靈敏度約束的自整定最優比例積分控制器

陳永會 譚功全 譚 飛 傅成華

(四川理工學院自動化與電子信息學院，四川 自貢 643000)

0 引言

盡管控制理論不斷發展，比例積分PI控制器仍然在過程工業控制中被廣泛使用。據報道，典型的造紙工廠控制回路超過2000個，其中97%使用PI控制器［1］。所以，PI控制器參數整定的改進意義重大。

大多數工業過程能夠用帶時延的一階延時(first order plus delay time，FOPDT)模型近似。根據此模型，涌現了大量的PI/PID參數整定法［2］，從經典的 Z-N法［3］、Cohen-Coon 法［4］、Internal Model Control法［5］，到基于積分性能指標 ITAE［6］和 IAE的優化法［7］等。這些方法既有優點，也有不足之處，使用時也會受到限制［7－8］。本文提出了一種保證閉環系統魯棒穩定性的最優控制器的設計法，并獲得了控制器的參數化整定公式。同時，提出用雙通道繼電測試技術［11］來獲取閉環系統期望特征信息以建立FOPDT模型的方法，據此實現控制器參數的繼電自整定。

1 問題描述

典型反饋控制回路如圖1所示。圖1中，P(s)為過程模型，C(s)為需要設計的控制器;r為設定值，d為負載干擾，y為被控變量，e為偏差信號。

圖1 反饋控制回路Fig.1 Feedback control loop

考慮一階延時FOPDT系統模型P(s)為:

式中:Kp、Tp和Lp分別為過程靜態增益常數、慣性時間常數和時滯時間常數。過程的相對時間系數Tr定義為慣性時間常數與時滯時間常數之比，即:

Tr越大，過程越容易控制;反之，控制難度越大。

針對負載干擾d為階躍變化，故期望控制系統最大誤差較小，振蕩輕微，則建立時間短且沒有穩態誤差。

控制器采用PI調節律，傳遞函數為C(s):

式中:Kc、Ti和Ki分別為比例增益、積分時間和積分增益常數。PI控制器有兩個獨立可調參量，可以滿足穩定性指標和使性能優化的指標。利用式(1)、(3)建立從負載干擾d到過程輸出y的傳遞函數為:

由上式可以得出，Ki越大，受干擾的影響越小。所以，性能優化指標可選為使Ki最大化。

2 設計方法

2.1 PI優化方法

對于開環穩定的系統，閉環穩定的條件是開環頻率特性的極坐標圖線不包圍復平面的(－1，j0)點。開環奈奎斯特曲線離(－1，j0)點的遠近定義為:

式中:R為開環頻率特性距離(－1，j0)點的最短距離。R越大，系統開環奈奎斯特曲線離臨界點(－1，j0)越遠，系統的穩定程度越高。系統的靈敏度函數為:

式中:Ms為系統的最大靈敏度值。Ms越小，魯棒性增強;Ms越大，則相反。因此，選擇Ms作為魯棒穩定性指標是合適的。

又如歐陽修散文中著名的《與高司諫書》，尤其能體現議論爭煌煌的特色。這篇散文具有很強的針對性和實用性，先論述歐陽修對于高司諫的“三疑”，緊接著以范仲淹被貶而高司諫一言不發的行為得出歷時多年的“三疑”果真不假。精彩的還在于歐陽修從假設范仲淹確實不賢與范仲淹確是賢臣兩方面加以議論，任何角度都足以支撐自己的觀點，充分體現論辯的實用力量。歐陽修散文中有許多議論煌煌之作，由于它們持論有據，邏輯嚴密，極具批判意識，也就更容易被作為政治生涯中口誅筆伐的利器，歐陽修以此討伐奸邪，伸張正義，使議論成為了治世救弊而實現散文經世致用的一種表達方式。

對式(1)和式(3)，有開環頻率特性:

如果給定了PI控制器參數Kc和Ki，則由式(4)可計算出R，即可知Ms。對于指定的Ms，選擇Kc為某個數值，調整Ki滿足Ms的限制，即得到一個(Kc，Ki)對。在系統穩定條件下讓Kc變化，則滿足Ms限制的Ki跟隨變化，由此得到滿足特定Ms限制的多對(Kc，Ki)。

基于誤差積分的性能指標典型的有誤差平方積分(ISE)、誤差絕對值積分(IAE)和時間乘誤差絕對值積分(ITAE)等。一般地，時間乘誤差絕對值積分有較好的響應速度［6］。以滿足 Ms限制的(Kc，Ki)對中 ITAE最小的一對作為最優目標是合理的。對于式(1)描述的過程，在Ms=1.4的限制下，通過數值仿真，尋得ITAE最小的Kc和Ki為:

式中:Tr為相對時間系數，取值在0.1～10之間。

運算發現，滿足Ms限制的積分增益Ki總有最大值，選積分增益最大作為性能優化指標也是一種選擇。在式(1)和式(2)中，當 Tr在0.1 ～10 之間時，在 Ms=1.4限制下，積分增益最大的Kc及最大值Ki為:

式(7)和式(8)都是利用計算機進行參數空間搜索運算而得。由于兩式中的Kc和Ki差異并不大，將這兩種方法統稱為靈敏度約束的最優PI控制器(maximum-sensitivity constraint optimal PI，MsOPI)。

2.2 自整定方法

不同控制難度Tr的系統，在MsOPI控制下的開環頻率特性和閉環頻率特性復平面如圖2所示。開環頻率特性幾乎都通過平面中的“o”點，閉環頻率特性幾乎都通過平面中的“+”點，而對象特性與“o”或“+”點相對應的是圖中的“*”點。

圖2 MsOPI控制下系統特定頻率點Fig.2 System specific frequency points under MsOPI control

系統自整定結構如圖3所示。

圖3 自整定系統方塊圖Fig.3 Block diagram of auto-tuning system

圖3中，N(A)代表雙通道理想繼電器，它為理想繼電器通道和積分子環節串聯理想繼電器通道的并聯結構，其描述函數為:

式中:br和bi分別為兩個繼電器的輸出振幅;A為正弦偏差信號e(t)的振幅。通過繼電測試能夠獲取閉環頻率特性H(jω)穿越圖2所示負倒描述函數曲線(圖2中穿越坐標原點和“+”點的直線)的點H(jωo)，繼而獲得過程相應點的信息P(jωo)為:

實際中用一階延時模型式(1)近似。若已知過程靜態增益Kp，則式(1)的頻率特性P(jω)滿足式(10)的辨識點信息時，可以得到過程的時間常數Tp和延遲時間 Lp，即:

式中:ωo為繼電振蕩頻率。由此，依據式(2)和式(7)或式(8)，可自動整定出MsOPI。

3 仿真

3.1 一階延時過程

假設過程模型和自整定前PI控制器模型分別為:

繼電測試獲取的閉環頻率點及由式(10)計算出的過程頻率點特性分別為:

式中:ωo=2.3552。依照式(11)、(12)可得辨識的參數為Tp=1.0499、Lp=0.5214。于是由式(8)得 MsOPI參數如表1所示。表中同時列出了RZN(refine ZN)法PI參數［12］。兩種PI控制下，系統的設定值階躍及負載階躍響應如圖4所示。

表1 一階延時過程的PI控制器參數Tab.1 Parameters of PI controllers for example

圖4 一階延時過程階躍響應曲線Fig.4 Step responses of FOPDT process

3.2 多容延時過程

假設過程模型和自整定前PI控制器模型分別為:

繼電測試獲取的閉環頻率點及由式(10)計算出的過程頻率點特性分別為:

式中:振蕩頻率ωo=0.2013。依照式(11)、(12)得辨識的參數為 Tp=7.3618、Lp=5.3057。于是由式(8)得MsOPI參數如表2所示。

表2 多容延時過程的PI控制器參數Tab.2 Parameters of PI controller for multi-vessel delay time process

兩種PI控制下系統的設定值階躍及負載階躍響應如圖5所示。

圖5 多容延時過程閉環階躍響應Fig.5 Closed-loop step response of multi-vessel delay time process

4 結束語

對常規穩定生產過程，通過繼電反饋法辨識閉環系統的特征信息獲取了過程的近似FOPDT模型。在此模型上，采用最大靈敏度值保證系統的魯棒穩定性，并用ITAE指標或最大積分增益優化系統的響應性能，得到一種最優PI控制器。

仿真結果表明，所提出的繼電自整定最優PI控制法是有效的，所得控制系統的時域階躍響應幾乎無振蕩現象。

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