一維非飽和土熱一濕耦合的數值解

吳禮舟，黃潤秋

(成都理工大學地質災害防治與地質環境保護重點實驗室，成都610059)

地表淺層土體是工程活動的主要對象，由于受到諸多因素的影響，土體中的溫度場、水分場等均是變化的，而且相互影響。土體中的溫度變化會引起水分遷移使含水量變化，含水量的變化又會引起土的導熱系數等發生變化，從而影響傳熱過程及溫度分布。因此，研究淺層土體水(水分場)、熱(溫度場)問題時，必須考慮其相互影響[1-2]。

非飽和土耦合現象具有較廣的工程背景，因而引起眾學者的興趣[2-5]。巖土深處核廢料處置過程中的放熱現象亦是近年來人們關注的問題之一。路基中的溫度場、水分場是動態變化的。路基中熱量的差異和改變引起水分的遷移與轉化，同時，路基中的水通過改變土的熱特性來影響土壤的溫度[3]。白冰指出在給出非飽和介質熱能-水分傳輸的耦合質量控制方程和基于Fourier熱傳導定律的熱能平衡方程的基礎上，對熱能傳輸及水分遷移的基本特征和機理進行了分析[4]。Wu L Z利用傅立葉積分變換開展了非飽和土變形-滲流耦合的解析研究[5]。張玉軍從水-氣-熱三場耦合的角度上分析了孔隙介質中各組分的滲流與變形問題[6]。

基于非飽和土水-熱耦合的理論模型，運用美國的商業軟件FlexPDE軟件分析一維非飽和土熱-濕耦合解，計算非飽和土的溫度場和水分場。試圖分析非飽和土熱-濕耦合作用下非飽和土水分遷移及溫度分布的特點與規律。

1 理論模型

為了較好的分析非飽和土熱-濕耦合效應，作出以下假設:非飽和土是均勻，介質不發生變形。該理論模型的基本假定:(1)土體均勻連續，且為各向同性體;(2)非飽和土中水分遷移均以液態形式進行，不考慮水的固相;(3)土體為彈性體，且已完全固結;(4)非飽和流體符合Darcy定律。

非飽和土介質中的熱-濕耦合的控制方程為[7]:

式中 :θ——體積含水量 ;T ——溫度;t——時間;c——比熱 ;ρ——密度 ;ρ c——體積熱容;λ——熱傳導率;L——潛熱;Dθv——等溫下的氣擴散系數;DT——熱濕擴散率;Dθ——等溫條件的擴散系數;K——非飽和水力傳導系數。

對于一維問題，耦合控制方程，式(1)和式(2)可寫成:

不考慮重力項，式(4)右邊第3項為0，即式(4)變為:

若不考慮溫度對含水量的影響，一維的水分控制方程為:

不考慮重力項，式(6)寫成:

假設含水量和滲透系數是壓力水頭ψ的函數:

式中 :θs——飽和含水量;Ks——飽和狀態時的滲透系數;α——去飽和系數。

其擴散系數為:

初始條件表達為

下邊界條件為

上邊界條件為

2 算例分析

由于非飽和土熱-濕耦合的解析解求解很困難，這里采用了商業軟件FlexPDE(PDE-Partial differential equation)。FlexPDE使用有限元方法獲得數值解。它能用于分析求解各類偏微分方程(組)，通過建立耦合的數學模型，并能有效的分析耦合各場的分布狀態 ，程序編寫遵照 coordinates、variables、definitions、equations、boundaries、monitors、time 等流程 。其中variables是定義方程組的變量，equations是描述耦合方程組，time是運行求解。求解耦合問題非常方便，可靈活分析用戶建立的耦合模型。

這里對有限長度的一維非飽和土熱-濕耦合問題進行分析 。l=50 cm ，θs=0.4，α=0.01/cm ，Ks=0.4×10-4cm/s。初始含水量θi=0.2，初始溫度 Ti=10℃;z=0 處 θ0=0.2，T0=10℃;z=l處均為Neumann 邊界條件 ，?θ/?z=0.5×10-4cm-1，?T/?z=0.01℃/cm，其他相關系數見表1[7]。

表1 非飽和土熱-濕耦合的物理參數值

圖1 非飽和土熱-濕耦合中溫度的變化

圖1顯示的是非飽和土熱-濕耦合中不同時刻下的溫度分布。圖2為非飽和土熱濕耦合過程中的含水量隨時間的變化。圖1和圖2中，地表邊界發生熱量交換，同時出現降雨入滲。圖1表明溫度隨時間在增大，從圖2可看出，含水量變大，地表的含水量變化更為明顯。圖1和圖2采用的耦合模型來源于式(3)和式(4)。

圖3為非飽和土熱-濕耦合與非耦合情況下含水量隨時間的分布。虛線是沒有考慮溫度對含水量影響的分布圖，而實線表示考慮非飽和土熱-濕耦合效應。從圖3可以看出，溫度對水分遷移是有影響的。在地表，不考慮熱-濕耦合時的水分遷移比考慮耦合效應時快，而在土體深處，沒有考慮熱-濕耦合的水分運移比考慮耦合效應的快。

圖2 非飽和土熱-濕耦合中含水量的變化

圖3 耦合與非耦合情況下含水量的分布

圖4 耦合中重力對含水量的影響

圖5 等溫下的氣擴散系數對耦合作用下溫度的影響

圖4展示的是非飽和熱-濕耦合中重力對含水量分布的影響。圖中線條表示考慮了重力勢，非飽和土熱-濕耦合模型來源于式(4);圖中點代表沒有考慮重力勢，來源于式(5)。在入滲初期t=200 s重力對非飽和土熱-濕沒有任何影響，隨著入滲繼續，重力對含水量分布顯示有非常微弱的影響，如t=1000 s時，考慮重力勢時的含水量微微大于沒有考慮重力時的含水量。在分析非飽和土濕-熱耦合時，入滲較小時，重力對含水量分布的影響基本可忽略不計，印證了文獻[7]的結論。

圖6 等溫下的氣擴散系數對耦合作用下含水量的影響

圖5和圖6分別為等溫下氣擴散系數對耦合作用下溫度和含水量分布的影響。無論是否考慮等溫下的氣擴散系數，溫度隨時間的分布幾乎沒有變化;同樣，氣擴散系數對耦合作用下含水量分布也沒有任何影響。

3 結論

(1)當非飽和土耦合問題較為復雜時，采用解析方法顯得困難時，采用FlexPDE軟件分析非飽和土熱-濕耦合問題是可行的，也是有效的。

(2)非飽和土熱-濕耦合數值分析表明溫度對水分遷移是有影響的，分析非飽和土水分遷移時應考慮非飽和土熱-濕耦合效應。

(3)分析非飽和土濕-熱耦合時，降雨入滲較小時，重力對含水量分布的影響甚微。等溫下的氣擴散系數對非飽和土濕-熱耦合幾乎沒有任何影響，耦合分析時可略去其影響。

[1] Lee J，Kim J T，Chung I M ，et al.Analytical solution for heat and moisture diffusion in layered materials[J].Canadian Geotechnical Journal，2010 ，47(6):595-608.

[2] 王鐵行，李寧，謝定義.土體水熱力耦合問題研究意義、現狀及建議[J].巖土力學，2005，26(3):488-493.

[3] 毛雪松，王秉綱，胡長順，等.凍土路基水熱遷移問題的理論模型及數值模擬[J].中外公路，2006，26(1):23-26.

[4] 白冰，劉大鵬.非飽和介質中熱能傳輸及水分遷移的數值積分解[J].巖土力學，2006，27(12):2085-2089.

[5] Wu L Z，Zhang L M.Analytical solutions to 1D coupled water infiltration and deformation in unsaturated soils[J].International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，2009，33(6):773-790.

[6] 張玉軍.核廢料處置概念庫近場熱-水-應力耦合模型及數值分析[J].巖土力學，2007，28(1):17-22.

[7] Basha H A，Selvadurai A P S.Heat-induced moisture transport in the vicinity of a spherical heat source[J].InternationalJournalfor Numericaland Analytical Methods in Geomechanics，1998，22(12):969-981.