立足分式問題尋找分式有意義的條件

薛雪林

[摘 ? 要]分式有意義的條件，是學生學習分式過程中最易忽視的知識點，也是學生學習分式的最大障礙.基于此，以學生分式意義理解中的常見誤區(qū)為切入點，探究各種分式問題中分式有意義的條件，并引導學生掌握解決分式問題的技巧和方法.

[關鍵詞]分式;有意義;條件

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0024-02

分式有意義的條件是分母不能為零.分式問題中都隱含分母不為零，即分式有意義的條件.為此，研究分式問題時，挖掘、尋找分式有意義的條件，是解決問題的關鍵.下列問題中分式有意義的條件不可忽視.

一、分式有意義或無意義的問題

使分式有意義的條件是分母不為0，若分式的分母為0則分式無意義.

[例1][x]為何值時，分式[x-4x2-16]有意義？

錯解：[∵][x-4x2-16=x-4（x+4）（x-4）=1x+4]，

[∴]當[1x+4]有意義時，[x+4]≠0，即[x]≠-4，

[∴]當[x]≠-4時分式[x-4x2-16]有意義.

顯然當[x]≠4時，分式[x-4x2-16]也有意義.

[例2][x]為何值時，分式[x-2x2-5x+6]無意義？

錯解：[∵][x-2x2-5x+6]=[x-2（x-2）（x-3）]=[1（x-3）]，

[∴]當分式[x-2x2-5x+6]無意義時， [x]-3=0，即[x]=3，

[∴]當[x]=3時分式[x-2x2-5x+6]無意義.

顯然當[x]=2時，分式[x-2x2-5x+6]也無意義.

上述兩例錯解相同，都是先把原分式化簡成最簡分式，再根據最簡分式求得原分式有意義或無意義的條件，從而都有漏解的現象.由于分式的分子和分母的公因式是否為0不確定，約去公因式時擴大了未知數的取值范圍.為此，確定分式有意義的條件或未知數的取值范圍時，不能先約簡再確定，應根據分母中所有因式確定.

二、分式的值為0的問題

使分式的值為0的條件是分子為0，并且分母不為0，即分式有意義.

[例3]當[x]為何值時，分式[x2-4x2+5x-14]的值為0？

錯解：若使分式的值為0，則[x2-4=0]，即[x=±2]，

[∴]當[x=±2]時，分式[x2-4x2+5x-14]的值為0.

顯然[x=2]時分式無意義，此解法忽視了分式有意義的條件.

正解：若分式[x2-4x2+5x-14]的值為0，則[x2-4=0]，即[x=±2]，而當[x=2]時， [x2+5x-14=22+5×2-14=0]，

[∴]當[x=-2]時，分式[x2-4x2+5x-14]的值為0.

三、分式的值大于0的問題

分式的值大于0的條件是分子和分母同號，并且分母不為0，即分式要有意義.

[例4][x]為何值時，分式[x+2x2+2]的值大于0？

解： [∵]無論[x]為何值時， [x2+2>0]，

[∴]要使分式[x+2x2+2]的值大于0，則[x+2>0] ， 即[x>-2]，

[∴]當[x>-2]時，分式[x+2x2+2]的值大于0 .

[例5][x]為何值時，分式[x-2x2-4]的值大于0？

錯解：[∵]當[x2-4≠0] ， 即[x≠±2]時， [x-2x2-4=x-2（x-2）（x+2）] ，

[∴]要使[x-2x2-4]的值大于0，則[x+2>0]，即[x>-2]，

[∴]當[x>-2]時，分式[x-2x2-4]的值大于0.

很明顯[x>-2]包含[x=2]，當[x=2]時分式無意義.

正解：[∵]當[x2-4≠0]， 即[x≠±2]時， [x-2x2-4=x-2（x-2）（x+2）] ，[∴]要使[x-2x2-4]的值大于0，則[x+2>0] ，即[x>-2]，

[∵][x>-2]包含2，若[x=2]則分式無意義.

[∴]當[x>-2]且[x≠2]時，分式[x-2x2-4]的值大于0.

四、分式的值小于0的問題

分式的值小于0的條件是分子和分母異號，并且分母不為0，即分式要有意義.

[例6][x]為何值時，分式[x-2x2+2]的值小于0？

解： [∵]無論[x]為何值時，[x2+2>0]，

[∴]要使分式[x-2x2+2]的值小于0，則 [x-2<0] ，即[x<2]，

[∴]當[x<2]時，分式[x-2x2+2]的值小于0.

[例7][x]為何值時，分式[x+1x2-2x-3]的值小于0？

錯解：當[x2-2x-3≠0]時， [x+1x2-2x-3=x+1（x-3）（x+1）] ，

[∴]要使[x+1x2-2x-3]的值小于0，則 [x-3<0]，即 [x<3]，

[∴]當[x<3]時，分式[x+1x2-2x-3]的值小于0.

顯然[x<3]包含[x=-1]，當[x=-1]時，分式無意義，同時分子也為0.

正解： 當[x2-2x-3≠0]時， [x+1x2-2x-3=x+1（x-3）（x+1）] ，

[∴]要使[x+1x2-2x-3]的值小于0，則 [x-3<0]，即 [x<3]，

[∵][x<3]包含[x=-1]，當[x=-1]時，分式無意義且分子為 0.

[∴]當[x<3]且[x≠-1]時，分式[x+1x2-2x-3]的值小于0.

五、選數求分式值的問題

[例8]先化簡[3xx+2-xx-2÷xx2-4] ，再給[x]選一個合適的數代入求值.

解：原式=[3x（x-2）-x（x+2）（x+2）（x-2）÷x（x-2）（x+2）]

=[2x（x-4）（x+2）（x-2）×（x-2）（x+2）x]

=[2x-8]

[∵]當[x=2]時，分式[xx-2]和[xx2-4]無意義.

當[x=-2]時， 分式[3xx+2]和[xx2-4]無意義.

當[x=0]時，分式[（x-2）（x+2）x]無意義.

[∴][x≠±2]，0，即[x]可選[±2]和0以外的數.

從而當[x=4]時，原式=[2×4-8=0].（注：答案不唯一）

顯然選[±2]和0都會使原題中的分式或化簡過程中的分式無意義.

選數求分式值的問題，一般先化簡再選數代入求值，但所選數必須使原題中的分式、化簡過程中新出現的分式以及化簡后的分式都有意義，否則所選數是不合適的.

六、分式基本性質的理解問題

分式基本性質是：[AB=AMBM] ，[AB=A÷MB÷M] （A，B，M均為整式，且[M≠0]）.理解、掌握、應用分式基本性質的關鍵是掌握分式有意義的條件.根據分式有意義的條件，分式基本性質明確限制“A，B，M均為整式且[M≠0]”，一方面指分式的分子和分母以及所乘或除的式子都是整式，即在整式范圍內的恒等變形（事實上隨著知識的擴充，A，B，M還可以是任意代數式）;另一方面，因為[AB]是分式，所以B是含有字母的整式，且[B≠0]，而A，M可以是含有字母的整式，也可以是不含字母的整式，而A，B，M中含有字母時，由于字母的取值范圍具有任意性，故整式A，B，M的值都有等于0的可能性.顯然當[B=0]時，分式[AB]，[AMBM]，[A÷MB÷M]均無意義，所以性質中隱含[B≠0]的條件;當[M=0]時，分式[AMBM]和[A÷MB÷M]均無意義，所以性質中限制[M≠0];而當[A=0]或[A≠0]，且[B≠0]，[M≠0]時，分式[AB]，[AMBM]，[A÷MB÷M]都有意義.故性質中明確限制[M≠0]，而[B≠0]隱含于分式[AB]中.

七、分式方程的問題

分式方程的意義、解法和分式方程為什么要檢驗以及怎樣檢驗，都是在分式有意義的條件下進行的.分式方程是分母中含有未知數的方程，其解必須使方程中每個分式都有意義.一方面分式方程本身隱含分母不為0的條件，方程中的未知數必須滿足這一條件，若未知數使方程中某一分式的分母為0，則分式無意義，方程無解;另一方面，根據方程同解原理（或等式性質2），分式方程化為整式方程時，由于兩邊所乘的整式（最簡公分母）有可能為0，為此所得整式方程的解，有可能使分式方程中某一分式的分母為0，此時分式無意義，原分式方程無解.綜上所述，分式方程化為整式方程求解時，所得整式方程的解是否是原分式方程的解必須檢驗：若整式方程的解使最簡公分母不為0，則整式方程的解是原分式方程的解;否則，不是原分式方程的解.

[例9]解關于[x]的方程[mx-nx+1=0]（[m≠n]，[mn≠0]）.

解：[∵][x≠0] 且[x+1≠0]，[∴] 兩邊同乘以[x（x+1）]，得 [m（x+1）-nx=0]，即 [（m-n）x=-m]，[∵] [m≠n]，即[m-n≠0]，[∴] [x=-mm-n].

檢驗：由于[x（x+1）≠0]，根據方程同解原理，[x=-mm-n]是原方程的解.另外，[x=-mm-n]是否是原方程的解，可進一步驗證：

當[x=-mm-n]時， [x（x+1）] = [-mm-n] [-mm-n+1] =[-mm-n] [×][ -nm-n] = [mn（m-n）2≠0]（[m≠n]，[mn≠0]），

[∴][x=-mm-n]是原方程的解.

（責任編輯 黃春香）