中考數學中“規律”題的賞析(一)

近年來，中考數學中“規律”題以其形式多、內容豐富、探究性強、創新性高的特點，在各地中考試題中頻頻出現，而成為中考試題的一大亮點。

下面，筆者對近年來中考數學中“規律”題進行歸類、剖析，談談解“規律”題的技巧和方法，以求對同學們的學習有所啟迪和幫助。

一、“圖形的排列”型規律

例1 （2011年煙臺市中考題）如圖1所示通過找出這組圖形符號中所蘊含的內在規律，在空白處的橫線上填上恰當的圖形。

剖析：這組圖形符號由“A、B、C、D、E、F”雙英語字圖組成，其中奇數個位置上的兩個字母為上下軸對稱圖形，偶數個位置上的兩個字母為左右軸對稱圖形，故橫線上應填“ ε”。

例2 （2010年眉山市中考題）如圖，將第一個圖（圖（2））所示的正三角形連接各邊中點進行分割，得到第二個圖（圖（3））；再將第二個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進行分割，得到第三個圖（圖（4））；……則得到的第五個圖中，共有 個正三角形。

剖析：圖（2）中有一個正三角形；圖（3）中有5個正三角形，即1 + 4×1；圖（4）中有9個正三角形，即1 + 4 + 4 = 1 + 4×2……

二、“數字的排列”型規律

例3 （2011年廣東省中考題）如表1是由1開始的連續自然數組成的，觀察規律并完成各題的解答。

（1）表1中第8行最后一個數是 ，它是自然數 的平方，第8行共有 個數；

（2）用含n的代數式表示：第n行第一個數是 ，最后一個數是 ，第n行共有 個數；

（3）求第n行各數之和。

剖析：（1）第8行最后一個數是64，它是8的平方，第8行共有15個數。

（2）第n行第一個數是(n－1)2 + 1，最后一個數是n2，第n行共有2n－1個數。

（3）第2行各數之和等于3×3；第3行各數之和等于5×7；第4行各數之和等于7×13；類似地，第n行各數之和等于(2n－1)#8226;(n2－n + 1) = 2n3－3n2 + 3n－1。

例4 （2011年益陽市中考題）觀察下列算式：

（1）1×3－22 = 3－4 =－1；

（2）2×4－32 = 8－9 =－1；

（3）3×5－42 = 15－16 =－1；

（4） ；

……

1、請你按以上規律寫出第（4）個算式；2、把這個規律用含字母的式子表示出來；3、你認為2中所寫出的式子一定成立嗎？請說明理由。

剖析：本算式的規律為：n(n + 2)－(n + 1)2 =－1，所以第4個算式為：4×6－52 = 24－25 =－1.

（2）中式子一定成立，∵n(n + 2)－(n + 1)2 = n2 + 2n－(n2 + 2n + 1) = n2 + 2n－n2－2n－1 =－1.

三、“圖形的平移”型 規律

例5 （2011年臨沂市中考題）如圖5，下面各圖都是用全等的等邊三角形拼成的圖形，則第10個這樣的圖形中，共有 個等腰梯形。

剖析：圖5第1個圖形有一個等腰梯形，第2個圖形有4個等腰梯形，第3個圖形有9個等腰梯形，第4個圖形有16個等腰梯形，由此歸納出：第n個圖形有n2個等腰梯形，所以第10個這樣的圖形中有100個等腰梯形。

例6 （2011年深圳市中考題）如圖6所示，是由邊長為1的等邊三角形擺出的一系列圖形，按這種方式擺下去，則第n個圖形的周長是 。

剖析：題圖（1）的周長是1 + 2 = 3，圖（2）的周長是2 + 2 = 4，圖（3）的周長是3 + 2 = 5，……則第n個圖形的周長是n + 2.

四、“圖形的翻折”型規律

例7 （2010年濰坊市中考題）如圖7所示，一般書本的紙張是對原紙張進行多次對開得到的，矩形ABCD沿EF對開后，再把矩形EFCD沿MN對開，依此類推，若各種開本的矩形都相似，那么等于（ ）。

A、0.618 B、 C、 D、2

剖析：因為矩形ABCD對開后得到與它相似矩形ABFE，根據相似多邊形的性質，=，而AE =AD，所以=，AB2 = AD2，所以=，故選B。

例8 （2009年濟寧市中考題）將一正方形紙片按下列順序折疊，然后將最后折疊的紙片沿虛線（直角三角形的中位線）剪去上面的小直角三角形，如圖8所示

將留下的紙片展開，得到的圖形是圖9中（ ）。

剖析：用軸對稱的知識，按照對稱展開法用筆在圖形上逐步畫出虛線即可得到答案，具體過程如圖10所示：

五、“圖形的旋轉”型規律

例9 （2011年河北省中考題）如圖11，給正五邊形的頂點依次編號為1、2、3、4、5，若從某一頂點開始，沿正五邊形的邊順時針行走，頂點編號的數字是幾，就走幾個邊長，則稱這種走法為一次“移位”。

如：小宇在編號為3的頂點時，那么他應走3個邊長，

即從3→4→5→1為第一次“移位”，這時他到達編號

為1的頂點；然后從1→2為第二次“移位”。

若小宇從編號為2的頂點開始，第十次“移位”后，則他所處頂點的編號是 。

剖析：第一次“移位”即2→3→4；第二次“移位”，即4→5→1→2→3；第三次“移位”，即3→4→5→1；第四次“移位”即1→2，綜上可知，四次“移位”后又回到2，因為10 = 4×2 + 2，所以第十次“移位”后與第二次“移位”后結果相同。

例10 （2010年河北省中考題）將正方體骰子（相對面上的點數分別為1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如圖12（1）所示，在圖12（2）中，將骰子向右翻滾90°，然后在桌面上按逆時針方向旋轉90°，則完成一次變換，若骰子的初始位置為圖（1）所示的狀態，那么按上述規則連續完成10次變換后，骰子朝上一面的點數是

A、6B、5C、3D、2

剖析：第一次操作向上的是5，第二次是6，第三次是3，第四次是5……依次類推，三次一個循環，第10次變換后朝上一面的點數應為5，故選B。（未完待續）