依托創新 考查潛能(2)

4. 以“數列”素材為背景，依托創新、考查潛能

數列是高中數學內容的知識主干，等差數列、等比數列是知識的主要呈現方式，抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力等在此大有用武之地，因此“知識交匯”就成了高考數列試題創新的集中地，極大地突出了潛能考查。

例10 (原創) 設{an}為等差數列，a1=2，公差d=2，{bn}為等比數列，b1=150，公比q=(m，n∈N*)，以點(0，2)為圓心， bm為半徑的所有圓中，是否存在與直線y=x+an相切的圓?若存在，求出m，n的值;若不存在請說明理由。

創新亮點：本試題以數列、直線、圓為知識載體，借助數學知識的包容性交匯（“以點(0，2)為圓心， bm為半徑的所有圓中，是否存在與直線y=x+an相切的圓”），依托數學問題的背景創新、知識交匯的創新，編擬的一道探究性問題，充分考查了考生綜合運用數學知識解決問題的能力，考查了函數與方程思想、化歸與轉化的數學思想。

例11 等差數列{an}中，a1=2，公差d是自然數，等比數列{bn}中，b1=a1，b2=a2。

(1) 試找出一個d的值，使{bn}的所有項都是{an}中的項;再找出一個d的值，使{bn}中的項不都是{an}中的項(不必證明);

(2) 判斷d=4時，是否{bn}中的所有項都是{an}中的項，并證明你的結論;

(3) 探索當且僅當d取怎樣的自然數時， {bn}中的所有項都是{an}中的項，并說明理由。

解析:(1)d=0時， {bn}的項都是{an}中的項(任一非負偶數均可)；d=1時， {bn}的項不都是{an}中的項(任一正奇數均可)。

(2)d=4時，an=4n-2=2(2n-1)，bn=2×3n-1=2(2×-1)=am。

∵m=，所以{bn}的項一定都是{an}中的項。

(3)當且僅當d取2k(k∈N*)(即非負偶數)時， {bn}的項都是{an}中的項。理由是:

①當d=2k(k∈N*)時，an=2+(n-1)#8226;2k=2［1+(n-1)#8226;k］，

n＞2時，bn=2#8226;(k+1)n-1=2(kn-1+C1n-1kn-2+…+ k+1)，

其中kn-1+C1n-1kn-2+…+ k是的非負整數倍，設為Ak（A∈N*）為，只要取m=A+1（m為正整數)即可得，即{bn}的項都是{an}中的項。

②當d=2k+1(k∈N*)時，b3=不是整數，也不可能是{an}的項。

創新亮點：本試題立足于等差、等比數列，充分利用等差、等比數列的共性與個性，依托設問方式創新、求解方式的創新，很好的考查了等差、等比數列的知識內涵，還全面考查了特殊與一般的數學思想、分類與整合以及化歸與轉化的數學思想，充分考查了考生的學習潛能。

例12 （2011高考沖刺）數列{an}滿足:a1=2，an=1-(n=2，3，4，…)。若{an}有一個形如an=Asin(ωn+φ)的通項公式，其中A，B，ω，φ均為實數，且A＞0，ω＞0，|φ|＜則此通項公式為 。

創新亮點：本試題以數列、三角函數及其圖象性質等知識為載體，借助數列、三角函數知識內涵交匯，依托問題背景創新、知識內容創新，很好的考查了考生綜合運用數學知識解決問題的能力、含字母的運算能力、考查了函數與方程、化歸與轉化的數學思想。［答案：an=sin(n-)+］。

5. 以“三角”素材為背景，依托創新、考查潛能

三角函數是高中數學內容的知識主干，也是后續學習必備的重要知識。三角函數的學習內容集概念、定義、定理、公式、圖象性質等，涵蓋了中學數學學習各項要素，全面體現了數學思維品質、數學思維能力、數學思想方法，更是課標課程高考考查潛能不可或缺的領地。

例13 （2009三明高三質檢）如圖1，過原點且傾斜角為α的直線交單位圓一點A(，)，C是單位圓與X軸正半軸的交點，B是單位圓上第二象限的點，且三角形AOB為正三角形。

（1）求sin2與sin∠BOC的值；

（2）現向單位圓內隨機投擲一個點，求該點落在△BOC內的概率。

創新亮點：本試題從三角函數定義出發（由三角函數單位圓定義知cosα=x，sinα=y，單位圓上的點（x，y）即(cosα，sinα)，這就為三角函數求值問題，如：求cos(α±β），sin(α±β），tan(α±β），sin2α，cos2α，sin2，cos2……的值，帶來很好的切入點），依托知識內容創新，編擬以三角函數求值為目標，考差和角公式的靈活應用，不但考查了余弦定理，三角形面積公式的應用，還結合了新課程”幾何概型”的考查，更是一個亮點。

例14 （2011三明高三期末）已知函數f(x)的定義域為R，現有以下三個條件：

①f(0)=f=1；②當0≤x≤時， f（x） ≤2；

③ 對于任意x1，x2∈R，恒有f（x1+x2）+f（x1-x2）=2f（x1）cos2x2+4asin2x2（其中a為常數）。

（Ⅰ）請寫出滿足上述三個條件中的兩個條件且形如f（x）=Asin(ωx+φ)+h的函數（寫出一個符合題意的函數即可）；

（Ⅱ）若函數f（x）滿足條件③，求證：f（x+）+f（x）為常數；

（Ⅲ）是否存在同時滿足上述三個條件的函數f（x）？若存在，求出f（x）及a的取值范圍；若不存在，請說明理由。

創新亮點：本試題以三角函數及其圖象性質等知識為載體，借助數學特有的符號語言，依托條件呈現與設問方式創新，全面考查了考生運算能力和創新意識，考查了函數與方程、化歸與轉化的數學思想。

例15 （新編）如圖2，A，B是單位圓O上的點，OA為角α的終邊，OB為角β的終邊，M為AB的中點，連結OM并延長交圓于C點。

(1) 若α=，β=求點M的坐標;

(2) 設α=θ（θ=［0，］），β=，C點坐標為(m，n)，求y=m+n最小值，并求使函數取得最小值時θ的取值。

創新亮點：本試題從三角函數定義出發（由三角函數單位圓定義知cosα=x，sinα=y，單位圓上的點（x，y）即（cosα，sinα）， 這就為形如：求F=ax+by的三角函數周期、單調性、最值等問題的命題編擬帶來新的思路），依托知識內容的創新、求解方法的創新，全面考查了考生運算能力和創新意識，考查了函數與方程、化歸與轉化的數學思想。

6. 以“概率統計”素材為背景，依托創新、考查潛能

自從高中教材增加了“概率統計”內容后，“概率統計”逐漸成為高考考查的熱點。高考命題中“概率統計”試題一般取材于考生熟悉的學習、生活實際問題，具有很好的現實意義，不僅考查了考生對相關“概率統計”知識的理解水平，而且以這些知識為載體，考查考生將知識遷移到現實情景的能力，從而考查考生應用知識分析問題、解決問題的能力。從近年的高考試題來看，概率統計試題尤其注重在知識網絡的交匯處設計。

例16 （2009福建高考理16）從集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一個。

（I）記性質r：集合中的所有元素之和為10. 求所取出的非空子集滿足性質r的概率；

（II）記所取出的非空子集的元素個數為ξ，求ξ的分布列和數學期望Eξ。

例17 姐妹題（2010福建高考理16）設S是不等式x2-x-6≤0的解集，整數m，n∈S。

（I）記“使得m+n=0成立的有序數組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件；

（II）設ξ=m2，求ξ的分布列及其數學期望Eξ。

創新亮點：例18以概率統計、集合、排列組合為知識載體，例19以概率統計、不等式為知識載體，借助數學知識的內在聯系和知識的綜合性，依托數學問題的背景創新、知識交匯的創新所編擬的試題，考查了考生應用的意識、數據處理能力與運算求解的能力，考查了分類與整合思想、必然與或然思想、化歸與轉化思想。

綜上所述，創新型試題有利于更好地考查數學思想，考查考生的數學思維能力，檢測考生的數學素養以及進入高等學校繼續學習的潛能。因此，數學教師自身首先要成為教育研究者，要具有開闊的數學視野和探索、創新精神，在教學中，能準確把握高中數學的本質和關鍵，注重培養學生的數學思維能力、探究意識和創新精神，從而培養好學生的數學素質和學習潛能。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（實驗）［S］. 北京：人民教育出版社，2003.