的應用型人才。

［1］ 王高雄等．常微分方程（第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2007．

［2］ 張偉年．本科數學專業常微分方程教學改革與實踐［J］．高等理科教育，2003，1：19-21．

［3］ 李大潛．將數學建模思想融入數學類主干課程［J］．中國大學數學，2006，1：9-11．

［4］ 劉會民，那文忠等．常微分方程課程教學模式的改革與探索［J］．數學教育學報，2006．2．

［5］ 徐勝林．常微分方程學習指導［J］．高等函授學報，2004．2：19-21．

The Research of Curriculum Reform in Ordinary Differential Equations under the Applied Environment

QIAO Zong-min（Department of Mathematics，Hefei Normal University，Hefei Anhui 230061）

Under the training model of the application-oriented，the traditional curriculum，teaching methods and means should be reformed in depth．Ordinary differential equation theory has a strong application，which is a great help to students in practical ability and innovation．Therefore the reform study of ordinary differential equations curriculum has important significance．In this paper，from six aspects some practice and exploration of curriculum reform content and teaching methods are given for ordinary differential equations．

ordinary differential equation；reforming；application ability

O175．1

A

1674-2273（2011）06-0020-03

2011－07－10

安徽省高等學校教學研究項目（2010J248A）

喬宗敏（1975－）男，山東無棣人，博士，合肥師范學院數學系副教授。