初中函數(shù)教學(xué)之我見

函數(shù)是貫穿于初中及高中數(shù)學(xué)的重要知識，對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力有很大的作用，在初中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位。從中學(xué)數(shù)學(xué)知識的組織結(jié)構(gòu)看，函數(shù)是代數(shù)的“紐帶”，代數(shù)式、方程、不等式、數(shù)列、排列組合、極限和微積分等都與函數(shù)知識有直接聯(lián)系。函數(shù)還是數(shù)學(xué)后繼發(fā)展的基礎(chǔ)，為高中數(shù)學(xué)中各種初等函數(shù)的學(xué)習(xí)，以至高等數(shù)學(xué)中函數(shù)概念及性質(zhì)的研究也奠定了一定的基礎(chǔ)。同時函數(shù)知識在物理、化學(xué)等自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在解決生產(chǎn)生活中的實際問題時，也往往采用函數(shù)作為建模的基本工具。函數(shù)既從客觀現(xiàn)實中抽象出來，又超越了千變?nèi)f化的課題的個性，其內(nèi)涵極為深刻，外延又極為廣泛。因此，函數(shù)的教學(xué)非常重要。然而，函數(shù)的學(xué)習(xí)對于初中學(xué)生來說卻是個難點，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)該如何分析這些困難，又要采取什么樣的教學(xué)方法才能更好地幫助學(xué)生進(jìn)行函數(shù)的學(xué)習(xí)，這是值得大家共同關(guān)注的重要課題。

我們首先分析初中學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的困難所在，在函數(shù)的概念方面：（1）初中課本中變量被當(dāng)成是不定義的原始概念，而變量是函數(shù)概念中一個最基本的概念。數(shù)學(xué)中的變量概念與日常生活經(jīng)驗是有差異的，人們對變量的普遍理解是，在日常生活中，“變量”應(yīng)該是變化的，不確定的。但數(shù)學(xué)中的變量包括常量，常量被看成是一種特殊的變量。另外函數(shù)概念中變量的意義更具一般性，既可以作為數(shù)，也可以作為點;既可以作為有形之物，也可以作為無形的東西。（2）函數(shù)概念表示方式的多樣性，一方面表現(xiàn)在定義域、值域的多樣性，可以用集合、區(qū)間、不等式等不同形式的表示;另一方面表現(xiàn)在它可以用圖像、表格、對應(yīng)、解析式等方法表示，從每一種表示中都可以獨立地抽象出函數(shù)概念來。與其他數(shù)學(xué)概念相比，由于函數(shù)概念需要同時考慮幾種表示，并要協(xié)調(diào)各種表示之間的關(guān)系，常常需要在各種表示之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，因此容易造成學(xué)習(xí)上的困難。（3）函數(shù)符號的抽象性。函數(shù)是在初中遇到的第一個用“數(shù)學(xué)關(guān)系概念定義法”給出的概念，解釋它的本質(zhì)(對應(yīng)關(guān)系)的敘述方式與先前所學(xué)的諸多數(shù)學(xué)概念的敘述方式是不一樣的。y=f(x)表示了一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，其中每一個字母都有特定的含義。但這種含義僅從字面上是看不出來的。我們不能通過“f”來想象對應(yīng)法則的具體內(nèi)容，也不能通過x(或y)來想象定義域(或值域)的抽象性到底是什么。這種抽象性大大增加了函數(shù)學(xué)習(xí)的難度。

在學(xué)生思維方面：中學(xué)生的思維發(fā)展水平是從具體形象思維逐步過渡到形式邏輯思維水平。初中生以形式邏輯思維水平為主。函數(shù)是一個辯證概念， 且理解函數(shù)概念時，需要學(xué)生在頭腦中建構(gòu)一個情景（例如：解析式、表格或圖形），使得函數(shù)的對應(yīng)法則能夠得到形象的、動態(tài)的反映；函數(shù)是對應(yīng)法則、定義域、值域的統(tǒng)一體，學(xué)生應(yīng)當(dāng)領(lǐng)會它們之間的相互制約關(guān)系，對三者進(jìn)行整體把握，而學(xué)生的辯證思維發(fā)展還處于很不成熟的時期，看問題往往是局部的、靜止的、割裂的，不善于把抽象的概念與具體的事例聯(lián)系起來，還不能用辯證思維的思想來理解函數(shù)概念，這與函數(shù)概念的運動、變化、聯(lián)系的特點是不相適應(yīng)的。例如，學(xué)生常常認(rèn)為，“x”代表一個單個的數(shù)(可能是未知數(shù));求函數(shù)值就是把數(shù)帶入“公式”中的字母運算;學(xué)生常常把函數(shù)概念與“公式”等同起來，因此函數(shù)的動態(tài)性、變化性在思維中不能得到充分反應(yīng)。對初中學(xué)生的思維水平來說，建立函數(shù)這樣一個復(fù)雜的概念需要克服許多困難。在函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的思維運算，進(jìn)行符號語言與圖形語言的靈活轉(zhuǎn)換。但在初中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，數(shù)與形基本上是割裂的。在此根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，對初中函數(shù)的教學(xué)作出以下建議。

一、抓住函數(shù)概念核心，加強(qiáng)概念形成的教學(xué)

理解概念是一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)，學(xué)生的概念理解不清就無法進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生只有對函數(shù)概念真正的理解，才能真正理解函數(shù)。學(xué)生初次接觸函數(shù)概念時，涉及到很多復(fù)雜的層次，包括：（1）在一個“變化”過程中；（2）存在“兩個”變量；（3）這兩個變量具有一定的“聯(lián)系”；（4）一個變量的變化會引起另一個變量也“隨之”變化；（5）兩個變量存在“單值對應(yīng)”的關(guān)系。這將直接導(dǎo)致學(xué)生在概括函數(shù)概念時出現(xiàn)障礙。另外，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，接觸的基本上是常量數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識。而函數(shù)研究的是變量與變量之間的關(guān)系，其特征是變化的、發(fā)展的、處于兩個量的相互聯(lián)系之中的。因此，函數(shù)概念形成中的抽象與概括以及對“單值對應(yīng)”的理解也就成為函數(shù)概念教學(xué)的難點。

學(xué)生理解和掌握概念的過程實際上是掌握同類事物的共同、本質(zhì)屬性的過程，概念形成和概念同化反映了學(xué)生掌握概念的兩種不同心理過程。根據(jù)中學(xué)生的認(rèn)知特點，掌握概念的方式，應(yīng)更多的采用概念形成，即從典型、豐富的具體例子出發(fā)，學(xué)生經(jīng)過自己的實踐活動，從中歸納、概括出一類事物的共同本質(zhì)特征，從而理解和掌握概念。為了幫助學(xué)生形成函數(shù)概念，教學(xué)中要注意“舉三反一”——通過給學(xué)生大量客觀世界中反映這種變化規(guī)律的實例（解析式的、圖象的、表格的），讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)生發(fā)展過程”，為學(xué)生提供獨立概括概念的機(jī)會，經(jīng)過分析、綜合、比較而概括出函數(shù)概念“單值對應(yīng)”的本質(zhì)屬性。在此基礎(chǔ)上，再“舉一反三”——用學(xué)生得到的函數(shù)概念再去看其他的對應(yīng)問題，是不是符合函數(shù)概念的“單值對應(yīng)”。在這一過程中，要注意恰當(dāng)?shù)厥褂梅蠢柟虒W(xué)生對于函數(shù)概念的理解。

二、注意早期滲透，螺旋上升分散教學(xué)難點

在函數(shù)概念教學(xué)之前，需要提前滲透變化與對應(yīng)的思想。在初中階段，由具體的數(shù)過渡到用字母表示數(shù)，再由字母過渡到代數(shù)式、方程及簡單的不等式等，都需要不斷滲透變量思想的教學(xué)，在“變”與“不變”的辯證思想教學(xué)中強(qiáng)化學(xué)生的變量意識。例如，在有理數(shù)的運算中，可以通過讓學(xué)生進(jìn)行“對不同的數(shù)加上同一個數(shù)得到不同的結(jié)果”的練習(xí)，滲透集合、對應(yīng)、根據(jù)法則由自變量求函數(shù)值；在進(jìn)行“求代數(shù)式的值”的教學(xué)時，可以通過指出“字母每取一個值，代數(shù)式就有唯一確定的值”以及進(jìn)行一些相應(yīng)練習(xí)滲透對應(yīng)的思想；通過討論整式、分式、根式中字母的取值范圍，可以滲透了函數(shù)的定義域；等等。這樣做，將靜態(tài)的知識模式演變?yōu)閯討B(tài)的討論，賦予了函數(shù)的形式，讓學(xué)生以運動的觀點去領(lǐng)會知識，會使學(xué)生對“變量”概念的復(fù)雜性和辯證性更好的理解。

三、加強(qiáng)函數(shù)與相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，用函數(shù)觀點統(tǒng)領(lǐng)相關(guān)內(nèi)容

要注意函數(shù)思想的應(yīng)用，用函數(shù)思想看問題。數(shù)可以看成特殊函數(shù)；數(shù)的運算可以看成特殊的二元函數(shù)；代數(shù)式可以容易地被改造成一個函數(shù)；數(shù)列是特殊的函數(shù)；解一元方程就是求一個函數(shù)的零點，解三角形化歸為一個三角函數(shù)的問題；等等。因此，在學(xué)習(xí)函數(shù)概念后，要注意讓學(xué)生以函數(shù)觀點去重新審視相關(guān)問題。例如，方程f(x)=0就是函數(shù)y=f(x)在變化過程中的一個特殊狀態(tài)，解方程就是求函數(shù)的零點，從而對方程的研究（像根的性質(zhì)、個數(shù)、分布范圍等）就與對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)研究聯(lián)系起來了。再如，求不等式(x)＞0的解集就是考察函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的位置關(guān)系問題，即考慮函數(shù)y=f(x)的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍。由于函數(shù)具有表現(xiàn)的豐富性、變化的過程性等特點，用函數(shù)觀點研究方程、不等式，可以引進(jìn)運動變化、數(shù)形結(jié)合等思想，這就給方程和不等式的研究開拓了思路和方法。這對理解他們的意義和解決有關(guān)問題都是非常有益的。還可以使學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到重新組合，在使知識系統(tǒng)化的過程中，加深對函數(shù)思想的理解和運用。在此我們舉例說明：

例 根據(jù)一家商店的賬目記錄，某天賣出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同樣的價格賣出同樣的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元．這個記錄是否有誤？為什么？

解：設(shè)每支牙刷x元，每盒牙膏y元，則

從函數(shù)的角度看構(gòu)成方程組的兩個二元一次方程，對應(yīng)兩個一次函數(shù)，也對應(yīng)兩條直線。從函數(shù)“形”的角度看，二元一次方程組的解相當(dāng)于兩條直線交點的坐標(biāo)；從函數(shù)“數(shù)”的角度看，二元一次方程組的解可以理解為當(dāng)兩個一次函數(shù)的函數(shù)值相等時自變量的取值，以及這個相等的函數(shù)值。在本例題中，方程組是兩條平行的直線，即它們沒交點，因此此方程組無解。