案例教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生研究解題方法

引導(dǎo)學(xué)生研究解題方法、探索解題技巧，是每一個(gè)教師義不容辭的責(zé)任。教學(xué)中教師的主要任務(wù)就是要教會(huì)學(xué)生明確解題目的，理清解題思路，弄清解題程序，并在解題后進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶剿髋c研究。

一、明確解題目的

學(xué)生解題時(shí)，常常是急于求出問(wèn)題的答案，對(duì)于推理、計(jì)算的嚴(yán)密性、解題方法的簡(jiǎn)捷性和合理性不夠重視。學(xué)生對(duì)于解題的思路是什么，是否有簡(jiǎn)捷合理的解題方法，題目所給的條件、結(jié)論與哪些知識(shí)有關(guān)，該題有哪些變換形式等缺乏聯(lián)想與思考。以上問(wèn)題若不予以考慮，數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就很難達(dá)到。只有明確了解題目的，才能切實(shí)提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

二、弄清解題程序

解數(shù)學(xué)題就是運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，尋求、得出習(xí)題的答案。它是一個(gè)綜合過(guò)程，需要經(jīng)過(guò)：

讀題：拿到題目后，要把題目一字不漏地讀一遍，弄清題型，明確題意。

審題：任何一道數(shù)學(xué)習(xí)題，一般是由已知條件和目標(biāo)兩部分組成，通過(guò)讀題目要從中找出已知條件和需求目標(biāo)，即弄清已知和未知的內(nèi)存聯(lián)系。

分析：分析就是從問(wèn)題的條件和要達(dá)到的目標(biāo)開始。它包括：①根據(jù)題目已知條件與要尋求的結(jié)論大致要用到哪些知識(shí)、概念、數(shù)量關(guān)系；②對(duì)題目的條件、結(jié)論進(jìn)行剖析，通過(guò)聯(lián)想、類比與變換，確定應(yīng)用某種知識(shí)、概念、數(shù)量關(guān)系；③綜合運(yùn)用邏輯思維與非邏輯思維的方法，尋求解題思路，確定解題方法。

解題：找到了解題途徑，就要考慮怎樣解題，先做什么，后做什么，再做什么，是進(jìn)行推理證明、計(jì)算、還是作圖，從而得出習(xí)題的答案。

三、解題后的探索與研究

題目解答完后，要適當(dāng)進(jìn)行解題研究。①檢驗(yàn)是否有疏忽、遺漏，答案是否正確。②與題目有關(guān)的知識(shí)是否都考慮到了，題目的限制條件是否已用上。③通過(guò)對(duì)習(xí)題的再認(rèn)識(shí)、再聯(lián)想得出不同的解法，能否找到更簡(jiǎn)捷合理的解法，從一題多解中提煉出最優(yōu)的解法。④通過(guò)多途徑、多角度地認(rèn)識(shí)問(wèn)題，在加深對(duì)問(wèn)題理解的基礎(chǔ)上再思考一下：題目的條件不變，能否得到其他結(jié)論；或結(jié)論不變，是否可以換成其他條件；通過(guò)一題多變深層次的認(rèn)識(shí)題目的內(nèi)涵與外延。

解數(shù)學(xué)題本身不是目的，它只是一種掌握知識(shí)和學(xué)會(huì)運(yùn)用知識(shí)的必不可少的訓(xùn)練手段，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的演練。它的目的在于：①加強(qiáng)基本功訓(xùn)練，加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握；②學(xué)會(huì)運(yùn)用知識(shí)，增強(qiáng)解決問(wèn)題的能力；③掌握數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維的能力。學(xué)生往往會(huì)通過(guò)解很多習(xí)題，力求達(dá)到以上目的，而誤入題海歧途，當(dāng)然，多做題對(duì)增強(qiáng)解決問(wèn)題的能力確有一定好處，但這種硬拼苦練，只能是事倍功半。若在解題時(shí)對(duì)題目進(jìn)行一些變換或研究一題多解，則可事半功倍。下面通過(guò)具體案例說(shuō)明。

案 例

例：求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值（高二數(shù)學(xué)課本（必修本）P233例題9）。

學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)感到比較難以掌握，教師講起來(lái)也顯得較為枯燥。利用一題多解和一題多變的特點(diǎn)來(lái)探究此題的解法，既提高了學(xué)生的興趣，又活躍了課堂氣氛，這樣教學(xué)學(xué)生不但積極參與，還能培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和創(chuàng)造思維能力。

師：你們已經(jīng)預(yù)習(xí)了，這道題你們是怎樣解的？

生：利用二倍角公式進(jìn)行降次后積化和差、和差化積（大多數(shù)學(xué)生）。

師：很好，試一試。（叫一個(gè)同學(xué)演板）

學(xué)生馬上動(dòng)手，多數(shù)學(xué)生能解決。少數(shù)學(xué)生不能動(dòng)手。我還是給出了問(wèn)題的解答。

解：原式=■+■+■

=1+■+■sin50°-■

=■-sin30°sin50°+■sin50°=■

點(diǎn)評(píng)：（解題不能只是心到，還要能動(dòng)手做到）。這類有二次的三角函數(shù)的求值問(wèn)題，通用方法是“降次法”。但要注意：用公式求值時(shí)，公式要用得準(zhǔn)確，尤其是符號(hào)不能錯(cuò)。

師：想一想，有別的方法嗎？

生：提取公因式。（個(gè)別學(xué)生）

師：行不行呢？我們一起試一試。

解：原式=sin210°+cos40°（cos40°+sin10°）

=sin210°+cos40°（cos40°+cos80°）

=sin210°+cos40°·2cos60°·cos20°）

=■+■

=■+■-■+■=■

點(diǎn)評(píng)：（動(dòng)手才能解決問(wèn)題）。這類問(wèn)題的解法主要是通過(guò)降次達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。這種解法雖然沒有直接降次，但通過(guò)提取公因式后與上面解法異曲同工。

師：能不能提取sin10°呢？

生：能，一定能行。（多數(shù)學(xué)生）

師：試一試。（學(xué)生很有興趣地進(jìn)行了演算，而且結(jié)果正確）能否找到其他別的方法，（學(xué)生面露難色，一副期待老師的神態(tài)）。下面介紹一種特殊解法——構(gòu)造法。

解：令A(yù)=sin210°+cos240°+sin10°cos40°①

B=cos210°+sin240°+cos10°sin40°②

①+②得：A+B=2+sin50°③

①－②得：A－B=－cos20°+cos80°+sin30°=－■－sin50°④

③+④得：2A=2－■=■，A=■所以，sin210°+cos240°+sin10°cos40°=■

生：太妙了，給一個(gè)做一做。

師：好。

求值：cos210°+cos250°+cos270°（一部分學(xué)生很快得出了結(jié)果3/2）

點(diǎn)評(píng)：（講課達(dá)到高潮，激發(fā)了學(xué)生的興趣）說(shuō)明：這種方法稱為構(gòu)造對(duì)偶式，就是把式中的三角函數(shù)變?yōu)樗挠嗪瘮?shù)，這個(gè)方法在三角函數(shù)的求值中應(yīng)用廣泛，大家要很好地掌握。

研究：以上我們用了多種解法，這就是一題多解，以后大家做題時(shí)，要多加思考，研究題目的解法，最好能找到最簡(jiǎn)捷合理的解法。看一看，把這道題變換一下成為：sin210°+sin250°+sin10°sin50°，結(jié)果變了沒有？

一部分同學(xué)在演算（過(guò)了一會(huì)兒），算后結(jié)論是沒有的。

師：對(duì)，是沒有，那么，觀察一下，它的角度有什么特點(diǎn)？

生：其和為60°。

師：你能猜測(cè)出一般的結(jié)論嗎？

生：少數(shù)學(xué)生說(shuō)：sin2α+sin2（60°-α）+sinαsin（60°-α）=■，

師：對(duì)不對(duì)呢？驗(yàn)證一下。（一部分學(xué)生很快做出了證明）

師：結(jié)論是正確的，可以采用上面介紹的各種方法。再想一想，若變?yōu)橛嘞夷兀繒?huì)有什么結(jié)論？（老師引導(dǎo)）

先將sin210°+sin250°+sin10°sin50°變?yōu)閏os280°+cos240°+cos80°cos40°觀察角度有什么特點(diǎn)，其結(jié)果變了嗎？

生：（高興地說(shuō)）角度的和為120°，結(jié)果不變。

師：能得出一般結(jié)論嗎？

生：（部分學(xué)生肯定地說(shuō)）cos2α+cos2（120°-α）+cosαcos（120°-α）=■。

師：對(duì)不對(duì)呢？留給你們自己去驗(yàn)證。

研究：題目的條件變化，結(jié)論可以不變，也可以改變，還可以推廣到一般的結(jié)論，從中可以悟出一般的規(guī)律，這就是一題多變的精髓所在，進(jìn)而可以促使學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中要多“思”、多“悟”，能舉一反三。

（責(zé)任編輯：張華偉）