改進的全站儀三維網整體平差的應用研究

王衛勇，侯凱，王蕾

(鄭州市規劃勘測設計研究院，河南鄭州 450052)

1 引言

隨著科技的發展以及大型工程項目的要求，采用三維定位方法可以有效加快施工進度，本文以全站儀三維觀測數據:斜距、水平角和天頂距為研究對象，進行了空間三維整體平差模型的研究。同時，在VC環境下對模型進行了實現，并利用實例數據進行了驗算與比對分析［1］。

2 三維網平差模型

2.1 傳統的三維網平差函數模型

首先，全站儀的所有觀測數據都是以垂線為準的，按照傳統的大地測量理論，存在一個垂線偏差，也就是對所有觀測值改正到以法線為準的法線站心地平坐標系中。在一般情況下，把垂線偏差在子午方向與卯酉方向的偏差量設為未知量，在平差過程中求解［3］。

其次，在以測站為原點的垂線站心地平坐標系中建立平差模型，分別建立平距觀測值、水平角觀測值和天頂距觀測值平差函數方程。該方程較復雜，且線性化過程中的一階偏導公式更加繁瑣。

最后，利用站心地平坐標系與空間大地直角坐標系之間的微分關系將各站心地平坐標系中的誤差方程統一轉換到空間大地直角坐標系中［2］。

2.2 改進的三維網平差函數模型

(1)觀測方程

在現場測量中，如果相鄰站公共點個數達到3個，則對三維網平差函數進行相應的改進。全站儀觀測時以垂線為基準的站心地平坐標系，與三維已知笛卡兒坐標系間有個轉換問題，并以此建立三維網平差函數模型［4］，具體形式如式(1)。

其中，xik、yik、zik為以垂線為基準的全站儀站心地平坐標系下觀測值，Xk、Yk、Zk為控制點在三維笛卡兒坐標系下的坐標值，Xi、Yi、Zi為全站儀站心在三維笛卡兒坐標系下的坐標值，R為旋轉矩陣，如式(2)所示，式中:φ、w和θ分別為繞三維笛卡兒坐標系X、Y和Z軸的旋轉角度:

考慮到全站儀每站觀測前都嚴格整平，且測量橫跨區域不是很大(受全站儀觀測條件限制，最多在幾個平方千米區域內)，所以各站過站心鉛垂線的相對夾角較小，也就是φ和w的角度值小，則有:

故可將式(2)進一步化簡，則為:

將式(3)代入式(1)中，則可以把 xik、yik、zik作為觀測值(稱為生成觀測值)，并建立相應的觀測方程，在給定初始近似值的情況下，對觀測方程進行線性化，即可得到誤差方程，由于式(3)的簡化，其線性化過程變得簡單許多，在此就不一一給出。

(2)大氣折射

由于大氣折射率梯度的存在，使得角度觀測時視線發生彎曲，而這個彎曲量隨著時間、環境等條件變化而改變，因此大氣折射系數K值是一個很難確定而又無法避免的量。

圖1 大氣折光和地球曲率示意圖

如圖1所示，弧線PE和AF分別為過儀器高P點和地面A點的水準面，水平線PG與B點的鉛垂線交于G點，GE就是由于地球曲率而產生的高程誤差。由于大氣折射影響，自目標N的光弧線NP進入儀器的望遠鏡，而望遠鏡的視準軸卻位于弧線PN的切線PM上，MN即為大氣折射對高程的影響。從圖1不難理解，若往測高差為正(負)時，地球曲率改正和大氣折射改正(后稱兩差改正)會使得高差增大(減小)，這時，返測高差為負(正)，兩差改正后，高差會減小(增大)，往返高差取均值，則會完全抵消地球曲率的影響;而往返的大氣條件差不多時，K值變化較小時，大氣折射影響也可大部分抵消［5］。

在式(4)全站儀觀測方程中，要去掉大氣折射影響和地球曲率影響。因此，在觀測過程中，盡快完成往返觀測，以保證大氣折射條件變化較小，并通過往返取均值來抵消大氣折射影響。

(3)定權

各類觀測量以給定的初始經驗中誤差來定初權，也可以根據儀器標稱精度和觀測值的測回數來確定。設水平角觀測值中誤差為σH，天頂距觀測值中誤差σV和距離觀測值中誤差σS，以水平角觀測值中誤差為驗前單位權中誤差，同時根據儀器觀測值有:

圖2 全站儀觀測示意圖

故有:

根據式(6)，可得到生成觀測值(xik、yik、zik)的權陣PXX(其為對稱矩陣)，具體見參考文獻［6］。

根據驗前單位權中誤差及上述定權原則進行三維整體平差計算，得出各待定參數的平差值以及生成觀測值(xik、yik、zik)的改正數。將生成觀測值的改正數還原得到測站水平角、天頂距和距離的改正數，該三類觀測值的最小二乘改正數PVH、PVV和PVS也是容易得到的。

基于方差分量估計理論，根據驗后單位權中誤差值，調整先驗單位權中誤差，后驗大(小)則調大(小)先驗，保證驗前和驗后單位權中誤差的比值為1;根據三類觀測值的最小二乘改正數，最小二乘改正數大(小)的則增大(減小)相應先驗觀測值先驗中誤差(其相應的權減小(變大))，以達到三類觀測值的最小二乘改正數之和的比值為1∶1∶1的關系，從而可以調整出最終的理想結果。

驗前單位權中誤差調整 表1

3 程序實現與算例分析

3.1 程序實現

利用Visual C++6.0平臺，進行以上改進的三維整體平差程序的實現，其具體的程序框圖如圖3所示。

圖3 程序流程圖

3.2 算例

由于全站儀三維平差至今還沒有被認可的軟件，而本文的三維平差模型又是對傳統三維平差模型的改進，因此，筆者認為自己編寫傳統三維平差程序結果的正確性尚待商榷，更何況用來對比驗證改進后的三維平差結果。故利用經過驗證的、可靠性較高的GPS三維平差結果對改進后的三維平差進行外符合檢驗，具有較高的可信度。

以某工程控制網中的一個全站儀大地五邊形觀測數據為例，該測區橫跨約 1 km2范圍(最長測邊為1.2 km)，如圖4所示。

同時該大地五邊形也屬于GPS網內控制點，利用3個GPS控制點坐標數據數據，進行全站儀自由網平差。由于控制點WGS－84坐標值的保密性，并做了相應處理，最后將三維整體平差計算結果與GPS結果作對比，如表2所示。

圖4 全站儀大地五邊形圖

三維整體平差結果及與GPS對比差值(單位/m)表2

4 結論

從上面的算例結果及與GPS結果的對比分析中，我們不難得出:

(1)本文提出的改進三維整體平差模型是正確可行的，且其觀測方程較傳統模型簡單很多、非線性工作較小，在程序實現中，無需有嚴格的近似值、具有較好的收斂性、計算時間短的特點;

(2)在短時間內對各邊作往返觀測可解決大氣折射和地球曲率對大范圍全站儀測量的影響;

(3)在三維整體平差理論研究和軟件現實上，還需要做進一步的方差分量估計等研究工作。

［1］張春艷，王解先，劉紅新.全站儀三維平差及大氣折光分析［J］.鐵道勘察，2004(2)，P5～11

［2］孟慶武譯.精密三維計量網平差［J］.測繪科技通訊，1997(3)，P33～36

［3］于成浩，董嵐，柯明等.大尺寸激光跟蹤儀三維控制網平面精度研究［J］.測繪科學，2008(3)，P42～44

［4］陳珍，徐景田，孫華.基于全站儀觀測數據的三維平差模型及數據處理［J］.測繪工程，2009，18(3)，P40～44

［5］張正祿，鄧永，羅長林等.精密三角高程代替一等水準測量的研究［J］.武漢大學學報(信息科學版)，2006(31)，P5～8

［6］武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎［M］.武漢:武漢大學出版社，2003