有均勻平均流的圓環管道聲模態及其應用

柳占新 黃其柏

1.華中科技大學數字制造裝備與技術國家重點實驗室,武漢,430074 2.中國船舶重工集團710研究所,宜昌,443003

0 引言

氣動聲學是一門研究氣體運動產生聲音以及聲音在運動氣體中的傳播過程的一門科學。由于氣動聲學方程復雜,要解析地描述復雜幾何形體的氣動聲學場(包括聲的輻射與傳播)幾乎是一件不可能的事。計算氣動聲學(computational aeroacoustics,CAA)的出現為打開氣動聲學的神秘大門提供了神奇的鑰匙。一些簡單幾何形體的氣動聲學問題,相對較容易求出解析解或者進行實驗驗證,這類問題對驗證CAA方法的準確性提供了素材,如CAA的一系列基準問題[1]。有平均流的圓環管道中的聲傳播問題就屬于這類相對簡單的問題,引起了大量學者的興趣[2-5]。有平均流的圓環管道中的聲傳播的研究意義不僅在于給CAA提供論據,更重要的是它為研究更復雜的問題提供了思路。如人們用圓(環)管道近似代替渦扇發動機進氣道,然后研究吸聲材料添加方法[4,6-8]。本文將由線性歐拉方程出發,推導有均勻平均流的情況下圓環管道內的聲傳播、聲功率的解析表達式,利用單個聲模態來模擬渦扇發動機進氣道的聲傳播現象。

1 有平均流的管道聲模態

圓環管道的模型如圖1所示,假定其軸向無限長,內外徑分別為D i和D o,管壁都是剛性硬壁,管道內的平均流場均勻,其馬赫數為Ma。對于圓環管道,自然坐標應該選用柱坐標,本文以(x,r,φ)代表柱坐標在軸向、徑向和旋轉方向上的分量。管道內聲波的控制方程為線性歐拉方程,表述為

式中,ρ、u、v、w、p分別為流體(氣體)的密度、x方向速度、r方向速度、φ方向速度、壓力;γ為氣體絕熱指數;撇號“′”表示聲學擾動量,上橫線表示平均流。

圖1 固壁圓環管道模型示意圖

為了便于計算,所有變量都采用以下基準進行量綱一處理：長度基準為管壁外徑D(即圖1中的D o);速度基準為管道中的音速a0;密度基準為管道中空氣密度 ρ0。時間為D/a0,故壓力為 ρ0a20。

量綱一處理后,管道的外徑為1。用σ代表圓環管道內外徑之比,即σ=D i/D o,從而管道的內徑Di=σ。所以管道外半徑Ro=1/2,內半徑Ri=σ/2。

由等熵關系知

式(2)可以改寫為

將p看成是ρ的函數,然后式(3)兩邊同時對ρ求導可得

由于d p和dρ表示密度變化的小量——聲學擾動量,所以 p′=d p,ρ′=dρ。同時 ,

將式(5)代入式(4),可得

其中V=(u,v,w)為速度矢量。消去式(8)中的速度矢量,可得

或者展開寫成

式(9)或式(10)就是有平均流的情況下圓環管道的聲傳播控制方程。為了得到式(10)的解,還需添加適當的邊界條件。對于剛性壁,應該添加無穿透邊界條件,即

對于圓環管道里傳播的聲音,可以認為其由很多個Fourier模態組成,而單個Fourier模態的形式為

式中,p(r)為實數;m為周向模數(為整數);k為軸向波數;ω為角速度。

而對于其他流體變量,也可以作相似的假設。將式(12)代入式(10)可得

式(13)是一個典型的貝塞爾方程,其通解為

式中,A、B為常數;Jm、Ym分別為m階的第一類和第二類貝塞爾函數;下標n為徑向模數。

從式(13)可以看出,如果βmr為其解,那么-βmn也是其解,因此可以只考慮非負的βmn。從而在式(14)中,m和βmn有以下幾種組合方式：

(1)m=βmn=0。由于第二類貝塞爾函數在0處趨于-∞,為了保證解有界必有B=0,此時解退化為一個常數,也就是p=A,這個解就是平面波。

(2)m ＞0且βmn=0。此時p為零,我們只關注非零解,所以可以排除此類情況。

(3)m ≥0且βmn＞0。此時根據邊界條件式(11)可得

式(15)中,為了使A和B有解,必須讓左邊矩陣的行列式等于零,即

式(16)就是圓環管道內聲波的色散關系式,求βmn的根的方法將在下一節討論。找出了 βmn的值,也就確立了波數k和角速度ω的關系。將β2mn=(ω-kMa)2-k2改寫為

從而

式中,k+、k-分別為聲波向下(游)和上(游)傳播。

聲波在傳播過程中應該既不被衰減也不被放大,因此 k必須為實數,并且必須有ω2≥(1-Ma2)β2mn。ω2=(1-Ma2)β2mn對應的頻率稱為截止頻率,ω2＞(1-Ma2)β2mn對應的聲模態稱為傳播聲模態,ω2＜(1-Ma2)β2mn對應的聲模態稱為截止聲模態。

在式(18)中,聲波的角速度ω一般為已知數,也可以通過聲波的頻率求得,即 ω=2πf。但需要注意的是,由于這里所有物理量都是量綱一單位,頻率也應該為量綱一單位。頻率為 f 0(Hz)的聲波對應的量綱一頻率為

通過式(16)求得βmn,ω也已知,則可通過式(18)求得波數k,從而式(14)中聲壓的解變為

式中,Amn為聲壓幅值,由聲功率決定。

將式(20)代入式(12)可得

將式(21)代入式(7)中,可以得到聲波各個變量的表達式：

2 求解βmn的方法

為了求解圓環管道中的聲模態,必須首先通過式(16)才能得到βmm。然而,此方程為超越方程,不可能得到簡單的解析解,所以需要利用數值解法,如牛頓迭代法求解。在利用牛頓迭代法求解的過程中,需要給定初值。為了得到這些初值,可用薄管近似方法。假定非常小,然后用R c代替式(13)中的r,可得

令 p=eλr,則式(23)變為

從而

式(23)的解為

將邊界條件式(11)代入式(26),可得

為了得到非零解,式(27)中系數矩陣的行列式必須為零,即

將式(25)代入式(28)可得

當管道內外徑之比σ比較大的時候,這種薄管近似給出的初始值比較精確。然而當σ比較小的時候,圓環管道和薄管有很大的差異,如果用式(29)估計初值,則會產生根的排列混亂和丟根的情況。此時可以采用多次薄管近似逐漸逼近的方法或者二分法來估計初值。設函數

則式 (16)的根就是由式(30)確定的函數f(β)的零點。m=22且σ=0.4時,f隨β變化的曲線如圖2所示。根據函數圖像的形狀,完全可以用二分法求根的初值或者直接求根。

圖2 m=22且σ=0.4時 f(β)的函數曲線圖

3 管道中的聲功率

式(22)中與聲學變量幅值相關的常數Amn由聲功率決定。如果聲功率為P,則聲功率級定義為

其中P0為基準聲功率,P0=10-12W。令P為量綱一單位的聲功率,則

另一方面,平均流的聲強為[9]

式中,p、u分別為聲擾動的壓力和速度的實部。

對單個的聲模態有

所以管道中的聲功率為

不難證明,當T→∞時,對于任意復數C和G有

式中,G*為G的共軛。

因此

將式(37)和式(35)代入式(33)可得單個聲模態的聲功率：

將式(22)代入式(38),可得

至此,如果給定單個聲模態的聲功率、頻率、周向模態m以及平均流的馬赫數Ma,則可以完全確定圓環管道中聲波各個變量的解析表達式。

4 算例

下面利用有平均流的圓管聲模態來模擬渦扇發動機進氣道的噪聲傳播過程。某發動機進氣道的結構如圖3所示,其中 x代表進氣道的軸向,r代表進氣道的半徑方向(計算將在柱坐標中進行)。發動機工作時風扇將氣體由進氣道吸入到內外涵道。風扇產生的噪聲是發動機的一個主要噪聲源,這些噪聲可以沿著氣流或者逆著氣流傳播。這里僅研究風扇噪聲逆著氣流在進氣道傳播的過程。為了便于計算,作如下簡化：①整個進氣道關于x軸對稱;②將圓環管道中單個聲模態作為輸入的風扇噪聲。從圖3可以看出,這個進氣管道在

圖3 渦扇發動機進氣道結構圖

風扇面附近近似為一個圓環形的管道,因此可以認為,風扇產生的噪聲是由無數個圓環管道聲模態疊加而成的。假定其中的單個聲模態在周向解析(m已知,為輸入參數),從而所有的聲學量都可以寫成如下形式：

其中帶有上尖括號的量均為復數。

在以上簡化下,控制方程變為

從而將一個三維問題轉化為二維問題。計算中先利用保形映射方法將物理空間(x-r)中轉子和機匣的壁面曲線映射到計算空間(ζ-η)中的兩條相互平行的直線上,如圖4所示。由于進氣道滿足軸對稱條件,所有計算只需要在第二象限進行,所以圖4中僅顯示轉子和機匣在第二象限中的像。映射后轉子和機匣的像之間的距離為h。計算時首先在計算平面中設計網格,然后再將網格逆變換到物理空間中。考慮到計算需求和效率,計算區域在計算平面中的大小選為6h×4h,這個區域對應在物理坐標中的范圍如圖5所示。

圖4 轉子和機匣壁面曲線在計算空間中的像

圖5 物理空間中的計算區域圖

計算中時間和空間離散采用多網格尺度 -多時間步色散關系保持(DRP)方法[10]進行。計算中采用如下邊界條件：①A-B-C-D邊界采用輻射邊界條件[11],使聲波能無反射地穿過計算區間;②A-K采用軸對稱邊界;③機匣和轉子壁面上采用滑移邊界條件,利用外伸點(ghost point)法[12]實施;④風扇表面(E-H)采用理想匹配層(PML)邊界[13]輸入聲波并吸收反射聲波,保持數值穩定。

作為模擬算例,這里僅計算輸入頻率為1614Hz,聲功率級為120dB,周向模數m=22時n=1和n=4兩種情況。在計算聲場之前,先計算平均流場,使得風扇表面的馬赫數為0.3。計算后的瞬時聲壓云圖如圖6和圖7所示,可以看出,風扇面輸入的不同聲模態在進氣道以及進氣道附近的區域傳播過程差別較大,這也正是眾多學者研究進氣道噪聲傳播機理的原因。

5 結論

(1)聲波在平均流中的傳播的控制方程為線性歐拉方程,在均勻流的圓環管道中,平均流只沿著軸向方向流動,從而可以使方程大大簡化。

(2)傳播中的聲波可以看成是多個Fourier模態的組合。對于圓環管道中的單個Fourier模態,其軸向波數k、周向模數m、角速度ω以及平均流的馬赫數Ma等必須滿足色散關系式。

(3)在其他條件給定時,圓環管道中的聲波存在一個截止頻率,大于截止頻率的聲模態可以在管中傳播,而小于截止頻率的聲模態則不能在管中傳播。

(4)給定了聲功率級,平均流的馬赫數,入射聲波的頻率、旋轉模數、徑向模數和管的幾何尺寸以后,便唯一確定了單個Fourier模態的聲波的解析表達式。

(5)可利用圓環管道的聲模態作為風扇產生的噪聲來研究渦扇發動機進氣到噪聲傳播規律,非均勻流場對不同聲波模態的散射效果不同。

圖6 輸入聲波m=22,n=1,PWL=120d B時的瞬時聲壓圖

圖7 輸入聲波m=22,n=4,PWL=120d B時的瞬時聲壓圖

[1] Dahl M D,Envia D,Huff D,et al.Fourth Computational Aeroacoustics(CAA)Workshop on Benchmark Problems[C]//Brook Park,Ohio：NASA Conference Publication,2004：212954.

[2] Rienstra S W.A Classification of Duct M odes Based on Surface Waves[J].Wave Motion,2003,37(2)：119-135.

[3] Ayub M,Tiwana M H,Mann A B.Propagation of Sound in a Duct with Mean Flow[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2009,14(9/10)：3578-3590.

[4] Tam C K W,Ju H,Chien EW.Scattering of Acoustic Duct Modes by Axial Liner Splices[J].Journal of Sound and Vibration,2008,310(4/5)：1014-1035.

[5] Gabard G,Astley R J.A Computational Modematching Approach for Sound Propagation in Three-dimensional Ducts with f low[J].Journal of Sound and Vibration,2008,315(4/5)：1103-1124.

[6] Yang B,Wang T Q.Investigation of the Influenceof Liner Hard-splices on Duct Radiation/Propagation and Mode Scattering[J].Journal of Sound and Vibration,2008,315(4/5)：1016-1034.

[7] McAlpine A,Astley R J,Hii V J T,et al.Acoustic Scattering by an Axially-segmented Turbofan Inlet Duct Liner at Supersonic Fan Speeds[J].Journal of Sound and Vibration,2006,294(4)：780-806.

[8] Brun C,Goossens T.3D Coherent Vortices in the Turbulent Near Wake of a Square Cylinder[J].Comptes Rendus Mcanique,2008,336(4)：363-369.[9] Atassi O V.Computing the Sound Power in Nonuniform Flow[J].Journal of Sound and Vibration,2003,266(1)：75-92.

[10] Tam C K W,Kurbatskii K A.Multi-size-mesh Multi-time-step Dispersion-relation-preserving Scheme for Multiple-scales Aeroacoustics Problems[J].International Journal of Computational Fluid Dynamics,2003,17：119-132.

[11] Tam C K W,Webb JC.Dispersion-relation-preserving Finite Difference Schemes for Computational Acoustics[J].Journal of Computational Physics,1993,107(2)：262-281.

[12] Tam C K W,Dong Z.Wall Boundary Conditions for High-order Finite-difference Schemes in Computational Aeroacoustics[J].Theoretical and Computational Fluid Dynamics,1994,6(5/6)：303-322.

[13] Hu F Q.Development of PML Absorbing Boundary Conditions for Computational Aeroacoustics：A Progress Review[J].Computers and Fluids,2008,37(4)：336-348.