四肢綴條軸壓鋼管混凝土格構柱承載能力分段合成法

周旺保，蔣麗忠

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙，410075)

鋼管混凝土構件具有承載能力強、塑性和韌性好、施工方便快捷、耐火性好以及造價經濟合理等優點，近年來在房屋和橋梁結構中得到廣泛的應用。而鋼管混凝土格構式柱能以較小直徑的柱肢取得較大的截面抗彎剛度，且柱肢以受軸壓力為主，充分發揮了鋼管混凝土柱受壓強度大的特性和優勢，因此，被大量應用于荷載偏心率較大或長細比較大的結構中，如單層工業廠房的柱子、設備構架柱、地鐵站臺柱、送變電桿塔、鋼管混凝土拱橋、高層和超高層建筑結構等。目前國內外對單肢鋼管混凝土柱的研究非常深入[1-11]，并形成了相應的設計規程[4-6]，而對于鋼管混凝土格構柱的研究并不多，目前在格構柱設計上參照《鋼結構設計規范GB 50017—2003》[12]。該規范將鋼管混凝土格構柱比擬成鋼格構柱的計算方法，沒有考慮剪切變形的影響，也沒有反映鋼管混凝土柱肢的抗壓強度和抗拉強度有重大差異這一特點。陳寶春等[13-17]對格構柱極限承載力進行了系列試驗研究并提出了近似計算公式，試驗結果表明：比擬計算方法精確度較低，計算值與試驗值存在著較大誤差。同時，在軸心壓力作用下，不存在理想的軸壓構件，在實際工程中構件常常帶有微小的初始缺陷，對格構柱力學性能有影響，因此，對軸壓鋼管混凝土格構柱進行深入的理論分析，提出較為精確的數值計算方法非常必要。本文作者在考慮構件剪切變形和初始缺陷影響基礎上，提出了四肢綴條鋼管混凝土格構柱長柱和短柱軸壓極限承載力分段合成數值計算方法，同時編制了相應的計算程序，并將計算結果與現有規程計算方法以及現有的試驗結果進行了比較，從而驗證了本文數值計算方法的正確性，最后在分析大量數值計算結果的基礎上提出了較為精確的鋼管混凝土格構柱軸壓極限承載力的計算公式。

1 基本假設

為簡化分析，可對四肢綴條鋼管混凝土格構柱進行如下假設：

(1) 格構柱達到極限承載力前柱肢不發生局部失穩，鋼管和混凝土黏結良好，兩者之間無相對滑移現象。

(2) 可假設在加載過程中，鋼管混凝土截面和柱肢截面始終保持平面，鋼管形狀和面積始終保持不變[14]。

(3) 外層鋼管和核心混凝土的應力-應變關系為分段多項式。

(4) 綴條與柱肢組成桁架體系，即綴條與柱肢鉸接。

(5) 假設格構柱達到極限荷載前綴條仍處于彈性階段，即綴條在橫向剪力作用下處于彈性階段[14]。

(6) 柱子破壞時仍然為小撓度，既采用小撓度計算理論。

(7) 假設初彎曲曲線為撓度為0δ的半波正弦曲線，即

式中：v0為桿件的變形撓度；0δ為桿件中截面初始撓度；l為桿件長度；z為桿件坐標。

2 鋼管及核心混凝土的應力與應變關系

2.1 鋼管的應力與應變關系

鋼管應力-應變關系[1]的表達式如下。

彈性段：

屈服段：

強化段：

二次塑流段：

式中：σ為鋼管應力；ε為應變；Ey為鋼材彈性階段的彈性模量；εe1為彈性極限應變；fy和fu分別為鋼材的屈服強度和極限強度；取屈服極限應變 εe2=10εe1；強化極限應變εe3=100εe1；鋼材極限強度fu=1.6fy。

2.2 核心混凝土的應力-應變關系

核心混凝土應力-應變關系參考文獻[3]，其具體的表達式如下。

受壓區：

式中：套箍系數ξ=fyAs/(fckAc)；A = 2 . 0 -k ；B=1.0 - k ； k=0.1ξ0.745；q =k/(0.2+0.1ξ)； β=；A和A分別為sc鋼管和混凝土的截面積；fy為鋼材的屈服強度；fck為混凝土的抗壓強度；εc為普通混凝土應力-應變關系曲線峰值點對應的應變；εt和 σt分別為核心混凝土應力-應變關系曲線第 1段與第 2段交接點的應變和應力。

受拉區：

式中：pσ為混凝土峰值拉應力；pε為混凝土峰值拉應變；cf′為混凝土圓柱體抗壓強度；ε為混凝土應變。

3 考慮壓桿初彎曲和剪切變形的截面平衡方程

3.1 附加彎矩引起的壓桿曲率公式推導

以斜綴條同向布置的四肢鋼管混凝土格構柱的一半即雙肢格構柱為例進行分析，四肢格構柱的承載力為則雙肢格構柱承載力的2倍。受力分析如圖1所示。

結合假設(6)及文獻[15]可知：壓桿剪力為Q=P s in θ ≈Pθ ≈Pdv / dz。剪力Q使壓桿產生剪切撓曲v1；附加彎矩使壓桿產生彎曲撓曲 v2。因此，壓桿的變形撓曲為 v1+v2[18]；由假設(7)可知壓桿初始撓曲為v1，因此，壓桿的總撓曲為v=v0+v1+v2[15](如圖1所示)。由圖1所示的受力分析可知壓桿剪切應變為：

圖1 受力分析圖示Fig.1 Analysis of force

式中：γ為壓桿剪切應變；P為壓力；θ為截面轉角；G為壓桿等效剪切模量；K為考慮剪應力沿壓桿橫截面分布不均勻的系數，對于圓形截面K=1.11，對于矩形截面K=1.12，對于工字形截面K=2；F為壓桿柱肢等效橫截面面積。

壓桿截面彎矩平衡微分方程為：

式中：Ee為考慮緊箍效應的鋼管混凝土等效割線模量；I為壓桿的等效慣性矩。

將式(2)和(3)相加得：

比較式(3)和(5)可得附加彎矩引起的壓桿曲率公式為：

式中：α為壓桿斜綴條與平綴條的夾角；E為壓桿斜綴條彈模；Fd為壓桿斜綴條橫截面積。

3.2 壓桿截面平衡方程的推導

同樣以斜綴條同向布置的四肢鋼管混凝土格構柱的一半即雙肢格構柱為例來進行分析，四肢格構柱的承載力為雙肢格構柱承載力的2倍。對壓桿各柱肢截面進行單元劃分后(見圖2)可得：

壓力較大側柱肢的抗力為：

σi1由εi1確定，εi1由下式確定：

由式(6)得：

式中：mφ為壓桿總曲率；meφ為壓桿附加彎矩產生的彎曲曲率；d為壓桿兩柱肢重心間距離；0δ為壓桿中截面初始撓度；Ai1為壓力較大側柱肢截面劃分單元面積；yi1為壓力較大側柱肢截面劃分單元中心到壓桿截面中心的距離；ε0為壓桿截面中心應變；εi1為壓力較大側柱肢截面劃分單元的應變；應力 σi1由 εi1及第 2節所介紹的應力應變關系確定。

圖2 截面單元劃分及條帶應變計算Fig.2 Element and strain calculation of cross-section

對于斜綴條同向布置的壓桿，由式(8)可知：

壓力較小側柱肢的抗力為：

式中：Ai2為壓力較小側柱肢截面劃分單元面積；yi2為壓力較小側柱肢截面劃分單元中心到壓桿截面中心的距離；εi2為壓力較小側柱肢截面劃分單元的應變；應力σi2由εi2及第2節所介紹的應力應變關系確定。

由壓桿截面內外力平衡得：

σi2由 εi2確定，εi2由下式確定：

壓桿截面抵抗彎矩為：

由壓桿截面內外彎矩平衡得：

其他計算過程與斜綴條平行布置的計算過程一樣。對于其他綴條布置形式亦進行相似的處理。

4 數值計算的實現

4.1 數學迭代公式

構件長度單元劃分如圖 3所示。取迭代公式如下[15]：

式中：vi表示第i微段右端點總撓度；Δx表示微段長度；vi+m在計算過程中以第i+1段的中點總撓度代替。

圖3 構件長度單元劃分Fig.3 Length units’division of components

4.2 單肢短柱極限承載力

若有格構柱單肢短柱極限承載力試驗值，則以試驗值為準；若無試驗值，則格構柱單肢短柱極限承載力按以下公式[2]進行計算：

式中：N0為單肢鋼管混凝土短柱極限承載力；Ac為單肢鋼管混凝土核心混凝土面積；fc為單肢鋼管混凝土核心混凝土強度；ξ為單肢鋼管混凝土套箍系數。

4.3 有初彎曲的軸壓桿件極限荷載數值算法的實現

(1) 將壓桿分為若干段(如圖3)所示，各段長度可以不同，并確定各段兩端和中點的坐標。

(2) 將各柱肢截面劃分為若干個面積單元(如圖 2所示)，確定各劃分單元的面積Ai和中點坐標yi。

(3) 給定軸壓力P。

(4) 假定由P力產生的桿端A點的轉角θA即0v′，從桿端A開始向桿端B依次逐段計算。

(5) 假定第1段中點曲率mφ和截面形心處的平均應變 ε0。

(6) 按式(10)和(13)計算每段中截面上的柱肢各劃分單元應變。

(7) 按式(9)和(12)計算壓桿柱肢每段中截面的合抵抗力。

(8) 校合壓桿每段中截面內外軸力平衡條件，即是否滿足式(14)，若不滿足規定的精度要求，則調整ε0，重復步驟(6)～(8)的計算直到滿足要求為止。

(9) 按式(19)計算壓桿每段中點位移。

(10) 按式(16)檢算壓桿每段中截面內外力矩平衡條件，若不滿足規定的精度要求，則調整mφ，重復步驟(6)～(10)的計算直到滿足為止。

(11) 按式(17)和(18)計算壓桿每段終點的位移和斜率。

(12) 進入下一段的計算，可以用前一段已計算得到的曲率mφ和平均應變ε0作為假定值，重復步驟(6)～(12)的計算，直到最后一段。

(13) 校核桿端B點的邊界條件是否滿足，即v=vB，若不滿足規定的精度要求，則調整 θA，重復步驟(3)～(13)的計算，直到滿足精度要求為止。

(14) 按式(20)判斷單肢是否達到極限承載能力，如有單肢短柱試驗值，則以試驗值為準。若單肢達到極限承載能力則退出循環，若未達到則增加荷載 P，重復步驟(4)～(13)步的計算，便可逐步確定荷載-位移曲線。若步驟(13)不能完成，即出現發散現象，說明壓彎桿件已達到或接近極限承載能力，開始進入不穩定狀況。由文獻[15]知：剛出現發散現象時的荷載則為極限荷載的近似值。當需要計算荷載—位移曲線的下降段時，可在求出極限荷載后，減小荷載 P，調整θA和mφ，重復步驟(6)～(13)的計算來取得。

5 長細比折減系數計算公式的推導

四肢綴條鋼管混凝土格構柱換算長細比*λ公式可參考文獻[2]，并作適當的調整后，如下式所示：

式中：λ為四肢綴條鋼管混凝土格構柱長細比；A0為格構柱各柱肢橫截面換算面積之和；A1為格構柱橫截面所截平面內各斜綴條毛截面積之和。

將文獻[16]中鋼結構相對長細比計算公式進行適當調整后，可得到考慮剪切變形及緊箍效應的四肢綴條鋼管混凝土格構相對長細比計算公式如下：

考慮鋼材強度及混凝土強度對四肢綴條鋼管混凝土格構柱相對長細比折減系數的影響，將四肢綴條鋼管混凝土格構柱相對長細比作適當調整后，如下式所示：

[16]中鋼結構相對長細比折減系數公式，并將鋼結構的長細比換成考慮剪切變形及緊箍效應的四肢綴條鋼管混凝土格構柱相對長細比后，可得四肢綴條鋼管混凝土格構柱相對長細比折減系數公式如下：

式中：λ為格構柱相對長細比；α1，α2和α3為待定系數； φl*為長細比折減系數。

將四肢綴條鋼管混凝土格構柱壓桿中截面初始撓度考慮成壓桿長度的1/1 000，利用本文數值計算方法對不同形式軸壓桿件進行了大量數值計算。同時以式(24)作為相對長細比折減系數計算公式原型，利用數值計算結果對其系數進行擬合后，得出相對長細比折減系數半經驗半理論公式如下：

將上式化簡后得：

利用式(25)可得軸壓四肢綴條鋼管混凝土格構柱的極限承載力為：

6 計算方法及計算公式的驗證

利用上述數值計算方法對文獻[14]中的 6個綴條同向布置的軸壓四肢鋼管混凝土格構柱試件和本文所做的5個綴條反向布置的軸壓四肢綴條鋼管混凝土格構柱試件在取壓桿中截面初始撓度為壓桿長度的1/1 000時的極限承載力進行計算，并與常用規程[4]的計算結果進行比較。其中本文所做試件的參數與構造見表1和圖4；數值計算結果、規范計算結果、公式(26)計算結果及試驗結果的比較見表2。

從表 2可以看出：常用規程[4]的計算結果與本文數值計算結果及試驗結果均有一定偏差；本文數值計算結果與試驗結果較吻合，偏差平均值為 0.999，方差為0.000 1，驗證了本文數值計算方法的正確性及穩定性；本文中(26)計算結果與數值計算結果及試驗結果較吻合，其與試驗結果偏差平均值為0.983，方差為0.000 4，從而驗證了本文計算式(26)的正確性及穩定性。

表1 試件參數Table 1 Parameters of specimens

表2 計算結果比較Table 2 Comparisons of results

圖4 試件構造圖(單位：mm)Fig.4 Configuration of specimens

7 結論

(1) 當取半正弦波初彎曲撓度為構件長度的1/1 000時，數值計算結果與試驗結果吻合良好, 偏差平均值為0.999，方差為0.000 1，驗證了本文數值計算方法的正確性，同時也說明取初始撓度為構件長度1/1 000的半正弦波模擬構件初始缺陷是合理的。

(2) 本文計算公式與試驗結果較吻合，偏差平均值為0.983，方差為0.000 4，可用于規程的修訂參考。

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