運用轉化 巧解數學題

著名數學史學家克萊因曾指出：“數學是一種精神，一種理性精神。正是這種精神，激發、促進、鼓舞并驅使人類的思維得以運用到最完美的程度”。數學的理性精神具體體現在對新的問題情境，能靈活應用所學的知識與方法進行研究，合理地選擇有效的策略，機智地找到解題的思路。特別是當一個問題難以解決時，能通過適當轉化，化難為易，化繁為簡，從而又準又快甚至是創造性地解決問題。下面通過介紹數學解題中的幾種轉化，兼談數學理性精神在解題教學中的體現。

一、把代數問題幾何化

有人在總結數學解題規律時，體會出一句話：“高中數學一線牽，代數幾何兩珠聯?！币馑际呛瘮颠@條主線貫穿著高中數學，代數與幾何聯系密切，珠聯璧合。因此，我們在解題教學中，要善于抓住這個聯系。有時當一個代數問題用代數方法不容易解決，我們可嘗試從幾何角度去審視它。

例1 已知：a＞b＞c＞0；求證：+≤。

分析：這道題，如果單純從代數角度考慮，有些技巧，不容易入手。

但注意到#8226;可表示一個矩形的面積，#8226;亦然，并且它們有公共邊。作出圖，便可得到很好的思路。如圖1，矩形面積：

+=2S△BAC=sin∠BAC≤

二、把幾何問題代數化

反過來，用幾何方法不容易解決的幾何問題，有時也可嘗試從代數角度去考慮。

例 2 如圖2，求正方體ABCD-EFGH中異面直線EB和HF的距離。

分析 解這道題，要理性地選擇方法。如果用傳統的幾何法，要涉及到找公垂線，并證明垂直，計算長度，可謂步步艱辛。因此嘗試建立空間坐標系，如圖2，

可設P（a，y，a-y），Q（x，x，a），則：

PQ=（x-a）2+（x-y）2+y2=…

=（x-2y）2+（x-）2+

于是，當且僅當x=，y=時，PQmin=。

可見，建立空間坐標系，把幾何問題代數化，比用幾何法簡便很多。

三、把問題情景特殊化

當問題的一般情況比較復雜時，有時可通過問題的特殊情況去了解它的一般情況。這種方法尤其在解選擇題或填空題時顯得特別有效。

例3 如圖3，若橢圓+=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，OF2=c，P為橢圓上不在坐標軸上的一個動點，點I，G分別為△PF1F2的內心和重心。當IG恒與x軸垂直時，橢圓的離心率是（）

A.B.C.D.

分析 這道題若直接去做，計算繁瑣。注意到選擇題不要都當作解答題來做，其解法靈活多樣。作為選擇題，選擇一個特殊點P（c，yp）代入，就簡便很多。

四、把問題情景一般化

反過來，當我們面臨一個較復雜或內在性質不明顯的特殊問題，有時可以去考察它的更一般情況，找出它的一般原型。從而使得我們能夠在更一般、更廣闊的領域，使用更靈活的方法去尋找其解決問題的途徑。如果一般化了的問題得到解決，那么它的特例也就得到解決。

例4 求證：1+++…+＞。

分析：只要能夠先證明1+++…+＞（n＞1），然后令n=2011，原命題即得證，而1+++…+＞（n＞1）是一個與自然數有關的命題，用數學歸納法就容易證明了。

例5 已知：m，n都是正整數，

求證：p=也是正整數。

分析：這命題直接證明較麻煩，若把一般化為x，即易見P是f（x）=的一個函數值，如果能夠證明命題(*):“f（x）是只含有x的偶次項的整系數多項式且x＞0時f（x）＞0”成立，那么原命題就成立。而證明命題(*)的關鍵是證明f（x）=的分子g（x）=（5+x）n-（5-x）n是個奇函數，即只含有x的奇次項，這證明就很容易了。

問題情景一般化是否湊效，關鍵在于一般化后是否比原問題更容易求解。

五、把垂直關系向量化

自從新課程增加了平面向量的內容后，向量常被作為一種工具用于解決幾何中平行和垂直的相關問題，也常用于求角和距離。尤其是當所求解的問題涉及到“垂直關系”時，把這個關系向量化，并用向量的數量積求解，往往會更為簡捷。

例6 求過P(-8，-1)，Q（5，12），R（17，4）三點的圓的方程。

分析 這里關鍵是求圓心的坐標，但無論用圓的一般方程或標準方程，或是用線段PQ和QR的垂直平分線的交點去求圓心，皆因數據繁，計算量大，容易出錯。因此，若抓住圓心和弦中點的連線垂直于弦這個關系，嘗試用向量法求解，就會簡便得多。

解 如圖4，設圓心為C（a，b），又弦PQ的中點M（-，），弦QR的中點N（11，8），

∴=（a+，b-），=（a-11，b-8），

又=（13，13），=（12，-8）， 代入⊥，⊥得:

a++b-=03(a-11)-2（b-8）=0， 解得C(5，-1)， 又CP=5-（-8）=13，

∴ 所求圓的方程為（x-5）2+（y+1）2=132 。

由于“垂直”等價于向量的數量積為零，又向量可以伸縮，所以使得計算大大簡化?？梢姲严蛄繎玫綆缀沃校沟脦缀螁栴}的求解充滿生機。

運用轉化解決數學問題，是數學的基本思想。在解決數學問題的過程中，我們總是通過轉化化難為易、化繁為簡、化未知為已知，從而導致問題的解決。但轉化要用智慧、抓本質，要體現數學的理性精神，要讓學生學會對問題怎么想，而不是只教給學生題目怎么做。解題教學要“走出模仿，走向創造”，這是我們數學解題教學的關鍵。

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